北京市朝阳区2013届高三年级4月第一次综合练习

数学学科测试（文史类） 2013.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）为虚数单位，复数的虚部是

A． B． C． D .

（2）若集合，，则

A. B. C. D.

（3）已知向量，.若，则实数的

值为

A． B． C． D．

（4）已知命题：，；命题：，.

则下列判断正确的是

A．是假命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题

（5）若直线与圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D .

（6）“”是“关于的不等式组表示的平面区域为三角形”的

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.

B.

C.

D. 8

（8）已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有

A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .

（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .

（11） 在等比数列中，，则 ，若为等差数列，且，则数列的前5项和等于 .

（12）在中，,,分别为角,,所对的边，且满足，则 ，

若，则 .

（13） 函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .

（14）在平面直角坐标系中，点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

已知函数（）的最小正周期为.

（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；

（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.

（16） （本小题满分13分）

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用

茎叶图表示如下：

（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；

（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．

(注：，其中为数据的平均数.)

（17） （本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.

（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，

写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．

（18） （本小题满分13分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

（19） （本小题满分14分）

已知椭圆过点,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线，分别交直线 于，两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.

（20）（本小题满分13分）

由按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求的最大值.

(注：对任意，都成立.)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类） 2013.4

一、选择题：

二、填空题：

（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） ……………………………………………1分

. ……………………………………………………4分

因为最小正周期为，所以.………………………………………………5分

于是.

由，，得.

所以的单调递增区间为[]，.……………………………8分

（Ⅱ）因为，所以， …………………………………10分

则. …………………………………………………12分

所以在上的取值范围是[]. ………………………………………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分

（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，

则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为．………………6分,

（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有个结果，分别记为：

（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）

（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），

（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），

（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），

（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.

则空气质量等级相同的为：

（29，41），（29，43），

（53，55），（53，58），（53，78）,

（57，55），（57，58），（57，78），

（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.

则.

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．

…………………………………………………………………13分

（17）（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，

所以 ．

因为，所以．

而平面，平面，

所以平面． ……………………………………………………4分

（Ⅱ）因为平面平面，

平面平面，且，平面.

所以平面，又平面，所以．

又因为，，所以平面，

而平面，

所以平面平面．……………………………………………………8分

（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.

在棱上显然存在点,使得.

由已知，，，，．

由平面几何知识可得 ．

由（Ⅱ）知，平面，所以，

因为，所以平面．

而平面，所以．

又因为,所以平面.

在中，，

可求得，．

可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．……………14分

（18）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)由可知，函数定义域为，

且.由题意，，

解得.……………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）.

令，得，.

（1）当时，，令，得;令，得.

则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）当，即时，令，得或.

则函数的单调递增区间为，.

令，得.

则函数的单调递减区间为.

（3）当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.

（4）当，即时，令，得或，

则函数的单调递增区间为，.

令，得.

则函数的单调递减区间为. ……………………………………13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）依题得解得，.

所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分

（Ⅱ）根据已知可设直线的方程为.

由得.

设,则.

直线，的方程分别为：，

令，

则,所以.

所以

. ……………………………………………………14分

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）.………3分

（Ⅱ）证明：由及其推广可得，

=. ……………………………7分

（Ⅲ）的倍与倍共个数如下：

其中最大数之和与最小数之和的差为，所以，

对于，，

所以的最大值为. ……………………………………………………13分

注：使得取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.

2013届北京市朝阳区高三一模数学文科试题（WORD精校版）