一、命题的四种形式

1．对于“如果，则”形式的命题，称为命题的条件，称为命题的结论．

定理：经过证明为真的命题．

当命题“如果，则”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则可以推出，记作，读作“推出”．

2．命题的四种形式：

命题“如果，则”是由条件和结论组成的，对进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题．

⑴原命题：如果，则；

⑵原命题的逆命题：如果，则；

⑶原命题的否命题：如果非，则非；

⑷原命题的逆否命题：如果非，则非．

3．命题“如果，则”的四种形式之间有如下关系：

⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．

⑵互逆或互否的两个命题不等价．

<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．

二、充要条件

如果可推出，则称是的充分条件，是的必要条件．

一般地，如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作，显然也是的充要条件，此时又常说“当且仅当”或“与等价”．

如果，且，则称是的充分不必要条件，称为的必要不充分条件．

<教师备案>充分必要条件的两个典型案例：

①勾股定理．

勾股定理中就是直角三角形的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形．

②一元二次方程有实数根的充分必要条件．

判别式是一元二次方程有实数根的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以定性地研究一元二次方程的实数根．

三、简单的逻辑联结词&全称量词与存在量词

1．且：一般地，用逻辑联结词“且”把命题和联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“且”．

逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．

可以用“且”定义集合的交集：．

2．或：一般地，用逻辑联结词“或”把命题或联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“或”．

逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．

可以用“或”定义集合的并集：．

3．非：一般地，对命题加以否定，得到一个新的命题，记作，读作“非”或“的否定”．

逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．

有成立．

可以用“非”来定义集合在全集中的补集：．

4．不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．

复合问题的真值表：

5．存在性命题的否定：

存在性命题 ：，；它的否定是 ：，．

将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．

6．全称命题的否定：

全称命题 ：，；它的否定是 ：，．

将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．

<教师备案>对命题中关键词的否定：

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