专题五 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系练习 理

一、选择题

1.(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若d0d8cffd5b4f8383cf9d0e722c83ec0f.png＝4c4727ccb2e8b30b39192e30734aba3a6.png，则|QF|等于(　　)

A.94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.png B.33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png

C.3 D.2

解析　过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，

因为91c540e703b8d7f48522c0a5e2bb7acf.png＝4c4727ccb2e8b30b39192e30734aba3a6.png，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，

又焦点F到准线l的距离为4，

所以|QF|＝|QQ′|＝3.

答案　C

2.(2015·四川卷)过双曲线x2－64a749681603744d7be70e564875b07f.png＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于(　　)

A.7d4cb1c8f86088667a7701fcb8a485f8.png B.29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

C.6 D.49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

解析　右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－64a749681603744d7be70e564875b07f.png＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2e0ba6485114f500c1930ff382c316cbb.png，∴A(2，29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)，B(2，－29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)，∴|AB|＝49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

答案　D

3.已知A，B，P是双曲线7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝9990455d5fdabd8eef6772b87a472f24.png，则该双曲线的离心率为(　　)

A.e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.png B.393442fbf8ddeee570015b0ce3b89406.png

C.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png D.28adc564ed36b56de589d94d515a9053.png

解析　设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，

所以010117672673d9db025139cfa610202f.png4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.pngeaf582c901b8586c8eee1bee8869f0b9.pnge729f6ad742e6f50afc60d55cee7c34f.pnge729f6ad742e6f50afc60d55cee7c34f.png两式相减，得kPAkPB＝c058cc899e82e35e4a7b7dc2fbede8cd.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，

所以e2＝e415aa91bad8340de943044a5589472f.png＝8b9de384b0dbf2e69afd01814f2a7191.png，

故e＝28adc564ed36b56de589d94d515a9053.png.

答案　D

4.(2014·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.8c30663c08bf69600cf8620dabb8a066.png B.a40d1430fe1a7ab06fb2b1bbd9af64c3.png

C.69662b04a2a54ebbb61e268b12940297.png D.35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png

解析　易知抛物线中p＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，

焦点Fd53af649057c03ce35d86f4adf126f5c.png，直线AB的斜率k＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，故直线AB的方程为y＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.pnga3db63cc0051ecf1c5b6b79bb680e578.png，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－18094727f3043ed26f5276be23295a0f.pngx＋75c32518f5bcf0a525f2f2ebc1051265.png＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝abeaea795f9b9eb18161cf000a0fa721.png.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝abeaea795f9b9eb18161cf000a0fa721.png＋003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝9e5bfc41ff805623433d5c009938e072.pngsin 30°＝1202315a28def658ed55ad9be1ac022d.png，所以△OAB的面积S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png|AB|·d＝35a31b705b246b7ad7b441f074f1d9cf.png.

答案　D

5.(2017·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线01bb46cc6c40f90f7629f6f8a5fbe8f7.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　)

A.326c4cfeeb17b9be081d69dd3135207e.png B.1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1

C.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋1 D.b2a40cdb32d077f2664c7b404e51e8ce.png

解析　依题意，得F(p，0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p，2p).又点A在双曲线上，所以4864ffef9d6230f4e9ed3e49b97b0026.png－e044eefc1d7f4d6f93b81540302d41a7.png＝1.又因为c＝p，所以c189fe15f0e8dc9948581caf4234bb7b.png－956fa51adf4095a32aae7f41ff28347b.png＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即6fcc82a2ec525abbf0e06eab44eaa9ca.png814728fc46fefca70d03a14604e43f8e.png－67dd0589a3cd01efc4f63edb9601c769b.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png＋1＝0.所以e2＝3＋254283746f7a97f2de254ce1480db69a0.png，e＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＋1.

答案　B

二、填空题

6.已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为________.

解析　由468b1b5e81a3f317f4f326c5d2cce2eb.png得11x2－18x－9＝0.

由根与系数的关系，得xM＋xN＝7ff42e96f5c290e754389558803933f6.png，

xM·xN＝－b651dc644fed5ccb5948299dd2264a51.png.

