17-153定积分的概念(1)

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1.6.1定积分的概念
教材分析
本节的主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质.教材在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速运动物体的位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质.在本节的开头，提出了如何计算平面“曲边梯形”的面积，如何求变速直线运动物体的位移、如何求变力做工等问题，并猜测解决它们的基本思想方法，即讲求“曲边图形”的面积转化为求“直边图形”的面积，利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题，从而引发学生学习定积分知识的兴趣.在教材的处理上，要大胆创新，明确求曲边梯形面积的步骤方法，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导.，让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．针对课本题目较少的特点，例题和练习的选择要遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多角度，多层次地认识曲边梯形的面积，多梯度地进行求面积的训练.
课时分配
本课时是定积分部分的第一课时，主要解决的是定积分的概念问题.
教学目标
重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.难点：定积分的概念、定积分的几何意义.
知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景.能力点：能用定积分的定义求简单的定积分.
教育点：特殊到一般的探究路程，享受从复杂到简单的和谐之美.自主探究点：图形的面积与定积分之间的关系.考试点：了解定积分的几何意义.
易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系.拓展点：链接高考.
教具准备实物投影机和粉笔.
课堂模式基于问题驱动的诱思探究.
一、创设情境
复习回顾：从求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.
2
许多函数(例如yx,y
x等的图象都在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线.如图1.
一般地,如果函数yf(x在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数yf(x称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
如图1

n
如图2
n

如图3

1
曲边梯形的面积：S=limf(ixlimf(i；如图2.
x0nni1i1

变速运动的路程：S=limv(itlimv(i
x0
i1
n
i1
nn
1
；如图3.n
事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限.
【设计意图】通过复习回顾求解步骤及结果的形式，使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知，逐渐过渡到对定积分的学习情境.
二、探究新知
1．定积分的概念
一般地，设函数f(x在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1x2将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（x一点ii1,2,
xi1xixnb
ba
），在每个小区间xi1,xi上取n
,n，作和式：Snf(ix
i1
i1
nn
ba
f(in
如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数
f(x在区间[a,b]上的定积分.记为：S

b
a
f(xdx，即f(xdxlimfi
a
n
i1
b
n
ba
n
其中f(x成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限.
说明：⑴定积分而不是Sn．
⑵用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi；③求和：

b
a
f(xdx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n时）称为f(xdx，
a
b
ba
f(i；ni1
n
④取极限：

b
a
f(xdxlimfi
n
i1
n
ba
.n
t2
b
⑶曲边图形面积：S

b
a
fxdx；变速运动路程Sv(tdt；变力做功WF(rdr.
t1
a
⑷易得曲边梯形的面积：S=2．定积分的几何意义

1
0
11151
S=v(tdt(t22dt.f(xdxx2dx，变速运动的路程：
00033
如果在区间[a,b]上函数连续且恒有f(x0，那么定积分（ab），y0和曲线yf(x所围成的曲边梯形的面积.

b
a
f(xdx表示由直线xa,xb


b
b
a
a

ba

b
b
a
a
b


Af(xdxAf(xdxA[f2(xf1(x]dx
如果在区间[a,b]上函数连续且恒有f(x0，那么定积分（ab），y0和曲线yf(x所围成的曲边梯形的面积.
说明：一般情况下，定积分
Af2(xdxf1(xdx[f2(xf1(x]dx
a

b
a
f(xdx表示由直线xa,xb

b
a
f(xdx的几何意义是介于x轴、函数f(x的图形以及直线xa,xb
之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
分析：一般的，设被积函数yf(x，若yf(x在[a,b]上可取负值.考察和式fx1xfx2x
f(xix
不妨设f(xi,f(xi1,fxnx，
,f(xn0
于是和式即为fx1xfx2x
b
f(xi1x{[f(xix]
[fxnx]}
f(xdx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）
a
3．定积分的性质
性质1性质2

b
b
ab
kf(xdxkf(xdx（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）
a
b

a
a
[f1(xf2(x]dxf1(xdxf2(xdx（定积分的线性性质）
a
a
bb
cb
性质3
f(xdxf(xdxf(xdx
a
c
(其中acb
【设计意图】使学生通过动手操作，实践体验的方法，切身感受到曲边图形的面积与定积分之间的关系.
三、理解新知

定积分

ba

b
a
f(xdx的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示，f(xdxS1S2S3.
ba
f(x0,f(xdxA，曲边梯形的面积.

17-153定积分的概念(1)

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