2010年全国1卷高考真题(含答案)数学理

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绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
．．．．．．．．
3．第I卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B=P(A+P(B S4R 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B=P(A·P(B 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V球4R3
3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 （1）复数
232i 23i（A）i
（B）i （C）1213i

（D）1213i

（2）记cos(80k，那么tan100

1k2（A）
k1k2（B）-
k（C）k1k2 （D）-k1k2
y1,（3）若变量x,y满足约束条件则zx2y的最大值为 xy0,xy20. （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 （4）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a35,a7a8a910,则a4a3a6=
（A）52
（B）7 （C）6 （D）42

35（5）(12x(13x的展开式中x的系数是
（A）-4 （B）-2 （C）2 （D）4 （6）某校开设A类选修课3门，B类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （A）30种 （B）35种 （C）42种 （D）48种 （7）正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

（A）2
3（B）3
312，则
（C）2
3（D）6
3（8）设alog32,bln2,c5
（A）abc
（B）bca （C）cab （D）cba
（9）已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则P到x轴的距离为

（A）3
2（B）6
2（C）3 （D）6
（10）已知函数f(x|lgx|.若0ab,且f(af(b，则a2b的取值范围是

（A）(22,
（B）22,
（C）(3,
（D）3,
（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为

（A）42
（B）32
（C）422
（D）322
（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为

（A）23
3（B）43
3（C）23 （D）83
3绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．
3．第Ⅱ卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．（13）不等式2x21x1的解集是 。 （14）已知a为第三象限的角，cos2a3，则tan(2a 。 54（15）直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是 。 （16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
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已知ABC内角A，B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C。
（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的主审，则予以录用，否则不予录用。高稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审。
（Ⅰ）求设到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望。 （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
如图，四棱锥S—ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC,ABAD1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。 （Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A—DE—C的大小。
（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
已知函数f(x(x1lnxx1.
2 （Ⅰ）若xf(xxax1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x1f(x0.
（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，2
点A关于x轴的对称点为D。 （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FAFB8，求BDK的内切圆M的方程。
9（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．1. an
已知数列{an}中，a11,an1c （Ⅰ）设c51,bn，求数列{bn}的通项公式； 2an2 （Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围。
参考答案
一、选择题
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）B 二、填空题
（13）{x|0x2}] 1 75（15）(1,
4（14）（16）3
3三、解答题： （17）解： 由abacotAbcotB及正弦定理得 sinAcosAcosBsinB，
从而sinAcos4又0AB
故AcosAsin4cosbsinsinBcos 4444.
B，
所以C2（18）解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用。


则DABC
（Ⅱ）X~B(4,0.4，其分布列为：

P(X0(10.440.1296，
1P(X1C40.4(10.430.3456， 2P(X2C40.42(10.420.3456， 3P(X3C40.43(10.40.1536，
期望EX40.41.6 （19）解法一：
（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG， 由此知DG=GC=BG=1，即DBC为直角三角形， 故BCBD 又SD平面ABCD，故BCSD， 所以，BC平面BDS，BCDE。 作BKEC，K为垂足，因平面EDC平面SBC， 故BK平面EDC，BKDE。DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。 DE平面SBC，DEEC，DESB…………4分 所以SE=2EB。 （Ⅱ）由SA

知AESD2AD25,AB1,SE2EB,ABSA
12(SA2(AB21， 33又AD=1。
故AED为等腰三角形，
取ED中点F，连接AF，则AFDE，
所以，AFG是二面角A—DE—C的平面角。 连结AG，AG2,FGDG2DF26
3所以，二面角A—DE—C的大小为120°。
解法二：以D为坐标原点 ，射线DA为x轴正半轴， 建立如图所示的直角坐标系Dxyz. 设A(1,0,0，则B(1,1,0,C(0,2,0,S(0,0,2
（Ⅰ）SC(0,1,2,BC(1,1,0

设平面SBC的法向量为n(a,b,c



由nSC,nBC得nSC0,nBC0 故2b2c0,ab0 令a1,则b1.c1,n(1,1,1 又设SEEB(0，则 设平面CDE的法向量m(x,y,z 则mDE,mDC，得
故xy2z0,2y0 111令x2,则m(2,0,
由平面DEC平面SBC得mn,mn0,20,2 故SE=2EB。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知E(,,，
222333111211取DE中点E，则F(,,,FA(,,
333333故FADE0，由此得FADE.
242,,，故ECDE0， 333由此得ECDE，
又EC(向量FA与EC的夹角等于二面角A—DE—C的平面角。 于是cosFA,EC1
2|FA||EC|FAEC 所以，二面角A—DE—C的大小为120°。
（20）解： （Ⅰ）f(x

x11lnx1lnx, xx2题设xf(xxax1等价于lnxxa. 令g(xlnxx,则g(x11.
x当0x1时，g(x0； 当x1时，g(x0，



x1是g(x的最大值点，g(xg(11.
综上，a的取值范围是[1,.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(xg(11.即lnxx10.

当0x1时，f(x(x1lnxx1xlnx(lnxx10. 当x1时； 所以(x1f(x0.
（21）解：

设A(x1,y1,B(x2,y2,D(x1,y1，l的方程为xmy1(m0.
2 （Ⅰ）将xmy1代入y4x并整理得

从而y1y24m,y1y24. 直线BD的方程为
2y24即yy2(x
y2y14
令y0，得xy1y21
4 所以点F（1，0）在直线BD上。 （Ⅱ）由①知，

因为FA(x11,y1,FB(x21,y2 故84m解得m28
94.
32所以l的方程为
又由①知y2y1(4m44故直线BD的斜率 因而直线BD的方程为
因为KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0(1t1，M(t,0到t及BD的距47
3
3|t1|3|t1|,. 543|t1|3|t1|由 54离分别为


1， t,或t9（舍去）93|t1|2故圆M的半径r.
531242所以圆M的方程为(xy.
99a2512n， 2an2an（22）解： （Ⅰ）an12
1an122an42，
an2an2

即bn14bn2.
bn1224(bn， 3311
a12又a11,故b1
所以(bn是首项为231，公比为4的等比数列，
3 （Ⅱ）a11,a2c1,由a2a1得c2.

用数学归纳法证明：当c2时，anan1.
（i）当n1时，a2c1a1，命题成立； a1 （i i）设当nk时，akak1，则当nk1时，

故由（i），（ii）知当c2时，anan1

cc24当c2时，令，
2由an
11an1c得an. anan
当2c当c10时，an3.
310时，3,且1an，于是
3

an1当nlog3因此c1(an(an， an31
1时， 310不符合要求。
310所以c的取值范围是(2,].
3

2010年全国1卷高考真题(含答案)数学理

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