2015年中考数学真题试卷及答案(内蒙古通辽卷)

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2015年中考数学真题试卷及答案（内蒙古通辽卷）
数学
一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015•通辽）下列调查适合抽样调查的是（）A．审核书稿中的错别字B．对某社区的卫生死角进行调查C．对八名同学的身高情况进行调查D．对中学生目前的睡眠情况进行调查
2．（3分）（2015•通辽）
的算术平方根是（）
D．2
A．﹣2B．±2C．
3．（3分）（2015•通辽）实数tan45°，
，0，﹣π，，﹣，sin60°，0.3131131113„
（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4B．2C．1D．3
4．（3分）（2015•通辽）已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）
A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）
5．（3分）（2015•通辽）下列说法中，正确的是（）A．﹣x的系数是B．πa的系数是C．3ab的系数是3aD．xy的系数是
6．（3分）（2015•通辽）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图为（）
2
2
2
2

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A．
B．C．D．
7．（3分）（2015•通辽）一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（）A．2B．4C．1D．3
8．（3分）（2015•通辽）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）

A．40°B．65°C．115°D．25°
9．（3分）（2015•通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（）①m是无理数；
②m是方程m﹣12=0的解；③m满足不等式组④m是12的算术平方根．
A．①②B．①③C．③D．①②④
10．（3分）（2015•通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）
A．8B．20C．8或20D．10
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分）
11．（3分）（2015•通辽）在数1，0，﹣1，|﹣2|中，最小的数是．
12．（3分）（2015•通辽）因式分解：xy﹣xy=．
13．（3分）（2015•通辽）函数y=
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中，自变量x的取值范围是．
3
2
2
；

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14．（3分）（2015•通辽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．
15．（3分）（2015•通辽）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程．
16．（3分）（2015•通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．


17．（3分）（2015•通辽）一列数x1，x2，x3，„，其中x1=，xn=的整数），则x2015=．
三、解答题（本题包括9个小题，共69分，请写出解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（12分）（2015•通辽）（1）计算：（π﹣
（2）解方程：
+
=1；
）+（）﹣
0
﹣1
（n为不小于2
﹣tan30°；
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（3）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来．
19．（5分）（2015•通辽）先化简，再求值：
÷（a﹣
20．（5分）（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：
，山坡上E
），其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）=0．
2
点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

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21．（5分）（2015•通辽）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．
22．（7分）（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

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23．（6分）（2015•通辽）课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A﹣优秀，B﹣良好，C﹣一般，D﹣较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图，解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名学生？
（2）C类女生有名，D类男生有名，并将条形统计图补充完整；（3）若从被调查的A类和C类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
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24．（8分）（2015•通辽）光明文具厂工人的工作时间：每月26天，每天8小时．待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资920元，按月结算．该厂生产A，B两种型号零件，工人每生产一件A种型号零件，可得报酬0.85元，每生产一件B种型号零件，可得报酬1.5元，下表记录的是工人小王的工作情况：
生产A种型号零件/件生产B种型号零件/件总时间/分227064170根据上表提供的信息，请回答如下问题：
（1）小王每生产一件A种型号零件、每生产一件B种型号零件，分别需要多少分钟？（2）设小王某月生产A种型号零件x件，该月工资为y元，求y与x的函数关系式；（3）如果生产两种型号零件的数目限制，那么小王该月的工资数目最多为多少？
25．（9分）（2015•通辽）如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为
上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME=EF•EN．
2
（1）求证：QN=QF；
（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=，求⊙O的半径．
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26．（12分）（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形
2

