专题复习1 方程与函数

◆考点链接

方程与函数综合题，历年来是中考热点，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法．

◆典例精析

【例题1】（吉林）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子，动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止；点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P、Q两点用一条可伸缩的细像皮筋联结，设x（s）后橡皮筋扫过的面积为y（cm2）．

（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；

（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；

（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时，∠POQ的变化范围；

（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

解题思想：不能利用待定系数确定函数解析式时，常常可以通过列方程的思想，建立两个变量间的关系，而等量关系则是沟通它们之间的桥梁． 解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，而y=AP·AQ．即y=x2；

（2）当S四边形ABPQ=S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子，

这时BP=2x－2，AQ=x，（2x－2+x）×2=×22．∴x=；

（3）当1≤x≤时，AB=2，BP=2x－2，AQ=x．

∴y=×AB=3x－2，即y=3x－2．

当≤x≤2时，BP=2x－2，AQ=x，过O点作OE⊥AB，E为垂足，

这时OE=1，y=S梯形BEOP+S梯形OEAQ．

∴y=x，90°≤∠POQ≤180°；

（4）作图略．

评析：根据时间确定几何图形面积是建立函数关系式的关键，不规则图形面积用规则图形的面积表示，则是求解问题的突破口．

【例题2】（哈尔滨）2006年春，我市为美化市容，开展城市绿化活动，要种植一种新品种树苗，甲、乙两处育苗基地均以每株4元的价格出售这种树苗，并对一次性购买该种树苗不低于1 000株的用户实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，其余树苗按原价的九折出售．

（1）规定购买该树苗只能在甲、乙两处中的一处购买，设一次性购买x（x≥1000，则x为整数）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买，所花费用为y1元，写出y1与x之间的函数关系式；若在乙处育苗基地购买，所花的费用为y2元，写出y2与x之间的函数关系式（均不要求写出自变量x的取值范围）．

（2）若在甲、乙两处分别一次性购买1 500株该种树苗，在哪一处购买所花的费用少？为什么？

（3）若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2 500株，购买这2 500株树苗所花的费用至少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？

解：（1）y1=0.8×4x=3.2x，即y1=3.2x；

y2=0.9×4（x－150），即y2=3.6x－540．

（2）当x=1 500时，y1=3.2×1 500=4 800，

y2=3.6×1 500－540=4 860，y12．

∴在甲处购买所花的费用少．

（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．

则w=3.2（2 500－a）+3.6a－540，

即w=0.4a+7 460．

∵

∴1 000≤a≤1 500，且a为整数．

∵0.4>0，∴w随a增大而增大．

∴当a=1 000时，w最小=7 860．

2 500－1 000=1 500（株）．

答：至少需花费7 860元，应在甲处购买1 500株，在乙处购买1 000株．

评析：有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．

探究实践

【问题】（海淀）已知：抛物线y=x2－mx+m－2

（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．

（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

解题思路：（1）证△>0；（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x轴与y轴上两种情形．

解：（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）方程x2－mx+m－2=0的根为x=

由m为整数，当（m－2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才可能交于整数点．

设（m－2）2+4=n2（其中n为整数）．

所以[n+（m－2）][n－（m－2）]=4．

因为n+（m－2）与n－（m－2）的奇偶性相同，

所以解得m=2．

经检验，m=2合题意．

（3）当m=2时，抛物线y=x2－2x，顶点A（1，－1），与x轴交点为O（0，0），B（2，0），易知△AOB为等腰直角三角形．∴M1（1，0）为所求的点．

若满足条件的点M2在y轴上时，设M2（0，y），作AN⊥y轴于N．

由M2A=M2B，得（y+1）2+12=y2+22，得y=1，

∴M2（0，1）也为所求的点．

综上所述满足条件的M点坐标为（1，0）或（0，1）．

评析：一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．

◆中考演练

一、填空题

1．已知：反比例函数y=与一次函数y=2x+k的图象的一个交点的横坐标是－4，则k的值是________．

2．函数y=x2+2（a+2）x+a2的图象与x轴有两个交点，且都在x轴的负半轴上，则a的取值范围是________．

二、选择题

1．点P（a，b）是直线y=－x+5与双曲线y=的一个交点，则以a、b为两实数根的一元二次方程是（ ）．

A．x2－5x+6=0 B．x2+5x+6=0 C．x2－5x－6=0 D．x2+5x－6=0

2．关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在（ ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

三、解答题

1．（济南）已知：抛物线y=－x2+（6－）x+m－3与x轴有A、B两个交点，且A、B两点关于y轴对称．

（1）求m的值；

（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；

（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．

2．已知c<0，且满足=│2c+1│，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－的图象的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且OA：OB=1：2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．

◆实战模拟

一、填空题

1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+b不经过第______象限．

2．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=_______．

3．已知：二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC=4，则m=________．

二、选择题

1．抛物线y=x2－（2m－1）x－2m与x轴交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且=1，则m的值为（ ）．

初中数学专题复习方程与函数（含答案）