习 题 一

1．下列随机试验各包含几个基本事件？

（1）将有记号的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球）

解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；球可放入的任一个，其放法有 种，球也可放入三个盒子的任一个，其放法有 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为种。

（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，

所以此试验的基本事件个数 。

（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。

解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，。

（5）将三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。

解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。球可放入三个盒子中的任一个有种方法。球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以球放入的盒子不能再放入球，球只能放入其余（无球 的盒子）两个中任一个，其放法有个。只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 种。

2． 事件A表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B表示“五件产品都是合格品”，则各表示什么事件？之间有什么关系？

解： 设“五件中有件是不合格品” “五件都是合格品”。此随机试验E的样本空间可以写成： 而

，与是互为对立事件。

3. 随机抽验三件产品，设表示“三件中至少有一件是废品”，设表示“三件中至少有两件是废品”，表示“三件都是正品”，问 各表示什么事件？

解： “三件都是正品”，“三件中至多有一件废品”，

“三件中至少有一件废品”， .

4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设表示“第一次射击击中飞机”，表示“第二次射击击中飞机”，试用及它们的对立事件表示下列各事件:

“两弹都击中飞机”； “两弹都没击中飞机” “恰有一弹击中飞机”；

“至少有一弹击中飞机”。并指出中哪些是互不相容，哪些是对立的。

解： ，与 , 与 ,

与 , 与 是互不相容的，与是相互对立的.

5． 在某班任选一名学生。记“选出的是男生”;“选出的是运动员”;

“选出的是北方人”。问：（1） 各表示什么事件？

（2） 各表示什么意义。（3）在什么条件下，.

解： （1）=“选出的是南方的不是运动员的男生”。

（2） 表示该班选出北方的学生一定是运动员。

表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 时 .

6、设 是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：

（1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；

（3） 这四个事件至少有一个发生； （4） 都发生，而都不发生；

（5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。

解：（1）; （2）; （3）;

（4）; （5）;

(6) .

7． 从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。

解： 从52张牌中任取4张共有情况种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验的样本空间中基本事件的个数。设事件 “任取的4张花色都不相同”，

中包含的基本事件个数可以用乘法原理求， 事件完成要从四种花色中各取一张，故 , .

8． 某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。

解：设事件“至少有1人生日在10月” “4个人生日都不在10月”

.

9． 袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。

解：此随机试验E为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为,即其基本事件共有个,

设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数求法如下：首先事件A表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有种。由乘法原理可知

.

10． 将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。

解：设事件 “至少出现一次正面” ， “全不出现正面”

若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E的基本事件个数 ，所包含的基本事件个数 .

则.

11． 盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。

解：从盒中10只球任取5只的取法共有种，即为此随机试验的基本事件的个数， . 设事件“正好取得3只新球2只旧球”

事件所包含的基本事件的个数的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有种；再从4只旧球中任取2只，其取法有种。由乘法原理得 ,

.

12.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记 “甲取得正品”；“乙取得正品”。求

解：求的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。

求 问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率，

样本空间是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问题。此时基本事件个数 ,在此中正品是5件，事件B包含的基本事件个数 ，求的问题可用上面两种方法，所不同的是 “甲取得一件是次品”， .

13． 甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：

（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。

解：设事件 “甲市为雨天”; 事件 “乙市为雨天”。则

所求的问题：

（1）;（2） ;

（3）.

14． 甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。

（1） 事件“取得2个红球”; （2） 事件 “取得的两球颜色相同”

解： (1) 随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件总数 . 由乘法原理知道事件包含的基本事件个数

..

用 分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用 分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则 。

与 相互独立。

（2） 与 相互独立, 且

三种情况互不相容，

则

.

15. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 ；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9, 而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的）

解：设事件“采用第一种工艺获得一级品”;事件“采用第二种工艺获得一级品”;

第一种工艺经过三道工艺，第k道工序出合格品事件记为

由题设知道：

第二种工艺二道工序，第k道工序出合格品的事件记为 .

由题设知道：

所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。

16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为），二级品（记为）,次品（记为）的概率。

解：随机试验E是100件产品任取5件，其基本事件的个数 。

事件包含的基本事件个数求法是：从95件没缺陷的产品取5件的个数

事件包含的基本事件个数求法：从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为,再从95件无缺陷的产品中任取4件，个数为 ，由乘法原理知

(因为互不相容)

.

17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在1小时内每台机床出故障的概率为 0.01，其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。

解： 此问题是独立重复试验问题。 设事件 “10台机床中任3台出故障”，

.

18． 据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对6人有疗效的概率。

解：设事件 “至少对6人有疗效”,.

19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为0.95，求至少有一道工序不合格的概率。

解： 设事件“至少有一道工序不合格”; “两道工序后都合格”.

.

20． 已知 求：

（1） (2)

(3)

解： (1) ;

; .

(2)

. (3) ;

; .

21、某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为，在刮风的条件下下雨的概率为。求即刮风又下雨的概率。

解：设事件“某地某月刮大风”; “某地某月下雨”.

.

22.某学校学生四级英语考试的通过率为90% , 其中60% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.