（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；
（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2
=（
+1）]．
2
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参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1．考点：全面调查与抽样调查．
分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．解答：解：A、审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查；B、此种情况数量不是很大，故必须普查；C、人数不多，容易调查，适合普查；D、中学生的人数比较多，适合采取抽样调查；故选D．
点评：本题考查了全面调查与抽样调查的应用，一般由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．2．考点：算术平方根．分析：首先求出出
的值是2；然后根据算术平方根的求法，求出2的算术平方根，即可求
的算术平方根是多少．
，2的算术平方根是
．
，
解答：解：∵∴
的算术平方根是
故选：C．
点评：此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．考点：无理数．
分析：掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可．解答：解：在实数tan45°，
，0，﹣π，
，﹣，sin60°，0.3131131113„（相
邻两个3之间依次多一个1）中，
无理数有：﹣π，sin60°，0.3131131113„（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．
点评：此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数是解题的关键．4．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．
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分析：把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．解答：解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，∴反比例解析式为y=，
则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选D．
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．考点：单项式．
分析：根据单项式的概念求解．
解答：解：A、﹣x的系数是﹣，故本选项错误；B、πa的系数是π，故本选项错误；C、3ab的系数是3，故本选项错误；D、xy的系数，故本选项正确．故选D．
点评：本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．6．考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解答：解：从上面向下看，从左到右有三排，且其正方形的个数分别为2、3、1，故选：D．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．7．考点：方差；算术平均数．
分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差的计算公式S=[（x1﹣）+（x2﹣）+„+（xn﹣）]求出这组数据的方差．
解答：解：由平均数的公式得：（0+1+2+3+x）÷5=2，解得x=4；则方差=[（0﹣2）+（1﹣2）+（2﹣2）+（3﹣2）+（4﹣2）]÷5=2．故选：A．
点评：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．8．考点：平行线的性质．
分析：由平行线的性质可求得∠EFB=∠C，在△AEF中由三角形外角的性质可求得∠EFB，可求得答案
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
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解答：解：∵∠EFB是△AEF的一个外角，∴∠EFB=∠A+∠E=25°+40°=65°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=65°，故选B．
点评：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．9．考点：算术平方根；平方根；无理数；不等式的解集．分析：①根据边长为m的正方形面积为12，可得m=12，所以m=2个无理数，可得m是无理数，据此判断即可．
②根据m=12，可得m是方程m﹣12=0的解，据此判断即可．③首先求出不等式组
的解集是4＜m＜5，然后根据m=2
＜2×2=4，可得m不
2
2
2
，然后根据是一
满足不等式组
2
，据此判断即可．
④根据m=12，而且m＞0，可得m是12的算术平方根，据此判断即可．解答：解：∵边长为m的正方形面积为12，∴m=12，∴m=2∵
，
是一个无理数，
2
∴m是无理数，∴结论①正确；∵m=12，
∴m是方程m﹣12=0的解，∴结论②正确；∵不等式组
的解集是4＜m＜5，m=2
＜2×2=4，
2
2
∴m不满足不等式组∴结论③不正确；∵m=12，而且m＞0，∴m是12的算术平方根，∴结论④正确．综上，可得
2
，
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关于m的说法中，错误的是③．故选：C．
点评：（1）此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
（2）此题还考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．（3）此题还考查了不等式的解集的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．10．考点：菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
分析：边AB的长是方程y﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．解答：解：∵解方程y﹣7y+10=0得：y=2或5∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；∴菱形的边长为5．
∴菱形ABCD的周长为4×5=20．故选B．
点评：本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分）11．﹣1．
考点：有理数大小比较．专题：计算题．
分析：利用绝对值的代数意义化简后，找出最小的数即可．解答：解：在数1，0，﹣1，|﹣2|=2中，最小的数是﹣1．故答案为：﹣1．
点评：此题考查了有理数的大小比较，弄清有理数的比较方法是解本题的关键．12．xy（x﹣1）（x+1）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式xy，再运用平方差公式进行二次分解．解答：解：xy﹣xy，=xy（x﹣1）„（提取公因式）=xy（x+1）（x﹣1）．„（平方差公式）故答案为：xy（x+1）（x﹣1）．
2
3
2
2
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点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．x≥﹣1且x≠﹣3．考点：函数自变量的取值范围．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x+1≥0；分母不等于0，可知：x+3≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出．解答：解：根据题意得：x+1≥0且x+3≠0，解得：x≥﹣1且x≠﹣3．故答案为：x≥﹣1且x≠﹣3．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，使得分式和根号有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
14．42°．考点：圆周角定理．
分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，
∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．
点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．15．
﹣
=15．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
分析：设原计划每天铺设管道xm，则实际每天铺设管道（x+20）m，根据题意可得，实际比原计划少用15天完成任务，据此列方程即可．
解答：解：设原计划每天铺设管道xm，则实际每天铺设管道（x+20）m，由题意得，故答案为：
﹣﹣
=15．=15．
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点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．16．8cm或2
2
cm或2
2
cm．
2
考点：勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．专题：分类讨论．
分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=4时，如图：

∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8（cm）；（2）当AE=EF=4时，如图：
2

则BE=5﹣4=1，BF=
=
==2
，（cm）；
2
∴S△AEF=•AE•BF=×4×（3）当AE=EF=4时，如图：

则DE=7﹣4=3，DF=
=
=
，
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∴S△AEF=AE•DF=×4×故答案为：8或2
或2
=2．
（cm）；
2
点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．17．2．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定a2015的值即可．解答：解：根据题意得，a2=
=2，
a3=a4=„，
=﹣1，
=，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，∵2015÷3=671„2，
∴a2015是第671个循环组的第2个数，与a2相同，即a2015=2．故答案为：2．
点评：本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题（本题包括9个小题，共69分，请写出解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．
分析：（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先把分式方程化为整式方程，求出x的值，在进行检验即可；（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：（1）原式=1+2﹣3=3﹣
；
2
﹣
（2）方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3）得，3+x（x+3）=x﹣9，
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解得x=4，
代入（x+3）（x﹣3）得，（4+3）（4﹣3）=7≠0，故x=4是原分式方程的解；（3）
由①得，y≥1，由②得，y＜2，
故不等式组的解集为：1≤y＜2．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
19．考点：分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式==
•
÷

