高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

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第3节二元一次不等式(组与简单的线性规划问题
最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知识梳理
1.二元一次不等式(组表示的平面区域
(1一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成实线.
(2对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y，代入Ax＋By＋C所得值的符号都相同，所以只需取一个特殊点(x0，y0作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可判断Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
(3不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念
名称线性约束条件目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题[常用结论与微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
意义
由x，y的一次不等式(或方程组成的不等式组，是对x，y的约束条件
关于x，y的解析式关于x，y的一次解析式满足线性约束条件的解(x，y所有可行解组成的集合
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
桑水

(1直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1或(1，0来验证.
2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，
z
bzb
zz
z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小
bb
值；截距取最小值时，z取最大值.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”
(1不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.((2线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(
(3线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(
(4在目标函数z＝ax＋by(b≠0中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(
解析(1不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.(4直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.答案(1×(2√(3√(4×
2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(A.(0，0
B.(－1，1
C.(－1，3
D.(2，－3
z
b
zb
解析把各点的坐标代入可得(－1，3不适合.答案C
x－3y＋6≥0，
3.(教材习题原题不等式组表示的平面区域是(
x－y＋2<0
桑水


解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案B
x＋2y≤1，
4.(2017·全国Ⅰ卷设x，y满足约束条件2x＋y≥－1，则z＝3x－2y的最小值为
x－y≤0，
________.
x＋2y≤1，
解析不等式组2x＋y≥－1，表示的平面区域如图所示.
x－y≤0

3z3z
由z＝3x－2y得y＝x－，当直线y＝x－过图中点A时，纵截距最大，此时z取最小值.
2222
2x＋y＝－1，
由解得点A(－1，1，此时z＝3×(－1－2×1＝－5.x＋2y＝1
答案－5
x－y＋1≥0，y
5.(2018·石家庄质检若x，y满足约束条件x－2≤0，则z＝的最大值为________.
x
x＋y－2≥0，
桑水

解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z＝＝
yx
y－0
，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA.由x－0
x－y＋1＝0，13得A，，
22x＋y－2＝0，
3
2
kOA＝＝3，∴zmax＝3.
12答案3

考点一二元一次不等式(组表示的平面区域
【例1】(1不等式(x－2y＋1(x＋y－3≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示，应是下列图形中的(

x＋y－2≤0，4
(2若不等式组x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为
3
x－y＋2m≥0
(A.－34
C.3

B.1D.3
x－2y＋1≥0，x－2y＋1≤0，
解析(1(x－2y＋1(x＋y－3≤0⇒或画出平面区域后，
x＋y－3≤0x＋y－3≥0.
只有C符合题意.
(2如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，
桑水


x＋y－2＝0，x＝1－m，由解得即A(1－m，1＋m.x－y＋2m＝0，y＝1＋m，
x＋2y－2＝0，由解得x－y＋2m＝0，

22y＝3＋3m，
x＝－m，
24
33
112422即B－m，＋m，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m(1＋m－(22233332142
＋2m·(1＋m＝(1＋m＝，
333解得m＝－3(舍去或m＝1.答案(1C(2B
规律方法1.二元一次不等式(组表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：
(1首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】(2018·郑州预测若不等式x＋y≤2所表示的平面区域为M，不等式组
2
2
x－y≥0，
x＋y≥0，表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概y≥2x－6
率为________.
1解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为×3
2π
2π1π2
×(6＋2＝12，区域M在区域N内的面积为π(2＝，故所求概率P＝＝.
421224
桑水


答案
π24
考点二求目标函数的最值问题(多维探究命题角度1求线性目标函数的最值
x＋3y≤3，
【例2－1】(2017·全国Ⅰ卷设x，y满足约束条件x－y≥1，则z＝x＋y的最大值为
y≥0，
(A.0
B.1
C.2
D.3
解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界，则当目标函数z＝x＋y经过
A(3，0时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3.