解：设 A = “ 通过四级英语考试 ”, B = “ 通过六级英语考试 ”,

由题意, 可知0.9,

=0.54

23.设两两独立的三个事件满足条件：且已知

求

解：

，即则

所以

24．从1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从中任取一个数，记为Y，求

解：

25．有外观相同的三极管6只，按流量放大系数分类，4只属于甲类，两只属于乙类，不放回的抽取三极管两次，每次只抽一只。求在第一次抽到的是甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三极管的概率。

解：设事件 “第一次抽到的是甲类三极管”，

事件 “第二次抽到的是甲类三极管”，

26． 10个零件中有7个正品，3个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验，求：

（1）第三次才取到正品的概率；（2）抽三次至少有一个正品的概率。

解：设事件 “第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品，前两次取得的是次品，

“抽三次至少有一个正品”， “抽三次全是次品”

27．一个工人看管三台机床，在1h内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在1h内（1）三台机床都不需要工人照管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人照管的概率。

解：设事件 =“第k台机床不用照管” ()

（1）

(2) 设事件 “三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。

28．有两个电路如图1-24所示，每个开关闭合的概率都是，诸开关闭合与否彼此独立，分别求两电路由至导通的概率。

（1）

（2）

解：记 ｛第个开关闭合｝

（1）（至导通） ， 两事件与3 是相容的。

（至导通）

（至导通） 与 是相容的，

是相互独立的，且概率相同。

（至导通）

29．大豆种子保存于甲仓库，其余保存于乙仓库，已知它们的发芽率分别为0.92和0.89，现将两个仓库的种子全部混合，任取一粒，求其发芽率。

解：设事件 “大豆种子保存于甲仓库”; “大豆种子保存于乙仓库”;

B=“取到的一粒种子发芽” 由题意可得

， ， 由全概公式得：

30．有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔；乙盒中装有4支红的，2支蓝的；丙盒中装有3支红的，3支蓝的。今从中任取一支（设到三个盒子中取物的机会相同），问取到红芯圆珠笔的概率是多少？

解：设事件 “笔取于甲盒”; “笔取于乙盒”; “笔取于丙盒”;

“取到的是红圆珠笔” ,由题意可得， ，

由全概公式得：

31．射击队里有编号为1,2,3,4,5的五名射手，其射击命中率分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。今从该队任选一名射手对靶射击一次。（1）求命中目标的概率；（2）已见命中目标，求选取的是1号射手的概率。

解： 记“选取第号射手” . “命中目标”,

的发生可能是第一号射手击中目标，可能是第二号射手击中目标，…，可能是第五号射手击中目标，即。 求用全概公式。

问题是求已知目标被击中恰好是一号射手击中目标的概率即.由贝叶斯公式：

32．转炉炼高级钢，每炉钢的合格率为0.7，假定各次冶炼互不影响，若要求以99%的把握至少能炼出一炉合格钢，问至少需要炼几炉？

解 设至少炼了炉才能以99％的把握炼出合格的钢。

事件 “炼出的一炉是合格的” “炼出的一炉是不合格的”。

事件 “炼出合格的钢” ，

， ， 取所以必须至少炼4炉。

33.飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求（1）明天飞机晚点的概率；（2）若第二天飞机晚点，天气是雨天的概率有多大？

解：设 A ={明天飞机晚点}，{天气预报称明天有雨}, {天气预报称明天晴天}，

（1）

（2）

34．8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于

射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。

解:设 A ={射击时中靶}，{枪校准过}, {枪未校准}，

则,是Ω一个划分，由贝叶斯公式，得

35．一批产品共100件, 其中有4件次品. 每次抽取一件检验, 有放回, 连续抽取检验3 次. 如发现次品, 则认为这批产品不合格. 但检验时, 一正品被误判为次品的概率为0.05，

而一次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品被认为是合格品的概率。

解：设A = “任取一件被认为是合格品”; B = “任取一件是次品”;

C = “这批产品被认为合格品”.

由题意

36．甲盒中有两只白球，一只黑球，乙盒中有一只白球，五只黑球。求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随即地从乙盒取出一球而恰为白球的概率。

解：设事件 “从甲盒中取出的是白球”； “从甲盒中取出的是黑球”；

“从乙盒中取出的是白球” 由题意可得

， ，

37. 数字通信过程中，信源发射两种状态信号，其中发射0的概率为，发射1的概率为。由于信道中存在干扰，在发射0的时候，接收端分别以0.7、0.1和0.2的概率接收为1、0和“不清”；在发射1的时候，接收端分别以0.9、0和0.1的概率接收为1、0和“不清”。现接收端收到的信号为“不清”，问发射端发的是0和1的概率分别是多少？

解 由逆概公式得 ;

38.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品，现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求

（1）第二次取到的零件是一等品的概率，（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率，（3）两次取到的都不是一等品的概率。

解：设事件 “取自第一箱”； “取自第二箱”，

“第二次取到一等品”， “第一次取到一等品”，

，，

，

（1）

（2）

（3）.

39．一猎人用猎枪向一只野兔射击，第一枪距离野兔200m远，如果未击中，他追到距野兔150m远处再进行第二次射击，如果仍未击中，他追到距野兔100m远处再进行第三次射击，此时击中的概率为。如果这个猎人射击的击中率与他到野兔的距离平方成反比，求猎人击中野兔的概率。

解 设 分别表示3次击中的概率，且，由已知得， ，解得 。

设事件 “第枪击中”； “击中”.

或

概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案