待定系数法求二次函数解析式

1、【基础知识精讲】

(一）、中考导航图

1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质

顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)

4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

5.二次函数与一元二次方程的关系。

6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。

（二）、中考知识梳理

1.二次函数的图象

在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.

2.理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a<0时,简记左增右减,当x=-时y最大值=.

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.

4.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根.

5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定

a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异.

6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.

二、【典型例题精析】

一般式：

例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

解得

∴解析式为y=x2+2.

变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。

解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

解得

∴解析式为y=x2+2.

顶点式：

例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。

变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。

解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).

设解析式为y=a(x-h)2+k,

即y=a(x-1)2-8.

把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.

即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,

∴解析式为y=2x2-4x-6.

解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.

∵函数有最小值-8.

∴=-8.

又∵a≠0,∴a=2.

∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.

变式2： 已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，

因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，

又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得

解这个方程组，得：

所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。

解法二：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，

由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到

解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。

变式3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得

解这个方程组，得：

所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。

变式4：一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。

分析：解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解：抛物线经过点（）和，

这条抛物线的对称轴是直线。

设所求抛物线的解析式为。

将点代入，得，解得。

这条抛物线的解析式为，即。

点评：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。

两根式：

例3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。

解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),

设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.

变式： 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

想一想:还有其它方法吗?

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).

根据图像求解析式：

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到

解这个方程组，得

所以，所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4

练习：

一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

三、【同步练习】

1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。

解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1

因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a＝

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简解：依题意，得 解得：p＝－10,q＝23

所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。

3. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

4．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

5．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

四、【创新探究】

美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？

为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．

（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．

（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．

（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？

待定系数法求二次函数解析式