微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

中文名 微元法

外文名 infinitesimal method

简介：微元法是指在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体目的的方法。它在解决物理学问题时很常用，思想就是“化整为零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。

引言：这是一种深刻的思维方法，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体。

是对某事件做整体的观察后，取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体的方法。

例如，分析匀速圆周运动的向心加速度，根据加速度的定义，对圆周运动的速度变化进行微元分析，可以推导出向心加速度的表达式。

引入介绍

在高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难加以解决。例如对于求变力所做的功或者对于物体做曲线运动时某恒力所做的功的计算；又如求做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的。

取元原则：选取微元时所遵从的基本原则是

可加性：由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；

有序性：为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ；

平权性：叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式

换元技巧：就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数” 满足形如（4）式所示的“平权”的条件，这将会给接下来的叠加演算带来困难，所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数” ，使之具备形如（4）式的“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。

最常见的换“元”技巧有如下几种

（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；

（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。[1] 

介绍文章摘要

“微元法”是分析、解决物理问题的常用方法。本文结合具体的例题对“微元法”在物理解题中的应用进行了介绍。 关键词：“微元法”；物理解题；应用[1] 

作者简介：杜中华，任教于江苏省江都市仙城中学，中学物理高级教师，曾被评为“江苏省优秀班主任”、“扬州市中青年教学骨干”、“江都市名教师”。

“微元法”是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。利用“微元法”处理问题时，需将复杂的物理过程分解为众多微小的、遵循相同规律的“元过程”(微元)，从而将非理想物理模型变成理想物理模型，然后利用必要的数学和物理方法处理“元过程”(微元)，从而解决问题。下面仅就“微元法”在物理解题中的应用，赘述肤浅认识：

一、“微元法”解题一般步骤

第一步，取元。隔离选择恰当微元(空间元、时间元)作为突破整体研究的对象。微元可以是:一小段线段、圆弧;一小块面积;一个小体积、小质量;一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。比如，在x-t图像中，时间很短或位移很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以V△t=△x,lv△t=l△x=△x

第二步，模型化。将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动等)，并运用相关物理规律，求解这个微元，并注意适当的换元。

∑△v=v第三步，求和。将一个微元的求解结果推广一到其他微元，并充分利用各微元间的关系，如对称关系、矢量方向关系、量值等关系)，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解。比如v-t图像中，把许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑△s=△S（注意：前面的为小写，后面的为大写），并且∑△v=v-v0，当末速度v=0时,∑△v=v0或初速度v=0时，有∑△v=v，这个求和的方法体现了积分思想。

二、“微元法”在解题中的应用[2] 

1.直接以微元为研究对象解题　对于连续变化过程中的某个量，以全过程为研究对象难以求解，可选取微元为研究对象解题。

例1：高压采煤水枪出口的横截面积为s，水的射速为v，射到煤层上后水柱的速度变为零，若水的密度为ρ，求水对煤的冲力。　解析：用微元法分析，取冲到墙上的一小段水柱为研究对象，设这一小段水的质量为，则。取水平向左为正方向，由动量定理得，，由牛顿第三定律，水对煤层的冲力，其中负号表示方向水平向右。

例2：如图所示，一个身高为h的人在灯下以恒定速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。　解析：用微分法分析，设时间△t内，人移动距离AB为△x，人影移动距离AC为，由几何知识可得：　故人影的顶端C点做匀速直线运动。

例3：阴极射线管中，由阴极K产生的热电子(初速为零)经电压U 加速后，打在阳极A 板上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。求电子打击A板过程中A板所受的压强。（已知电子的电量为e、质量为m） 　解析：用微分法分析，在时间Δt内打在A板S面积上的电子数：　 ①　动能定理： ②　动量定理： ③　由①②③得：

2.取微元为研究对象再求和解题　功是力在位移上的积累，冲量是力对时间的积累，位移是速度对时间的积累，电量是电流对时间的积累……一些习题中常需要求解一个变化量对另一个量的积累。解这类问题，微元法是常用方法。取微元，再结合微元的物理意义，运用数学工具（如运用图象面积）求得微元之和，常可破解难点。

例4：（江苏2006高考）如图所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿导轨MON向右运动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨的接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时，导体棒位于顶角O处，若在时刻将外力撤去，求导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。　解析：导体棒做变加速运动，运动过程中导体棒有效长度、受力、速度都在不断变化，故利用牛顿定律和运动学公式求位移，显然不行。能否取微元求和，通过求面积来求位移？取足够短时间微元△t，在△t内导体棒的运动可视为匀速运动，导体棒有效长度、电流均视为恒定。撤去外力后，设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，有效长度为l，△t内通过距离△x，则在t~t+△t时间内，由动量定理得：

例5：（江苏2009高考）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“--”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1。

解析：设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d

由动能定理得：mgsinα·2d-BIld=0-1/2mv2

装置在磁场中运动时收到的合力F=mgsinα-F′

感应电动势 E=Bdv 感应电流 I′=E/R 安培力 F'=BI'd

由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有△v=△t·F/m

则∑△v=∑[gsinα-B2d2v/mR]△t 有v1=gt1sinα-2B2d3/mR

解得 t1={√[2m(BIld-2mgdsinα)]+2B2d3/R}/mgsinα[1] 

微元法