答案D
命题角度2求非线性目标函数的最值
x＋y≤2，22
【例2－2】(1若变量x，y满足2x－3y≤9，则x＋y的最大值是(
x≥0，
A.4
B.9
C.10
D.12
y≤x－1，x
(2(2018·湘中高三联考已知实数x，y满足x≤3，则的最小值是________.
y
x＋5y≥4，
桑水

解析(1作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界，x＋y表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A(3，－1与原点的距离最大，所以x＋y的最大值是10.
(2作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以y3答案(1C(2
2
命题角度3求参数的值或范围
2
2
2
2
xy
xy
x＝1＝3.minkOA2
x＋3y＋5≥0，
【例2－3】(2018·惠州三调已知实数x，y满足：x＋y－1≤0，若z＝x＋2y的最小值
x＋a≥0，
为－4，则实数a＝(A.1
B.2
C.4
D.8
解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点
a－5a－5C－a，＝－4，解得a＝2.时，z取得最小值－4，所以－a＋2·
3
3

答案B
规律方法1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：
(1x＋y表示点(x，y与原点(0，0的距离，（x－a）＋（y－b）表示点(x，y与点(a，b的距离；
(2表示点(x，y与原点(0，0连线的斜率，
2
2
2
2
y
xy－b
表示点(x，y与点(a，b连线的斜率.x－a
桑水

3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
x－y＋3≤0，
【训练2】(1(2017·山东卷已知x，y满足约束条件3x＋y＋5≤0，则z＝x＋2y的最大
x＋3≥0，
值是(A.0
B.2
C.5
D.6
2x－y＋2≥0，5
(2(2018·新乡模拟若实数x，y满足2x＋y－6≤0，且z＝mx－y(m<2的最小值为－，
2
0≤y≤3，则m等于(5
A.4
5B.－
6
C.1
1D.3
解析(1由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y经过点C(－3，4时取最大值zmax＝－3＋2×4＝5.
(2作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，

y＝3，5
z＝mx－y(m<2的最小值为－，可知目标函数的最优解过点A，由解得
22x－y＋2＝0，
A，3，

5m
∴－＝－3，解得m＝1.
22答案(1C(2C
考点三实际生活中的线性规划问题
【例3】(2016·全国Ⅰ卷某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件
桑水
12

下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
x＋0.3y≤90，
x＋3y≤600，5
x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，
++
1.5x＋0.5y≤150，

目标函数z＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100，(0，200，(0，0，(90，0，在(60，100处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元.答案216000
规律方法解线性规划应用问题的一般步骤：(1分析题意，设出未知量；(2列出线性约束条件和目标函数；(3作出可行域并利用数形结合求解；(4作答.
【训练3】(2018·黄冈联考一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.
解析设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
18x＋15y≤66，6x＋5y≤22，则得3x＋y≤9，即3x＋y≤9，目标函数z＝200x＋100y.
x≥0，x≥0，y≥0.y≥0.
作出可行域(如图阴影部分所示.当直线z＝200x＋100y经过可行域上
4x＋y≤10，4x＋y≤10，
桑水

4x＋y＝10，
点B时，z取得最大值.解方程组得点B的坐标(2，2，故zmax＝200×2＋100×2
6x＋5y＝22，
＝600.答案600

基础巩固题组(建议用时：30分钟
一、选择题
y≤－x＋2，
1.不等式组y≤x－1，所表示的平面区域的面积为(
y≥0
A.1
1
B.2
1C.3
1D.4
解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.
y＝－x＋2，1111由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB×＝.
2224y＝x－1，
答案D
x≤3，
2.(2017·北京卷若x，y满足x＋y≥2，则x＋2y的最大值为
y≤x，
(A.1
B.3
C.5
D.9
1z1z
解析画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－x＋，当直线y＝－x＋过B(3，3时，z取
2222得最大值9.

答案D
桑水

2x＋3y－3≤0，
3.(2017·全国Ⅱ卷设x，y满足约束条件2x－3y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是(
y＋3≥0，A.－15
B.－9
C.1
D.9
解析作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B(－6，－3处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.

答案A
3x＋2y－6≤0，
4.(2017·全国Ⅲ卷设x，y满足约束条件x≥0，则z＝x－y的取值范围是(
y≥0，A.[－3，0]
B.[－3，2]
C.[0，2]
D.[0，3]
解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0处取得最大值z＝2－0＝2.

答案B
x－y－1≤0，
5.(2018·河北名校联盟质检设变量x，y满足约束条件x＋y≥0，则z＝x－2y的最
x＋2y－4≥0，
大值为(A.－12
B.－1
C.0
3D.2
解析作出可行域，如图阴影部分，作直线l0：x－2y＝0，平移直线l0，可知经过点A时，
z＝x－2y取得最大值，
桑水

x＋2y－4＝0，由得A(2，1，所以zmax＝2－2×1＝0，x－y－1＝0，
故选C.

