2019年部编版小学数学三年级下册全册易错题大全

一、错例目录

1． 位置和方向

1.1认识东北、东南、西北、西南…………………………………………………（**） 5

1.2位置与方向……………………………………………………………………… （**） 7

1.3认识东南西北…………………………………………………………………… （**） 9

2．除数是一位数的除法

2.1除数是一位数的除法、包含除的数量关系………………………………………（**） 10

2.2倍数关系的应用题………………………………………………………………（**） 12

2.3一步计算的除法问题………………………………………………………… （**） 13

2.4.1除法问题……………………………………………………… …………… （**） 14

2.4.2除法问题……………………………………………………………………… （**）16

2.5除数是一位数的除法问题…………………………………………………… （**） 17

2.6有余数除法的问题……………………………………………………………… （**）19

2.7商的定位，商是几位数………………………………………………………… (**) 20

3．统计

3.1统计问题……………………………………………………………………… （**） 22

4．年、月、日

4.1计算结束时间………………………………………………………………… （**） 23

4.2.１计算经过时间 ……………………………………………………… （**） 25

4.2.２计算经过时间…………………………… …………………………………(**) 27

4.2.３计算经过时间………………………………………………………………(**) 29

4.2.４计算经过时间………………………………………………………………(**) 31

5．两位数乘两位数

5.1整十、整百数乘整十数………………………………………………………… （**） 33

5.2两位数乘两位数进位乘法……………………………………………………… （**） 34

5.3两位数乘两位数笔算乘法……………………………………………………… （**） 35

5.4乘法的估算（ ）里最大填几………………………………………………… (**) 36

6．面积

6.1正方形的面积计算………………………………………………………… …(**） 38

6.2.1长方形、正方形的面积计算………………………………………………（**） 40

6.2.2长方形、正方形的面积计算……………………………………………… （**）42

6.2.3长方形、正方形的面积计算……………………………………………… （**）44

6.3正方形和长方形的周长、面积…………………………………………… （**）46

6.4长方形面积…………………………………………………………………… (**) 48

7．小数的初步认识

7.1小数加减法……………………………………………………………………（**）50

8．解决问题

8.1连乘应用题……………………………………………………………………（**）51

10．总复习

10.1年月日的复习……………………………………………………………… （**）52

10.2面积和面积单位…………………………………………………………… （**）53

1.旅游中的数学问题

1.1三位数除以整十数……………………………………………………………（**）55

2.篮球场上的数学问题

2.1长方形周长（二）……………………………………………………………（**）57

2.2乘法分配律……………………………………………………………………（**）58

2.3面积单位的换算……………………………………………………………… (**) 62

2.4两位数乘两位数………………………………………………………………（**）64

2.5数与数之间的关系……………………………………………………………（**）67

5.总复习

5.1生活中的时间…………………………………………………………………（**）69

5.2长方形面积的计算………………………………………… ……………… (**) 71

二、原始错例

三年级下册典型错例

◆典型错题：在格子里填一填下列同学可能坐的位置。

1号同学坐在李军的西南面；2号同学坐李军的东面，张芳的西北面；3号同学坐在张芳的北面，李军的东北面。

学生错误：

1.

2.

◆原因分析

1．读题不慎重

对于第一种错误，老师进行访谈时，有学生说：“我只看到了2号同学要坐在李军的东面。所以这个位置也是李军的东面，我就填了。”有的说：“后面的半句话——张芳的西北面。我想想是关于张芳的，我没有多想，就将它忽略了。”学生读题的习惯不是很好，往往是只看几个关键字，而不去从整句话中进行理解，有时还只看半句话，后面的索性就忽略了。

2．题意不理解

对于第二种错误，学生告诉我：“我不懂这句话的意思，——坐在张芳的北面，李军的东北面。我以为是两个分开的句子，我就写了两个3。”但凡是写了两个2或是两个3的同学，几乎都是因为不理解这句话的要求，以为是两个分开的句子，所以写了两个代号。

