圆幂定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。

定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

概述

相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：

切割线定理

割线定理

2证明

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

  P 不是圆心

3比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

4相交弦定理推论

定理

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。

说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则 =PA·PB（相交弦定理推论）

切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

  切割线定理示意图

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=PA·PB（切割线定理）

推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：

∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD

2证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理 )

  切割线定理的证明

∠APT=∠APT(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT²=PB·PA

3比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。

割线定理：指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，

1定义

文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）

  割线定理

2证明一

已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线

求证：PA·PB=PC·PD

证明：连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP （A，A）

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

3证明二

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。

如图所示。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

证明

连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）

∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）

∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）

∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]

4证明三

根据切割线定理求证。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知：AP·BP=PT^2，CP·DP=PT^2

所以AP·BP=CP·DP

5比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

垂径定理

垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC

定义

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2证明

如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

  垂径定理证明图

证明：连OA、OB分别交于点A、点B.

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC

∴弧AC=弧BC

3推论

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论

1.平分弦所对的优弧

2.平分弦所对的劣弧

（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

3.平分弦 (不是直径)

4.垂直于弦

5.经过圆心

4有关性质

知识点

圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质

大纲要求

1． 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；

2． 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；

3． 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；

4． 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

5． 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；

6． 注意：

（1）垂径定理及其推论是指：一条弦在

①过圆心

②垂直于另一条弦

③平分这另一条弦

④平分这另一条弦所对的劣弧

⑤平分这另一条弦所对的优弧的

五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；

（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；

（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。

5常见题型

1． 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解。

如：下列语句中，正确的有（ ）

(A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦

(C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

答案为D，

解析：

其中A和C都少了同圆的限定条件。如果是两个半径不同的圆内，即使是弧对应圆心角相等或弧的长度相等也不能得到弧相等。

B错在弦可以是特殊弦：直径。如果是直径平分直径，结论是直径并不都相互垂直。

2． 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。

此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。

二，〖知识点〗

相交弦定理、切割线定理及其推论

〖大纲要求〗

1． 正误相交弦定理、切割线定理及其推论；

2． 了解圆幂定理的内在联系；

3． 熟练地应用定理解决有关问题；

4． 注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；

（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

考查重点与常见题型

证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

1定理的证明

首先给出完整的定理内容：

当直线交 三边所在直线 于点 时，

以及逆定理：在 三边所在直线上有三点 ，且 ，那么

三点共线

注意：以上定理严格来说应该用有向线段形式，且乘积为-1；另外， 三点中有偶数个点在线段上时，才有梅氏定理，否则为塞瓦定理.

证明一

过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则

  梅涅劳斯定理的证明

证毕

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则

BD：DC=FB：PF，CE：EA=PF：AF

两式相乘得

(AF：FB)×(BD：DC)×(CE：EA)=(AF：FB)×(FB：PF)×(PF：AF)=1

证明三

连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。

AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），

BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），

CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）

=S△CDF：S△ADF………… （3）

（1）×（2）×（3）得

(AF：FB)×( BD：DC)×(CE：EA)=(S△ADF：S△BDF)×(S△BDF：S△CDF)×(S△CDF：S△ADF)=1

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：

充分性证明：

△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1

又∵(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以DEF共线

推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

此外，用[1]该定理可使其容易理解和记忆：

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

该形式的梅涅劳斯定理也很实用

证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)

梅涅劳斯球面三角形定理

在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1[2]

2数学意义

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。[2]

塞瓦定理

塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》塞瓦定理是塞瓦的重大发现。

2具体内容

塞瓦定理：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴ (DB/BC)×(CE/EA)×(AO/OD)=1 ①

∵△ABD被直线COF所截，

∴ (BC/CD)×(AF/FB)×(DO/OA)=1 ②

②*①:即得：(DB/BC)×(CE/EA)×(AO/OD)×(BC/CD)×(AF/FB)×(DO/OA)=1

∴(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ，所以三角形三条中线交于一点，即为重心用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点

此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：

在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）

3塞瓦定理推论

1.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面积公式易证

2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：

(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

4数学意义

使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。

5记忆方法

塞瓦定理的优点多多，但是却不是特别好记，这里有一个方法分享给大家

(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

相当于BD*CE*AF=DC*EA*FB

各位发现等式左右两端字母竟然是一样的！

可以如下表述，在记忆(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1时，可理解为在符合在三边线段的前提下，分母分子字母一样，且分母、分子内部有相同字母.。

另外一种记忆方式是，将图中的ABC作为顶点，图中的DEF作为分点，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是：顶点到分点（BD），该分点到另一顶点（DC），顶点再到分点（CE），分点再到顶点（EA），顶点再到分点（AF），分点再到顶点（FB）。一个循环。

圆幂定理