21.2.3 一元二次方程的根的判别式

各位老师：你们好！我是来自甘肃省兰州市兰化第一中学的数学教师宋庆萍，今天我说课的内容是：人教社九年义务教育四年制初中《代数》第三册第十二章第三节“一元二次方程的根的判别式”。下面将从三个方面来汇报我是如何分析教材和设计教学学教程的。

一、教材分析方面：

1、本节教材的地位及作用：

“一元二次方程的根的判别式”一节，是在学生已经学过一元二次方程的解法，并对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究它的作用的一个重要理论内容，它是前面知识的深化与总结。它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且可以解决许多其它问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透转化和分类的数学思想，渗透数学的简洁美。

2、教学内容的确定：

本节课的主要内容是：一元二次方程根的判别式的意义，定理、逆定理及其应用，对定理的引出我改变了教材中直接推证的方法，而是通过设置悬念让学生解三种不同的方程的亲身感受来发现定理，这样使学生感到自然、易于授受，对教材中的例题则有所增加，例题的设置由浅入深，这样安排符合学生的认知规律，同时，使学习内容充实，不单调。

3、教学目的；

依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目的是：

（1）使学生理解一元二次方程的根的判别式概念；

（2）能运用根的判别式在不解方程的前提下，判别方程根的情况，和进行有关的推理证明；

（3）会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

（4）培养学生的探索精神和逻辑思维能力以及推理论证能力；

（5）向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美。

4、教学重点、难点及关键：

重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用；

难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。

二、教法与学法：

本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，教法与学法设计了以下八个层次；

以上八个层次，是按照“实践——认识——实践”的认知规律设计的，它增加了学生参与的机会和体验获取知识过程的时间。从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

三、教学过程

<一>、设置悬念，引发兴趣：

【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在宋老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。

【学生】……

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

<二>设计练习，创设情境；

【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解以下三个一无二次方程；你们会很快发现我的奥秘。

用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）

(1)X2+3x+1=0 (2)4X2-4x+1=0 (3)X2-2x+5=0

(注：找三名学生板演，其余学生在位上做)

【学生】……

【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

<三>启发引导，发现结论：

【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出了b2-4ac的值，为什么要这样写呢？

【学生】……

【教师】（1）由此可见：在解一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)时，代数式b2-4ac起着重要的作用，显然我们可以根据b2-4ac的值符号来判断一元二次方程aX2+bx+c=0的根的情况，因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=b2-4ac。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点。

（2）注意：△≠，应△= b2-4ac。

（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？

【学生】……

【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白：b2-4ac的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。

（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

<四>引导学生，理论验证：

【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？

请同学们认真阅读课本P26-27正数第六行的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。

【学生】……

【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。

<五>揭示定理：

【教师】（1）由此我们就得出了：关于一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)根的判别式定理：

在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac

若△＞0 则方程有两个不相等的实数根

若△ =0 则方程有两个相等的实数根

若△＜0则方程没有实数根

（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac

若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

若方程有两个相等的实数根， 则△=0

若方程没有实数根， 则△＜0

（3）定理与逆定理的用途不同

定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。

逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。

（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。

【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。

<六>应用定理，解决问题：

【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。

例1：不解方程判别下列方程根的情况。

1> 2X2+3X-4=0 2> 16g2+9=24y

3>5(X2+1)-7x=0 4> X2+2

分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，

解：略

小结（1）综上可知：运用根的判别式定理时，必须先把方程化为一般形式，并认准a、b、c的值；

（2）在确定△值的符号时，可不必算出△的具体数值，只要能确定出△值的符号即可。

例如：对于第2）小题中△的值可作如下处理，比较简便，△=(-24)2-4×16×9=242-22×42×32=242-242=0

(3)由此可知：判别方程根的情况时，不必求出方程的根。

学生练习：P28/3、4、5

补充练习：不解方程，判别下列方程根的情况，

（2m2+1）X2-2mx+1=0

例2：求证：关于X的方程（m2+1）X2-2mx+(m2+4)=0,没有实数根。

分析：提出两个问题：1>是谁决定了方程有无实数根？

2>现在要证方程无实数根只要证明什么就行了？

解：略

小结（1）运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：

①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；

②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。

③根据根的判别式定理，写出结论。

（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成a2,-a2,a2+2,-(a2+2),(a+2)2,-(a+2)2等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。

学生练习；P29/B[3]

注意：以上两组练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。

思考题：已知关于X的方程X2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0，当a取何正整数时，方程有实数根？

分析：要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的取值范围，进而得出a的正整数解。

解：略

注意：本思考题是让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

【说明】这样设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒已见的活跃气氛中来。

<七>归纳小结

【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。

（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

（3）一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac）

【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。

<八>布置作业：

1、阅读课本P26-28的内容；

2、课本P29习A [2、4、6]，B[1，2]；

3、证明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有实数根；

4、已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；

求证：方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。

注（第3、4题供学有余力的学生做）

【说明】这样设计是为了使学生能巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。　

最新版华师大版适用初三数学上册《[说课稿] 一元二次方程的根的判别式》