由弦长公式|MN|＝c912821536db027b85572e76796525e8.png|xM－xN|＝425fd898d92ed1229311858a5ce9f9d1.png·69dd8c41e3e171e9f411ac6142d6e15e.png＝44e9f0ac8d6ff1cb31aafc8f5bf0f496.png＝4d0d0a64c67dbe57ad1a953485aade24.png.

答案　4d0d0a64c67dbe57ad1a953485aade24.png

7.过点M(1，1)作斜率为－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png的直线与椭圆C：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则4e253409496975ace1d93d86b1734278.png4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.pngeaf582c901b8586c8eee1bee8869f0b9.pnge729f6ad742e6f50afc60d55cee7c34f.pnge729f6ad742e6f50afc60d55cee7c34f.png

∴ca40cc0afa0e318abc6545987883c616.png＋082ba7a2a29848aec732ece942cd0424.png＝0，

∴bc2b2f8bed6e5c11ddcb5a06142ec027.png＝－0d0777cf64de15b7eecea706c7610147.png·07357b44203c1e7ee23610d8cb823221.png.

∵bc2b2f8bed6e5c11ddcb5a06142ec027.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴－0d0777cf64de15b7eecea706c7610147.png＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，

∴a2＝2(a2－c2)，

∴a2＝2c2，∴ad0f824c4df5b00f8a75d1461134ad00.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png.

答案　193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png

8.(2017·郑州模拟)已知点A(－2，0)，B(2，0)，过点A作直线l与以A，B为焦点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________.

解析　根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，①

由题意设椭圆方程为7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋ef6224b907b20c4c813d467dee47375e.png＝1(a2＞4)，②

由直线l与圆x2＋y2＝1相切，得73960e9c32de2d60b3e61d4e88795e86.png＝1，解得k2＝03afd843f43b4ecfffad05e087441797.png.将①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－07f150bda9e99cdc23c0d9691056e926.pnga4＋4a2＝0，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－92362748131e14864c99ee64ac90126c.png，又线段MN的中点到y轴的距离为328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，所以|x1＋x2|＝41de5784fb3fa416fa769666076f6e80.png，即－42ee6441fc46348182bfe6cc614dae3a.png＝－0597f288b8424f32f940c1b418f629d2.png，解得a2＝8.所以该椭圆的标准方程为888cfeb900a56f913447927877f6f4da.png＋51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1.

答案　6397ee95c80513af6893541a9409abbd.png＋51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1

三、解答题

9.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点.

(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

解　(1)由题设可得M(2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，a)，N(－2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，a)，

或M(－2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，a)，N(2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，a).

又y′＝ac2606fe9376e6e3ad14b772d437bfb9.png，故y＝9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png在x＝2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png处的导数值为fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，C在点(2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，a)处的切线方程为y－a＝fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png(x－2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png)，

即fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.pngx－y－a＝0.

y＝9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png在x＝－2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png处的导数值为－fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，C在点(－2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png，a)处的切线方程为y－a＝－fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png(x＋2fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png)，即fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.pngx＋y＋a＝0.

故所求切线方程为fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.pngx－y－a＝0和fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.pngx＋y＋a＝0.

(2)存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.

故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.

从而k1＋k2＝4bc3112319525d2e737c3b2bcb97734c.png＋82760f45eac242ae9002273c99cac846.png＝4957d7bdf0985d84bfabb4bc7955b986.png

＝08f8d3db7739773979191840680df4b6.png.

当b＝－a时，有k1＋k2＝0，

则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.

10.(2015·四川卷)如图，椭圆E：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)的离心率是193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为21553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

(1)求椭圆E的方程；

(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得550275f53c4cc8f293a8e5e18643f036.png＝a059f23d516eb14ebc73b1305d3574b5.png恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

解　(1)由已知，点(1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，1)在椭圆E上，

因此2ce3c13cc5eb9d1f91aa69b0f705d07a.png解得a＝2，b＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

所以椭圆E的方程为9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png＋f0ed2449092cf884014726b5d3a0a804.png＝1.

