初 中数学竞赛精品标准教程及练习（12）

用交集解题

一、内容提要

1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。

2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集

word/media/image1_1.png例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。

3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，

右图中左边的椭圆表示正数集合，

右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆

的公共部分，是它们的交集――正整数集。

不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。

例如不等式组word/media/image2_1.png解的集合就是

不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.

如数轴所示：

　　　　　　0　　　　　　　2　　　　3

4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

　有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）

二、例题

例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。

解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝

　　除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝

　　除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝

集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。

例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

解：　二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；

其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；

平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。

同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组

故所求质数是：23，17；　43，37；　53，47；　73，67共四组。

例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？

解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。

word/media/image4_1.png∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；

只订B刊物的人数是21－6＝15人；

小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。

设N，N（A），N（B），N（AB），word/media/image5_1.png

分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得

［公式一］N＝word/media/image5_1.png+ N（A）+N（B）－N（AB）。

例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，

问：有多少人①只会打乒乓球　②同时会打篮球和排球　③只会打排球？

解：仿公式一,得［公式二］：

word/media/image6_1.pngN＝word/media/image5_1.png+ N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC)

①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）

②求N（BC）可用公式二：

∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1

∴N（BC）＝3，　即同时会打篮球和排球的是3人

③只会打排球的是10－3－1＝6（人）

例5. 十进制中，六位数word/media/image7_1.png能被33整除，求x和y的值

解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y

∵33＝3×11，

∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17

(1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数，　故x－y=－4，7

∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：

word/media/image8_1.png　word/media/image9_1.png word/media/image10_1.png word/media/image11_1.png

解得word/media/image12_1.png word/media/image13_1.png word/media/image14_1.png word/media/image15_1.png

（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2

三、练习12

1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿

2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。

3． 12的正约数集合A＝｛　　　　｝，30的正约数集合B＝｛　　　｝

12和30的公约数集合C＝｛　　　｝，集合C是集合A和集合B的＿＿

4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：

①word/media/image16_1.png　　②word/media/image17_1.png③　　word/media/image18_1.png　　④word/media/image19_1.png

5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。

6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？

7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。

8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？

9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？

10.　数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）

11.　word/media/image20_1.png

12.　十进制中，六位数word/media/image21_1.png能被21整除，求x,y的值（仿例5）

三、练习12参考答案：

1. 负分数　2.等腰，直角　3.交集　　

4 ①x>5, ② x<-2, ③-3④空集　　　5.　16　　6.　7

7.　30，60，90，15，75，66（从个位数为0，15，6中找）

8.　11人，6人　　　9.由　100＝word/media/image22_1.png＋52＋60－36得word/media/image22_1.png＝24

10.　30人，7人；　32人，9人　　　11.word/media/image23_1.png

12.　word/media/image24_1.png（仿例5）

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2019年全新中数学竞赛精品标准教程及练习12：用交集解题