2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（Ⅱ）

一、选择题

1．（理）设集合，，则（ ）

A. B. C. D.

答案：A

解答：或，，∴.

（文）设集合，，则（ ）

A. B. C. D.

答案：C

解答：，，∴.

2．（理）设，则在复平面内对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案：C

解答：，对应的点坐标为，故选C.

（文）设，则（ ）

A. B. C. D.

答案：D

解答：因为，所以.

3．（理）已知， ， ，则（ ）

A. B. C. D.

答案：C

解答：∵，∴，解得，，∴.

（文）已知向量，，则（ ）

A. B. C. D.

答案：A

解答：由题意知，所以.

4．（理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球的质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程.设.由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ ）

A． B． C． D．

答案：D

解答：，

所以有，

化简可得，可得.

（文）生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（ ）

A. B. C. D.

答案：B

解答：计测量过的3只兔子为、、，设测量过的只兔子为、，则3只兔子的种类有，，，，，，，，，，共种，则恰好有两只测量过的有种，所以其概率为.

5．（理）演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分. 7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）

A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差

答案：A

解答：由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数. 其它的数字特征都会改变.

（文）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高. 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

答案：A

解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.

6．（理）若，则（ ）

A. B. C. D.

答案：C

解答：由函数在上是增函数，且，可得，即.

（文）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）

A. B. C. D.

答案：D

解答：当时，，，又为奇函数，有.

7．设为两个平面，则的充要条件是（ ）

A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行

C.平行于同一条直线 D.垂直于同一平面

答案：B

解答：根据面面平行的判定定理易得答案.选B.

8．（理）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）

A.2 B.3 C.4 D.8

答案：D

解答：抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，∴，∴.

（文）若是函数两个相邻的极值点，则=（ ）

A． B. C. D.

答案：A

解答：由题意可知，即，所以.

9．（理）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）

A. B. C. D.

答案：A

解答：对于A，函数的周期，在区间单调递增，符合题意；

对于B，函数的周期，在区间单调递减，不符合题意；

对于C，函数，周期，不符合题意；

对于D，函数不存在周期，不符合题意.

（文）同理科第8题

10．（理）已知，，则（ ）

A. B. C. D.

答案：B

解答：，，

则，所以，所以.

（文）曲线在点处的切线方程为（ ）

A. B. C. D.

答案：C

解答：因为，所以曲线在点处的切线斜率为，

故曲线在点处的切线方程为.

11．（理）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若，则的离心率为（ ）

A. B. C. D.

答案:A

解答：∵，∴，又，∴，解得，即.

（文）同理科第10题

12．（理）已知函数的定义域为，，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

答案：B

解答：由当，，且当时，可知当时，，当时，，……当时，，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有有解得的取值范围是.

（文）同理科第11题

二、填空题

13．（理）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_______.

答案：0.98

解答：经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为.

（文）若变量满足约束条件，则的最大值是_______.

答案：

解答：根据不等式组约束条件可知目标函数在处取得最大值为.

14．（理）已知是奇函数，且当时， .若，则_______.

答案：

解答：∵，∴.

（文）同理科第13题

15．（理）的内角的对边分别为，若则的面积为_______.

答案：

解答：，

.

（文）的内角的对边分别为.已知，则_______.

答案：

解答：根据正弦定理可得，即，显然，所以，故.

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_______个面，其棱长为_______.（本题第一空2分，第二空3分.）

答案：26

解答：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；该半正多面体的正视图如下，设该半正多面体的棱长为，则，，由正方体的棱长为1，有，∴，即该半正多面体的棱长为.

三、解答题

17．如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

（1）证明：平面；

（2）（理）若，求二面角的正弦值.

（2）（文）若，，求四棱锥的体积.

解答：（1）证明：∵平面，平面，∴，

又，，∴平面.

（2）（理）设底面边长为，高为，∴，，

∵平面，∴即，∴解得.

∵平面，∴，又，∴平面，故为平面的一个法向量.

∵平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量，

在中，∵，故与成角，

∴二面角的正弦值为.

（文）设，则，，，

∵，∴，∴.

18．（理）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束. 甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立. 在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.

（1）求；

（2）求事件“且甲获胜”的概率.

解答：（1）时，有两种可能：①甲连赢两局结束比赛，此时；②乙连赢两局结束比赛，此时，∴；

（2）且甲获胜，即平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为.

（文）已知是各项均为正数的等比数列，.

（1）求的通项公式：

（2）设，求数列的前n项和.

解答：（1）已知，故，求得或，

又，故，则.

（2）把代入，求得，故数列的前项和为.

19．（理）已知数列和满足，，，.

（1）证明：是等比数列，是等差数列；

（2）求和的通项公式.

解答：（1）将，相加可得，

整理可得，又，故是首项为，公比为的等比数列.

将，作差可得，

整理可得，又，故是首项为，公差为的等差数列.

（2）由是首项为，公比为的等比数列可得①；

由是首项为，公差为的等差数列可得②；

①②相加化简得，①②相减化简得.

（文）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）. 附：.

解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是，

这类企业中产值负增长的企业比例是.

（2）这类企业产值增长率的平均数是，

这类企业产值增长率的方差是，

所以这类企业产值增长率的标准差是.

20．（理）已知函数

（1）讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；

（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.

解答：（1）函数的定义域为，

又，所以函数在，上单调递增，

又，，所以在区间存在一个零点，

且，，所以在区间上也存在一个零点，

所以函数有且只有2个零点；

（2）因为是函数的一个零点，所以有.

曲线在处的切线方程为，

因为，当曲线的切线斜率为时，可知切点坐标为，

故此时曲线的切线方程为，

化简为，

所以曲线在处的切线也是曲线的切线.

（文）已知是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点.

（1）若为等边三角形，求的离心率；

（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围.

解答:（1）若为等边三角形，则的坐标为，

代入方程可得，解得，所以.

（2）由题意可得，∵，∴，

∴，∴，

∴，∴，解得.

∵，

∴，∴，∴，∴.

21．（理）已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.

证明：是直角三角形；

求的面积的最大值.

解答：（1）由题意得：，化简得：，表示焦点在轴上的椭圆（不含与word/media/image403_1.png轴的交点）.

（2）依题意设，，，，直线的斜率为（），

则，，∴，

由，相减化简可得，

又，∴，

∴，即word/media/image422_1.png是直角三角形.

直线word/media/image423_1.png的方程为，联立，得，

则直线，

联立直线和椭圆，可得，则，

∴，

令，则，∴，

令，易知函数在上单调递增，

∴，∴.

（文）已知函数.证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

解答：（1），设，，则在上递增，，，所以存在唯一，使得，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，所以存在唯一的极值点.

（2）由（1）知存在唯一，使得，即，

，

，，

所以函数在上，上分别有一个零点.

方法一：设函数在上有，

，

所以是函数在上一个零点，所以有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

方法二：设，，则，

有，，

设，当时，恒有，则时，有.

22．在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.

（1）当时，求及的极坐标方程；

（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.

解答：解法一：（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，

经检验，点在曲线上．所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

解法二：（1）当时，，

以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，

则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；

（2）∵，∴，

则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，

化成极坐标方程为，

由可得，

又在线段上，则，

∴点轨迹的极坐标方程为.

23．已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

解答：（1）当时，，

所以不等式等价于或或，

解得不等式的解集为.

（2）当时，由，可知恒成立，

当时，根据条件可知不恒成立.

所以的取值范围是.

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国二卷文理同卷）