3．教师在课堂教学中缺少对此类题目的讲解

课堂中，我在教学方位的认知与进行相关练习时，缺少对这一类型题目的练习与讲解，因而当学生遇到这一新的题型要求，一些理解能力较弱的学生就出现了诸多错误。

◆教学建议

1.强化读题能力，学生的读题能力与习惯都需要长期不断地进行培养。对于许多学生来说，能准确快速地理解题目的意思，也是提高解题准确率至关重要的一方面。读懂题是解答问题的基础，老师在教育学生读题时，应指导他们要边读边想、找出关键词、将整句话读完整等。

2.老师在备课时，要参阅练习本、独立作业等，收集一些不同类型的练习题，让学生在课堂上练习，老师适当指导，这样可以帮助学生提高作业的准确率，减少一些错误。

◆大样本问卷调查结果：错误率47.0%

三年级下册典型错例

◆典型错题

看图填一填

1．儿童公园在城市广场的（ ）面，商场在城市广场的（　）面。

2．朝阳小区在城市广场的（　）面，在工商银行的（　）面。

3．实验小学在城市广场的（　）面，在电影院的（　）面，在工商银行的（　）面。

学生错解

其中第2小题第二个括号填“东”的占16.7%，填“西南”的占22.2%

第3小题第二个括号填“西”占11.1%，填“东北”的占33.3%。第三个括号填“东”的占13.9%，填“西北”的占44.4%

◆原因分析

1．教师层面

教师在新授课时注重了知识的教学，却忽视了对学生语言表述严密性和逻辑性上的引导，在用方位词描述一个物体的具体位置时，没有强调主语是谁，谁作为“标准”存在，导致学生在作业过程中主语和标准混淆不清，位置描述出错。

2．学生层面

（1）读题习惯差，理解能力有待提高。不少学生读题之后欠缺思考，尤其是像2、3小题这种由两句话组成的，在填写后半句时，断章取义地把接近的物体拉来作主语，才导致出现牛头不对马嘴的错误。

（2）作业中缺乏标示意识。没有在图中用箭头等方式标示出方向和方位。

3．教材层面

教材上多为单纯性指出方向的练习，缺少此类“某一物体相对于另一物体”的方向的练习，所以学生对此类练习接触较少，虽然对八大方位了然于心，但在这些复杂的相对关系中难免也会被弄得“晕头转向”。

◆指导建议

1．加强辨别“相对方向”的能力

课堂上可以提供实际生活中的场景，让学生充分利用“**在**的（　）面”来说一句话，在反复的说和相似语句的对比过程中，了解语句表述不同，表达的意思截然不同。明确“相对位置”的概念。

2．加强读题方法的指导

指导学生反复读题，边读题，边标示出标准是谁，并画出方向箭头，再根据箭头得出方向。养成边读边悟、边读边画的作业习惯。

3．注重培养语言表述上的严密性和逻辑性，锤炼数学思维

数学是一门讲究严谨的学科，无论是教师的语言，还是学生回答问题的语言上，都能体现出学生思维过程中出现的小遗漏。我们要善于捕捉语言中的小错误，并加以分析，及时弥补和纠正。注重语言表述的严密性和逻辑性，以此来锤炼学生的数学思维。

◆大样本问卷调查结果：错误率70.3%

三年级下册典型错例

◆典型错题：黄昏，当你面对太阳时，你的后面是（ ）面，左面是（ ）面，右面是（ ）面。

学生错解

1.黄昏，当你面对太阳时，你的后面是（西）面，左面是（北）面，右面是（南）面。

错误率：19%

2.黄昏，当你面对太阳时，你的后面是（东）面，左面是（北）面，右面是（南）面。

错误率：14%

◆原因分析

1．第一种情况是学生对题目没有进行细致地分析理解。学生访谈记录：“我没有看到黄昏两个字。”平时我们在练习时或课堂中老师会提到“早晨面对太阳时，就是面朝东面。”受这一认知的影响，学生看到“面对太阳”便会草草地认为是“面向早晨的太阳——东方”。尤其是读题不够仔细的同学，做题比较冲动，只会粗心地读题，而不加以斟酌。

