华东理工大学2011–2012学年第二学期

《高等数学（上）11学分》课程期中考试试卷解答 2012.4

一．填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）：

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、 或 。

9、

10、

二．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）：

BBACDC

三、（本题10分）求微分方程的通解。

解法一：（1）先求的通解

事实上，其特征方程为，

故齐次方程的通解为。 3分

（2）再求原方程的一个特解

可令，则 2分

，

代入原方程可得

，所以一个特解为 3分

（3）最后求原方程的通解

有方程的解结构定理知原方程的通解为 2分

解法二：原方程化为，

即 5分

积分两次后得到

于是通解为 5分

四、（本题10分）

求过直线的平面使之平行于曲线在点处的切线。

解：过直线L 的平面方程， 3分

的法向：

因为，

曲线在点处的切线方向： 3分

由条件， 2分

所以所求平面方程：。 2分

五、（本题8分）

试证明曲面上任一点处的法线与z 轴都相交。

解： 设是曲面上的任意一点，则曲面在点处的法线方向为

， 3 分

经点的法线方程 L: 2分

由于z轴经过原点O，且

所以法线与z轴相交。 2+3分

六、（本题8分）

已知是二阶线性齐次方程

的一个解,求此方程的通解。

解： 用常数变易法。设方程的另一解为，则 2 分

，，代入方程得

， 2分

即

积分得 。

取，则，积分得。

所以方程有一解， 2分

且与解线性无关，

所以方程的通解 。 2分

华东理工大学高等数学（下）2011期中试卷（11学分）解答