盐城市龙冈中学高一下学期期中考试数学试题

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盐城市龙冈中学
2012/2013学年度第二学期高一年级期中考试
数学试题

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应的横线上．）1．函数ysinxcosx1的最小正周期为.
3
，且过点P1,2，则直线方程为_____________.4
3．函数y=2cos2x+sin2x的最小值.2．一直线倾斜角的正切值为
4．正方体的全面积是24cm，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________cm.
5．已知直线y(3a1x1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是.
6．已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5,则此三棱柱的体积为______.7．已知两条不同直线l、m，两个不同平面、，给出下列命题：
①若l垂直于内的两条相交直线，则l⊥；②若l//，则l平行于内的所有直线；③若m
2
2
，l且l⊥m，则⊥；④若l⊥，l，则⊥。
其中正确命题的序号是.
π
8．在△ABC中，BC＝1，B＝3，当△ABC的面积为3时，AC＝.4
9．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________.
10．△ABC中，∠ABC90，PA⊥平面ABC，则右图中直角三角形
的个数为．
11．在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若a2b2c2bc，
且sinBsinC1，则角B=.
12．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定
方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西
北

120A
2
B2
105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到
达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船
B1
105A
1
甲相距102海里，则乙船每小时航行海里.
乙
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sinC＝2sinB，

则A＝________.
14．在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心.则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为.
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本大题14分）
已知直线l过点A（－2，3）
（1）直线l的倾斜角为135，求直线l的方程；
（2）直线l在两坐标轴上的截距之和为2，求直线l的方程.

16．（本大题14分）
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O。求证：（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD.17．（本大题15分）
xxx
3cos2－sin2.已知函数f(x＝2cos2


（1）设x∈0,

，且f(x＝3＋1，求x的值；2
3
，求ab的值．2
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB＝1，f(C＝3＋1，且△ABC的面积为

18．（本大题15分）
已知ABC中，内角A且bcosC(2accosB.、B、C的对边的边长为a、b、c，（1）求角B的大小；（2）若ycosAcosC,求y的取值范围．
19．（本大题16分）
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数yAsin(x
2
2
2π
A0,0，x4,0时的图象，且图象的最高点为3
B（－1，2）。赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD//EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．

（1）求的值和DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．20．（本大题16分）
在△ABC中，BAC90,B60,AB1,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）.将△ABD沿着AD折起到△ABD的位置，连结BC（如图2）.（1）若平面ABD⊥平面ADC，求三棱锥B-ADC的体积；
（2）记线段BC的中点为H,平面BED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l；（3）求直线AD与BE的所成角.
（图1）（图2）2013.4

盐城市龙冈中学2012/2013学年度第二学期
高一年级期中考试数学试题参考答案

一、填空题1．
2．3x4y503．1-2


7．①④


4．128．13

5．a
1
6．4533


29．3


10．414．12

11．30


12．302
13．60二、解答题
15．解：（1）的方程为y=-(x+2+3，即y=-x+1………………………6分（2）设线方程为：y=kx+b因为过点A(-2,3所以3=-2k+b当y=0，x=-
bb
当x=0，y=b-+b=2kk
b
b2
解方程组k
2kb3
解得k1=-1，b=1
k2=

3
,b=6所以直线方程为:y=x+1或3x-2y+12=0………………………14分2

16．证：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点。又因为E为PD的中点，所以OE∥PB。
因为OE平面PBC，PB平面PBC，所以OE∥平面PBC。………………………7分


（2）因为PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC。
在正方形ABCD中，AC⊥BD。
又因为BD平面PBD，PD平面PBD，且BDPDD，所以AC⊥平面PBD。又因为AC平面ACE，
所以平面ACE⊥平面PBD。………………………14分
πxxx
x＋6＋3.17．解：(1f(x＝23cos22－2sin2cos2＝3(1＋cosx－sinx＝2cos
ππ1
x＋6＋3＝3＋1,得cosx＋6＝.由2cos2

πππ
于是x＋＝2kπ±(k∈Z，因为x∈0,，所以x＝.………………………7分
6362

π
(2因为C∈(0，π，由(1知C＝.
6
331π
因为△ABC的面积为2，所以2＝2absin6，于是ab＝23，①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，
π
由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7，②
6
a＝2，a＝3，
由①②可得或于是a＋b＝2＋3.…………………15分
b＝3b＝2.

18．解：（1）由正弦定理可得：sinBcosC2sinAcosBsinCcosB即sin(BCsinA2sinAcosB，因为0A，所以sinA0，

cosB
1
，B。………………………7分23
2
（2）由（1）知AC，
311422
则ycosAcosC(cos2Acos2C1[cos2Acos(2A]1
223

1131
(cos2Asin2A1cos(2A122223
0A
251
则1cos(2A2A
333332
15
所以y的取值范围为[,………………………15分
24

19．解：（1）由条件，得A2，∵T
T
3．……………………………………………2分4
2π

，∴
π
．………………………………………………4分6
π2π
∴曲线段FBC的解析式为y2sin(x．
63
ππ
当x=0时，yOC3．又CD=3，∴COD，即DOE．……7
44分
（2）由（1），可知OD6．

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故OP6．
π
设POE，0≤，“矩形草坪”的面积为
4S6sin

6cos6sin6sincossin2

111π
=6(sin2cos232sin(23．
2224
ππππ
∵0≤，故当2时，=时，S取得最大值．………………16分
4428
20．





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