(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，

如果存在定点Q满足条件，则有47546cd7f6e959c10b91620c2f0a0184.png＝d4b6ee7f68c2abbe05bcb18525645cd7.png＝1，

即|QC|＝|QD|，

所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0).

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，(0，－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)，

由1fa79d8627b891432a8667b2a5ce2f52.png＝6f55a10ec19c2552dcec840426c3a5c9.png，有4fe9d5730d247e78c74464bc4cca6430.png＝5e0591d391398ddf34b16a348fae26b7.png，解得y0＝1，或y0＝2，

所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)，

下面证明：对任意直线l，均有550275f53c4cc8f293a8e5e18643f036.png＝a059f23d516eb14ebc73b1305d3574b5.png，

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

联立faa434ae528b6ad9d6e9e95a4da2b9de.png得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，

其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，

所以x1＋x2＝－8d3b9f4c34f5965d9c5581be4d0b3468.png，

x1x2＝－deb10e80849cd9e9f185b1e10cf9cc11.png，

因此e6a55f541123d4efac9aa989250a0c39.png＋17aed16400908464c9a8d10cb95dac11.png＝6423cd9781d2c585f26aa0d7780f116f.png＝2k，

易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，

又kQA＝282a1d9e0eecbb605e5dc021e3362caf.png＝784ca0ef81fdf4591e8442e1153e31e3.png＝k－e6a55f541123d4efac9aa989250a0c39.png，

kQB′＝d64a6cec8d566effa23a445db93da447.png＝61f09f89def6fcb176a56f22d8d3777e.png＝－k＋17aed16400908464c9a8d10cb95dac11.png＝k－e6a55f541123d4efac9aa989250a0c39.png，

所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，

所以550275f53c4cc8f293a8e5e18643f036.png＝963fb728bcfbda807901604da1be4d49.png＝77c55d7ad0310d672c4c156d8c4446ac.png＝a059f23d516eb14ebc73b1305d3574b5.png，故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得550275f53c4cc8f293a8e5e18643f036.png＝a059f23d516eb14ebc73b1305d3574b5.png恒成立.

11.(2016·四川卷)已知椭圆E：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

(1)解　由已知，a＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngb，则椭圆E的方程为e544ddffaebf6fcdbf59bec03b1a584e.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1.

由方程组fbb019aa3eb4c4a7439eb562400b9f1b.png得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①

方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，

此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为4d6ad1b3d09e56ee628f253bd68a5ee6.png＋d5c2ed309cb78a764fa430ccd9f50f13.png＝1.点T的坐标为(2，1).

(2)证明　由已知可设直线l′的方程为y＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngx＋m(m≠0)，

由方程组8dea22fbbd08f59e51be2813fe8cc81e.png可得86a26c813cfc9413e66483b8a803dfb8.png

所以P点坐标为94e4de371eb337766715b48a6d83d7fc.png.|PT|2＝ca71dcdc362f2f41820b42b272de33df.pngm2.

设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).

由方程组2466213750d67a5790a28bc613686271.png可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②

方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，

由Δ>0，解得－9795d5eb88ac5291c8ccf1e153605847.png<m<9795d5eb88ac5291c8ccf1e153605847.png.

由②得x1＋x2＝－f6197f0fcf2977d99d5bf12faebce78e.png，x1x2＝bfcc8bb27781be83e20cce4b3db0479c.png.

所以|PA|＝ce7a0c397a1f0f36b54e738faa643af6.png

＝e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.png820f1c7035efbf9552da55e84f0945c7.png，同理|PB|＝e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.pnge8fcab2e61e68df14d4f38573aa99612.png.

所以|PA|·|PB|＝9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png3a720489f058d122f3ef7bbd3ee709e6.png

＝9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png9b0cbf542a17955616a6058a5a3153ed.png

＝9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.pngc1998f6d8fd020354cebf7a50786f9d3.png

＝83c1c1f83eb836028b5e2eee0401dbd5.pngm2.

故存在常数λ＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.

创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系练习 理