学习遇到“拦路虎” 全等帮忙别发愁

（发表在《中学生数理化》）

学习数学的最终目的是为了应用。这里所说的应用包括两个方面：一是应用所学的数学知识解决生活中的实际问题，二是应用所学的数学知识解决一些数学问题。

全等三角形是平面几何内容的基础，是解决平面几何问题的基本工具。应用全等三角形的知识，不仅可以用来解决线段(角)相等、线段(角)的和差倍分关系等几何问题，而且也可以用来解决两线之间的位置关系等几何问题。另外，对于一些比较难度较大的几何题，全等三角形有时也可以派上用场，发挥着不可估量的作用。下面让我们一起目睹全等三角形的“风采”，见证它在解答几何难题的威力吧。

一、证明线段不等关系

在竞赛试题中，我们经常会遇到一类证明几条线段间的不等关系，而且这些线段比较分散。一种常见的解答策略是通过构造全等三角形，把相关线段转移到同一个三角形中，然后再应用三角形的三边关系定理证明。

例1 如图1，△ABC中，AB＞AC，AM是△ABC的角平分线，点N为线段AM上任意一点，连结NB、NC。

　　求证：AB-AC＜NB-NC。

　　分析：由待证结论中的“AB-AC”及“AM是△ABC的角平分线”，我们自然想到在线段AB上截取AD=AC并连结DN，这样既可出现线段“AB-AC”，同时又将NB、NC转移到同一个三角形中，可谓一举两得。

简证：在线段AB上截取AD=AC，连结DN。结合已知条件“AM是△ABC的角平分线”易证△AND≌△ANC。∴ND=NC。

在△BDN中，由三角形三边关系定理，得BD＜NB-ND。即AB-AC＜NB-NC。

　　说明：上面用到的证明方法叫做“截长法”，即在较长的线段上面截取一段等于较短的一条线段；也可以运用“补短法”，即把较短线段补成较长线段。如图2，延长AC至点E，使AE=AB，易证△ANB≌△ANE，然后在△CNE中运用三角形的三边关系定理即可证明。

二、判断直线垂直关系

判断两条直线垂直关系的方法较多，其中说明两条直线的夹角被过该角顶点的射线分成的两锐角α、β之和等于90°是一种常见的方法。如果已知条件再出现高或垂直等条件，这样往往可以得到直角三角形，由于直角三角形中的两锐角α、γ之和等于90°，于是只需证明β=γ，这可通过全等三角形来实现。

例2 如图3，在△ABC中，分别作AB、AC边上的高CM、BN，在线段CM上取一点D，使CD=AB，在线段BN的延长线上取一点E，使BE=AC。

求证：(1)AE=AD；(2)试判断直线AE、AD的位置关系并说明理由。

分析：由已知条件易证∠ABE=∠ACM。结合条件“CD=AB，BE=AC”可证AE、AD所在的两个三角形△ABE与△ACD全等。再判断直线AE、AD的位置关系就简单多了。

简解：(1)根据CM、BN分别是△ABC的AB、AC边上的高易证∠ABE=∠ACM。再结合条件“CD=AB，BE=AC”易证△ABE≌△DCA。∴AE=AD；

(2)AE⊥AD，理由：

由△ABE≌△DCA，得∠BEA=∠CAD。由BN是AC边上的高，得∠E+∠CAE=90°。∴∠CAD+∠CAE=90°，即∠EAD=90°。即AE⊥AD。

说明：本题的难点是判断直线AE、AD的位置关系。当然在证明△ABE≌△DCA，在判断直线AE、AD的位置关系就是顺理成章的事了。

三、求角的度数

在解答一类与求角的度数有关的问题时，有时很难看出待求的角与已知角之间的关系，或者说待求角的度数比较难求。由于全等三角形的对应角相等，此时不妨通过构造全等三角形，利用全等三角形将待求的角转化为另一个与之相等且容易求解的角，从而达到曲径通幽的目的。

例3 如图4，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，在AB上取一点D，使AD=BC，求∠ACD的度数．

分析：注意到△ABC是一个比较特殊的等腰三角形，它的顶角为20°，两个底角都为80°，底角与顶角之差为60°，为了利用条件“AD=BC”和△ABC的特殊性，可以BC为边构造等边三角形，并连结AE，借助全等三角形求解．

简解：如图4，以BC为边构造等边三角形BCE，连结AE．

∵AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠ACB=80°．

以BC为边构造等边三角形BCE，连结AE．

易证△ABE≌△ACE，∴∠EAC=∠BAC=10°．

又易证△ADC≌△CEA，∴∠ACD=∠EAC=10°．

说明：本题中的全等三角形非常隐蔽，要充分抓住顶角为20°的等腰三角形的底角与顶角之间的关系及条件“AD=BC”来构造与△ADC全等的三角形．当然本题也可这样构造与△ADC全等的三角形，如图5所示，以AB为边构造等边三角形，并连结BE，解答过程留给读者完成。

综上可知，几何中许多涉及两个角或两条线段相关问题的证明常常需要依赖于全等三角形．但有些题在给定图形中并没有相应的全等三角形，因此，证这类问题的关键在于如何构造相应的全等三角形．证题时，只要同学们抓住题目特点，开阔思路，善于从多角度分析思考，就一定能找到解题的途径．

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