17.4.2 反比例函数的图象和性质

(一)本课目标

1.了解反比例函数图象的形状特征.

2.会画反比例函数的图象.

3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.

4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.

(二)教学流程

1.复习导入

(1)反比例函数是怎样定义的?

(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件?

2.课前热身

请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画得最好?

(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象, 形成对反比例函数图象的初步感形认识.)

3.合作探究

(1)整体感知

我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化, 那么反比例函数y=e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png (k≠0)的图象又具有什么特征?其性质是否随着k 的正负发生变化呢?本课我们着重探讨这两个问题.

(2)四边互动

互动1

师:利用多媒体演示幻灯片.

【例1】画出函数y=52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png 的图象.

师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法?

这个函数自变量的取值范围是什么?由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗?

用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些?

生:逐个举手回答问题,达成共识.

师:利用多媒体展现画图过程.

(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值表:

──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──

x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │…

──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──

y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…

──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──

(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,-2),(-2,-3)等.

word/media/image3.gif(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示:

师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象?

生:动手操作,并提出发现的问题.

师:利用多媒体演示.

试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png的图象.

生:动手画图,交流画图的结果.

师:请同学们讨论下列问题.

讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和函数y=52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png 的图象有什么不同?

(2)反比例函数y=e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png 图象在哪两个象限?由什么确定?

生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.

明确 概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).

反比例函数y=e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png 图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时, 函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.

word/media/image7.gif互动2

师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.

请同学们观察反比例函数y=52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png 和y=-52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png 图象上点的运动情况,然后回答下列问题.

(1)对于反比例函数y=52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的? y的值随着x的变化将怎样变化?

(2)对于反比例函数y=-52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的? y的值随着x的变化将怎样变化?

生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.

明确 通过观察可知,反比例函数y=e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png 有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象( 如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x 的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内, 曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.

互动3

师:利用多媒体演示幻灯片.

已知y是x的反比例函数，当x=2时，y= 6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png,求这个反比例函数的表达式.

师:我们在学习一次函数时，已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式.同样，我们是不是也可以用待定系数法求反比例函数的表达式呢?

生:可以.

设其表达式为y=e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png，因为当x=2时，y=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png,所以6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png=ae89c5b933e46dcd91ec7afdc427e78b.png，所以k=fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png.

所以这个反比例函数的表达式为y=f3284692bc97df1ac7307db556a86feb.png

互动4

师:利用多媒体演示幻灯片.

word/media/image12.gif已知反比例函数y=e29dea08019e314c479b998fc0a9cb26.png在第一象限内的图象如图所示,点M、N是图象上的两个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S △MOA与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.

师:(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x1,y1)和(x2,y2),那么S△MOA与x1 、 y1之间存在怎样的关系?x1·y1的值是多少?S△NOB与x2,y2呢?

生:在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.

明确 因为点(x1,y1)在该反比例函数图象上,所以y1=3756b3c3323a46ba772867a7ec1f6639.png,得x1·y1=3,

S △MOA=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngOA·MA=bae8953649fa79ad9deee37186f3f402.png,同理S△NOB=bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png,所以S△MOA=S△NOB.

归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、 坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值.

互动5

师:利用多媒体演示.

已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-bcb5585525348a4cf25a8713cf427026.png上,请把a、b、c 按从小到大的顺序进行排列.

生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.

师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题?

生:动手画图,验证各自解答的结果.

明确 许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c

原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y随x的增加而增大”.在同一个象限内y随x的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y随x的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.

4.达标反馈

(多媒体演示)

(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=c34b2bfd5987c7d42da008d8fb1e0a35.png

(2)如图所示,直线y=kx与双曲线y=-52aa4e11b8fb566acea105ef5438f201.png相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点C,则△ABC的面积为 6.

word/media/image21.gif(3)已知反比例函数y=cc3ac33125777631f994340f87a55665.png 的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<02时,y12,则m 的取值范围是(D)

A.m<0 B.m>0 C.m>3 D.m<3

(4)下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)

A.y=2x B.y=x+3 C.y=-bcb5585525348a4cf25a8713cf427026.png D.y=bcb5585525348a4cf25a8713cf427026.png

5.学习小结

(1)内容总结

word/media/image25_1.png反比例函数 图象特征、画法

性质

(2)方法归纳

画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时, 要注意对应的点是否在同一个象限内.

(三)延伸拓展

1.链接生活

某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm3)之间的下列对应数据:

┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐

│p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│

├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤

│v(cm3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│

└───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘

根据表中提供的信息,回答下列问题:

(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式;

(2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少?

2.实践探索

(1)实践活动

收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个.

(2)巩固练习

课本第58页练习第1题和第2题和习题17.4第3题.

(四)板书设计

华东师大版八年级下册数学第17章 函数及其图象第4节《反比例函数的图象和性质》参考教案