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发布时间：2023-11-29 06:41:16
例说正四面体的伴随正方体缪选民江苏省泰州市海陵区教育局教研室2253001．正四面体伴随正方体的由来人教版高二（下）教材第52页有这样一道习题：从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几。（如图1）问题并不难，只要用正方体的体积减去四个三棱锥的体积便知的体积是正方体体积的CA正三棱锥A—BCD的正四面体与正方1。该题本身并没有什么，但由它所折射出3D体的伴随关系却非同一般。2．正四面体伴随正方体的定义图1B事实上，正三棱锥A—BCD还是一个正四面体，它的六条棱长均相等。一般地，在一个正方体的相对两个面上，取两条不共面的面对角线，再将这两条对角线的四个端点两两相连，便得到一个正四面体，我们称正方体为所得正四面体的伴随正方体。（如图1）．．．．．显然，任意一个正四面体都有一个大小一定的伴随正方体。由课本习题及上述定义不难得到，正四面体和它的伴随正方体有如下结论：（1）正四面体的体积等于其伴随正方体体积的1；3（2）正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球；（3）正四面体的棱长等于其伴随正方体棱长的2倍。3．正四面体伴随正方体在解题中的应用既然正四面体和它的伴随正方体有如此密切的联系，所以可以通过研究正方体中的数量关系或位置关系来讨论正四面体中的相应关系，小题中尤其如此。例1．已知球的半径为R，则其内接正四面体的体积等于。解：因为球直径为2R，由结论（2）知，正四面体伴随正方体的棱长为23R，体积为833R3，再由结论（1）知，正四面体的体积等于183833RR。33327结两个面的例2．（2000年北京、安徽春）图2是一体积为72的正四面体，连重心E、F，则线段EF的长是 