课下能力提升(十九) 平面直角坐标系中的距离公式

一、选择题

1．已知A(－1,1)，B(3，－5)，则线段AB的垂直平分线方程是(　　)

A．3x＋2y－2＝0　　　　　B．2x＋3y＋2＝0

C．3x－2y＋8＝0 D．2x－3y－8＝0

2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　)

A. B.

C. D．2

3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)

A．4 B.

C. D.

4．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

5．若两条平行直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与l2的距离等于l1与l2间距离的直线方程为(　　)

A．3x－2y＋22＝0 B．3x－2y－10＝0

C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋24＝0

二、填空题

6．经过点P(2,1)且与点Q(1，－2)的距离为的直线方程是________．

7．动点P在直线x＋y－1＝0上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为________．

8．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是________．

三、解答题

9．用坐标法证明：在△ABC中，AO为BC边上的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．

10．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．

答案

1．解析：选D　∵kAB＝＝－，∴线段AB的垂直平分线的斜率为.又线段AB的中点坐标为(1，－2)，∴线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝(x－1)，即2x－3y－8＝0.

2．解析：选D　|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.

3．解析：选D　直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，与6x＋my＋1＝0平行，所以m＝4，

由两平行线间的距离公式得d＝＝.

4．解析：选A　设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，

由于△ABC的面积为2，则这个三角形AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝，

由点到直线的距离公式得＝，

即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有2个不相等的实数根，故这样的点C有4个．

5．解析：选A　设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，

则

解得C＝－6(舍去)或C＝22，

所以所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.

6．解析：设所求直线的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x－2)，

即kx－y－2k＋1＝0.

∵点Q到直线l的距离为，

∴＝，

解得k＝1或k＝－7.

∴直线方程为x－y－1＝0或7x＋y－15＝0.

答案：x－y－1＝0或7x＋y－15＝0

7．解析：设P(x,1－x)，由两点间距离公式得|PQ|＝＝＝ ，当x＝时，|PQ|最小．

答案：

8．

解析：由图可知，当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时

d＝|PQ|

＝＝，

∴0＜d≤.

答案：(0，]

9．

证明：如图，以O为坐标原点，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，

则|AB|2＝(b＋a)2＋(c－0)2＝(b＋a)2＋c2，

|AC|2＝(b－a)2＋(c－0)2＝(b－a)2＋c2，

∴|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)．

又|AO|2＝b2＋c2，|BO|2＝a2，

∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．

10．解：由解得即直线l过点B.

①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，

A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．

②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，

则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0.

由A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，

∴l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0，

综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.

K12配套2017 - 2018学年高中数学课下能力提升十九平面直角坐标系中的距离公式北师大版必修2