第四章 多项式与矩阵

计划课时: 24学时 (P159-220).

§4.1 带余除法 多项式的整除性 (2学时)

教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质

教学重点、难点： 带余除法及带余除法定理的证明

本节内容分以下四个问题讲授：

一． 多项式的定义(P159定义1)

注: 在讲多项式的定义时, 重点放在形式表达式上

注意区分零多项式和零次多项式.

二． 消去律问题(P161推论4.1.2)

,

在证这个结论时要强调指出,并不是在上式两端除去而得结论, 因为这时我们还没讲多项式的除法.

三． 带余除法(p161定理4.1.3)

, 或＜

这里要强调指出,用多项式去除时要求.

注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。

四． 整除的定义、性质以及整除的判定

注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法,不涉及多项式的除法, 因此由该定义就可得到:零多项式整除零多项式, , 所以0|0（而不能用记号）.

作业：P214，1，2，3，4，5.

§4.2 最大公因式 (4学时)

教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法.

教学重点、难点：

1. 辗转相除法

2. 辗转相除法的证明

本节内容分以下三个问题讲授：

一．最大公因式的定义(P164 –167).

注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的.

2.最大公因式一定是存在的.

二．最大公因式的求法(P166 –167).

（1）辗转相除的过程.

（2）

注意: 辗转相除过程中最后一个不为零的余式是的一个最大公因式,推下去,容易得到

但满足上式的不唯一(可举例说明).

三． 多项式的互素(P170)

注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时,应详细讲解两个多项式互素问题:

互素.

另外, 补充三个性质:

(1)．,则.

(2)． ,且,则.

(3)． ,,且,则.

注意下面两个结论的不同之处:

作业：P215 7，8，10，11，12，19.

§4.3 多项式的分解(4学时)

教学目的及要求：理解不可约多项式、k重因式的定义，掌握它们的性质及因式分解唯一性定理

教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理

本节内容分为下面三个问题讲授：

一.不可约多项式的定义及性质(P170-172)

(1).不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的.换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题.

(2).不可约多项式与任意多项式f(x)的关系是: 要么, 要么,仅仅只有一个成立.

二. 多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关

若都是数域,且, , 则在中的不可约分解与在中的不可约分解一般不同.

例 若,是有理数域,是实数域.则在中,的不可约分解是

.

而在中,的不可约分解是

.

三. 多项式的导数(P174的定义3)

设

记的导数为,则

这里导数的定义是纯粹形式上的. 不涉及函数、连续、极限等概念.

作业： P215 13，14，15，16，17，18.

§4.4 最大公因式的求法（I） （2学时）

教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化为简单矩阵的方法

教学重点、难点：

1. 用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法

2. 定理4.4.7的证明

本节内容分下面三个问题讲授：

一. 多项式系矩阵A的最大公因式（定义1）

注：给定一个矩阵A,则A一定能确定一个多项式系而这个多项式的最大公因式又叫矩阵A的最大公因式.

二. 矩阵的准等价与矩阵的准初等变换()

A与B有相同的最大公因式.

注: 两个矩阵准等价时,行数不一定相等, 列数也不一定相等.

例如 , .

A与B准等价,A是3行4列,B是2行3列.

要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大.

三. 准初等变换与矩阵最大公因式的关系()

定理4.4.5 准初等变换不改变矩阵的最大公因式.

(证明略).

该定理的证明比较长,但并不复杂.可由3个引理直接得到, 这样的证明简明扼要.

有了定理4.4.5, 定理4.4.6, 定理4.4.7, 便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法.

例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法. 与辗转相除法比较, 该方法优越的多.

作业： P215-216 20.

§4.5 最大公因式的矩阵求法(Ⅱ) (4学时)

教学目的及要求：掌握用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法

教学重点、难点：

1. 用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法

2. 定理4.5.3的证明

本节内容分下面四个问题讲授：

一.方法(Ⅱ)与方法(I)的区别.

§4.4 的例2给出了求最大公因式的矩阵准初等变换法. 它们的最大公因式是. 因此一定有使

.

但方法(I)并没有告诉我们如何求. 本节讲的方法(Ⅱ)就弥补了这一点.

二. -矩阵与初等变换()

⑴ 以中多项式为元素的矩阵称为F上的-矩阵, 根据这一定义, 以数为元素的矩阵是-矩阵的特殊情形. 换句话说，以数域F上的数为元素的矩阵也是F上的-矩阵. 此时矩阵中的元素是零多项式或者零次多项式.

⑵ 由于以F上的为元素的矩阵也是-矩阵, 因此, 通常讲的矩阵的初等变换必是-矩阵的初等变换的特殊情形.

三.个基本结论()

引理4.5.1， 定理4.5.2, 定理4.5.3.

(证明略).

在上述几个结论的支持下,可得到求多项式最大公因式,并同时可求出相应的使得

详细讲解例1().

作业： P216 21（1），22.

§4.6 多项式的根 (4学时)

教学目的及要求：理解多项式函数、k重根的定义及相关理论，理解代数学基本定理及韦达定理，掌握综合除法、有理根的筛选法

教学重点、难点：

1. 综合除法、多项式根的个数、有理根的筛选法

2. 定理4.6.9的证明

本节内容可分下面四个问题讲授：

一．从函数的观点看多项式()

前面我们总是把多项式看做形式表达式. 本节我们将从函数的视角考察多项式.

设

用F中的数代替, 得

由于数域对加、减、乘, 除四种运算封闭. 所以 是F中一个数, 记这个数为. 这正符合映射的定义

=.

这个映射就叫做由数域F上多项式f(x)所确定的多项式函数.

二． 多项式的根与综合除法()

是的根=0.

是的根∣.

三． 介绍几个基本结论()

引理4.6.3, 定理4.6.4， 定理4.6.5, 定理4.6.6, 定理4.6.7.

四． 本原多项式与有理根()

定理4.6.9给出求整系数多项式有理根的一种方法. 注意到, 定理给出的是有有理根的一个必要条件而非充分条件. 也就是说，满足条件的许多有理数不是的根.

作业： P216 23，24，25，27，28，29，31.

*§4.7 X-矩阵的标准形

*§4.8 数字矩阵相似的充要条件

*§4.9 Cayley-Hamilton定理 最小多项式

这三节内容不作讲述要求,供学生自学,也不作考试要求.需要说明的是这部分选学内容比前面的选学内容难一些, 读不懂也没关系, 有一个大概的了解即可.为什么要求安排这三节内容呢? 目的是为了多项式理论的完整性. 同时，了解这些内容对一些后继课的学习和做研究工作都是有益的.

习题课(4学时)

例1(习题四ex.8)

例2(习题四ex.23)

例3(习题四ex.27)

例4(习题四ex.29)

例5(习题四ex.43)

作业：本章小结

多项式与矩阵