，
=，
2
∵|a﹣3|+（b﹣2）=0，
∴a﹣3=0，b﹣2=0，即a=3，b=2，则原式=1．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．
解答：解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：∴设EF=x，则FC=∵CE=20米，∴x+（
2
，
x，
x）=400，
2
解得：x=10，
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则FC=10
m，
）m，=（35+10）m．
）m，
∵BC=25m，∴BF=NE=（25+10∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10答：建筑物AB的高为（35+10

点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
21．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF﹣CD即可算出DF的长．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．∵AB∥DC，∴∠1=∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC=CF=10，
∴DF=BF﹣DC=10﹣6=4．

点评：此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF．22．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．
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分析：根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．
解答：解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
23．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．专题：计算题．
分析：（1）用B类的人数除以它所占的百分比即可得到本次调查的学生数；
（2）先利用调查的总人数乘以C类所占百分比得到C类人数，然后减去男生人数即可得到C类女生人数，同样可求出D类男生人数，然后补全条形统计图；
（3）先画树状图展示15种等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算．
解答：解：（1）本次调查的学生数=10÷50%=20（名）；（2）C类学生数=20×25%=5，则C类女生数=5﹣2=3（名）；D类学生数=20﹣3﹣10﹣5=2（名），则D类男生有1名，条形统计图为：（3）画树状图为：
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共有15种等可能的结果数，其中恰好是一位男同学和一位女同学的结果数为7种，所以所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率=故答案为3，1．
．

点评：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
24．考点：一次函数的应用．专题：应用题．
分析：（1）设小王生产一个A种产品用a分钟，生产一个B种产品用b分钟，根据表格中的数据，列方程组求a、b的值；
（2）根据：月工资y=生产一件A种产品报酬×x+生产一件B种产品报酬×
+福利工资920元，列出函数关系式；
（3）利用（2）得到的函数关系式，根据一次函数的增减性求解．
解答：解：（1）设小王生产一个A种产品用a分钟，生产一个B种产品用b分钟；根据题意得
，解得
，
即小李生产一个A种产品用15分钟，生产一个B种产品用20分钟．
（2）y=0.85x+
即y=﹣0.275x+1856．
（3）由解析式y=﹣0.275x+1856可知：x越小，y值越大，
并且生产A，B两种产品的数目又没有限制，所以，当x=0时，y=1856．即小王该月全部时间用来生产B种产品，最高工资为1856元．
×1.5+920，
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点评：本题考查了一次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，利用一次函数的增减性解答题目的问题．
25．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）如图1，通过相似三角形（△MEF∽△MEN）的对应角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；
（2）如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠EMF=∠ENM，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧MH的中点，则OE⊥MQ；然后通过解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO=解答：（1）证明：如图1，
=，则可以求r的值．

∵ME=EF•EN，∴
=
．
2
又∵∠MEF=∠MEN，∴△MEF∽△MEN，∴∠1=∠EMN．
∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，∴∠2=∠3，∴QN=QF；
（2）解：如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．

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由（1）知，△MEF∽△MEN，则∠4=∠5．∴
=
．
∴OE⊥MQ，∴EG=1．
∵cos∠Q=，且∠Q+∠GMO=90°，∴sin∠GMO=，∴
=，即
=，
解得，r=2.5，即⊙O的半径是2.5．
点评：本题考查切线的性质和相似三角形的判定与性质．在（1）中判定△MEF∽△MEN是解题的关键，在（2）中推知点E是弧MH的中点是解题的关键．26．考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．解答：解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）
2
2
2
+1=2，
解这个方程，得a=，
∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）+1=x﹣x+2；（2）将x=2代入y=x，得y=2∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，∵△PCQ为等边三角形∴∠CQP=60°，CQ=PQ，∵PQ⊥x轴，∴∠CQG=30°，∴CQ=4，GQ=2
．
2
2
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∴OQ=2+2
，PQ=4，
2
2
将y=4代入y=（x﹣2）+1，得4=（x﹣2）+1解这个方程，得x1=2+2∴点P的坐标为（2+2
2
=OQ，x2=2﹣2，4）；
2
＜0（不合题意，舍去）．
（3）把y=x代入y=x﹣x+2，得x=x﹣x+2解这个方程，得x1=4+2∴y=4+2
=EF
，4+2，，
）
，x2=4﹣2
＜2（不合题意，舍去）
∴点E的坐标为（4+2∴OE=又∵OC=∴CE=OE﹣OC=4+2∴CE=EF；（4）不存在．
=4+4=2，
如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°，∴∠MCE=60°又∵CE=EF，∴EM=EF，
又∵点E为直线y=x上的点，∴∠CEF=45°，∴点M与点F不重合．
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点M不存在．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键。
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2015年中考数学真题试卷及答案(内蒙古通辽卷)

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