答案C
6.(2018·上饶调研若1≤log2(x－y＋1≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是(A.0
B.－2
C.2
D.6
2≤x－y＋1≤4，
满足约束条件即
2≤x≤4，
解析1≤log2(x－y＋1≤2，|x－3|≤1即变量x，y
x－y－3≤0，
x－y－1≥0，2≤x≤4.
作出可行域(图略，得x－2y的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.答案C
x＋y≥1，
7.(2018·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考若x，y满足mx－y≤0，且z＝3x－y
3x－2y＋2≥0
的最大值为2，则实数m的值为(1
A.3
2B.3
C.1
D.2
解析若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y131＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2，4，B，.mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，3441
当m＝时，经检验不符合题意，故m＝2.
3答案D
桑水

x－y＋1≤0，22
8.若变量x，y满足约束条件y≤1，则(x－2＋y的最小值为(
x>－1，
32
A.
2
B.5
9C.2
D.5
解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.

设z＝(x－2＋y，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0的距离的平方，由图知C，
y＝1，x＝0，D间的距离最小，此时z最小.由得即C(0，1，x－y＋1＝0y＝1，
2
2
此时zmin＝(x－2＋y＝4＋1＝5.答案D
二、填空题
22
x－y≥0，
9.(2017·全国Ⅲ卷若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，则z＝3x－4y的最小值为
y≥0，
________.
解析画出可行域如图阴影部分所示.3z
由z＝3x－4y，得y＝x－，
44
3
作出直线y＝x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1处取最小值，故
4
zmin＝3×1－4×1＝－1.

答案－1
桑水

10.(2018·铜川模拟已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1，若点N(x，y为平面区域
x＋y≤2，1→→x≥，上的一个动点，则OM·ON的最大值是________.2y≥x
解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
11其中A，，
22B，，C(1，1.22

→→
设z＝OM·ON＝2x＋y，
当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1时，z＝2x＋y取得最大值3.答案3
11.(一题多解已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示.
a＋b＝2，
解析法一设2x－3y＝a(x＋y＋b(x－y，则由待定系数法可得解得
a－b＝－3，
13

5b＝2，
a＝－，

1
2
15
所以z＝－(x＋y＋(x－y.
22
又515
5＜（x－y）＜，22
法二作出不等式组
11－2＜－（x＋y）＜，
22

所以两式相加可得z∈(3，8.
－1＜x＋y＜4，
表示的可行域，如图中阴影部分所示.2＜x－y＜3
平移直线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3，1时，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝
－1与x－y＝3的交点B(1，－2时，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3，8.答案(3，8
桑水

x＋y－2≤0，
12.x，y满足约束条件x－2y－2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a
2x－y＋2≥0.
的值为________.
解析如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距.故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
答案2或－1
能力提升题组(建议用时：15分钟
13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(
A(吨B(吨
A.12万元C.17万元

甲31
乙22
原料限额128
B.16万元D.18万元
3x＋2y≤12，
解析设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有x＋2y≤8，
x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值.
x＋2y＝8，
由得A(2，3.3x＋2y＝12
桑水

则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元.答案D
x－2y＋1≥0，
14.(2018·高安中学联考已知实数x，y满足x<2，z＝|2x－2y－1|，则z的取
x＋y－1≥0，
值范围是(
5A.，5
3
C.[0，5]

B.[0，5
5D.，53
解析作出可行域如图所示：

312易求得A2，，B，，C(2，－1，233
令u＝2x－2y－1，则y＝x－
u＋1
2
，当直线y＝x－
u＋1
2
过点C(2，－1时，u有最大值5；过
512点B，时，u有最小值－.333
因为可行域不包括x＝2的边界，所以z＝|2x－2y－1|的取值范围是[0，5.答案B
x＋2y－3≤0，
15.已知变量x，y满足约束条件x＋3y－3≥0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0仅在点(3，
y－1≤0，
0处取得最大值，则a的取值范围是________.解析画出x，y满足约束条件的可行域如图所示，

要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3，0处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线
x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>.
1212
桑水

1答案，＋∞2
y≤lnx，y＋116.(2018·安徽江南十校联考已知实数x，y满足x－2y－3≤0，则z＝的取值范围为
x
y＋1≥0，
________.
解析作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z＝
y＋1
表示区域内的点(x，y与A(0，x
x0
1
－1连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0，kAP＝，lnx0＋11∴＝，∴x0＝1，kAP＝1，
x0x0
即z＝
y＋1
的取值范围为[0，1].x

答案[0，1]
桑水

高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

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