2．第二种情况学生已经注意到“黄昏”两个字，知道自己面朝西面，但是由于空间想象能力弱，以及对方位的认知不是很深刻，因此在判断左右两面的方向时就错误地认为左面是（北）面，右面是（南）面。

◆教学建议

1．加强对方位的认知教学，以加深学生对这一知识的理解。

2．联系生活实际，让学生在真实情境中多进行方位的判断练习。

3．指导学生认真读题，引导学生能对题目做出细致地分析理解。

◆资源链接：相关题目的练习

早晨，当你面对太阳时，你的前面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。

黄昏，当你面对下山的太阳时，你的后面是（ ），左面是（ ），右面是（ ）。

当你面对北极星时，你的右面是（ ），左面是（ ），后面是（ ）。

上课时，如果教室的黑板在南面，你坐着听课是面朝（ ），背朝（ ），左面是（ ），右面是（ ）。

◆大样本问卷调查结果：错误率58.0%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目

有84朵花，每4朵花扎1束，可以扎多少束？平均每人送2束，这些鲜花大约可以送给多少人？

学生错解：（主要是第二个问题）

错解一：没有估算错24人，占12%

错解二：84÷2＝42束 11人占5.5%

◆原因分析

1．从学生角度看：由于刚接触除法的估算，学生尚没有形成估算这样的的意识。其次是学生的审题能力不够。对于第一种错法有一部分是没有看到“大约”两个字。有一部分学生是没有注意到“每4朵扎一束”，“平均每人送2束”，这两种方法的不同，以为只是过是数量发生变化而已。

2．从教师教的角度看：由于本节课的重点是除数是一位数，商是两位数除法的笔算方法，重点关注了笔算的教学，对于本题解决问题的难点估计不足。或是在新课教学忽略了相关的解决问题的练习。

◆教学建议

1．对于学生，要求仔细阅读题目，提醒有阅读困难的学生可以采用划一划、圈一圈等方式弄清题意。同时要分析第二个问题的解决与第一个问题是否有关。

2．在教学中结合具体情境加强估算练习，不能蜻蜓点水，一带而过，而且要注重题目的灵活性和应用性。如结合实际选取最合适的近似数，运用估算来解决问题等，使学生更真切地感受到估算知识与生活实际的紧密联系，从而体现估算的价值。

◆大样本问卷调查结果：错误率18.7%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：参观科技馆的成人人数是儿童的2倍，如果一共有456人参观，儿童有多少人？

学生错解： 456÷2＝228 68人，占34%。

456×2＝912

◆原因分析

1．求1倍数和多倍数两种方法不能区分。

2．不知道和倍问题，不会找对应关系。

3．教师较少引导学生用画一画等多种手段解决问题。

4．教材编排有一定的难度。这道练习设计相对跳跃性较大，对于学生来说要求过高了。

（星号题中）

◆教学建议

1．对学生进行审题习惯的训练。

让学生明白分析应用题最关键是理解数量之间的关系，而理解倍数关系句又是解答倍数应用题的关键。通过题组的训练，让学生明白求1倍数与求多倍数的不同。

2．指导学生画线段图理解数量关系。

(1）指导学生学会画线段图。线段图在认知上是由直观具体的“图”向较为抽象的“线段”过渡，这是帮助学生理解数量关系、解决问题的一种有效手段。因此，教师应将重点放在画线段图的方法指导上，让学生根据以往的知识基础，理清数量关系，讨论得出线段图的画法：先画什么（一倍数），用一条线段表示；再画什么（多倍数），再用一条线段表示，同时让学生明确这条线段的长度和第一条之间的联系；最后标出相应的条件和问题。

(2）让学生根据线段图说条件、问题和思考方法，促使学生进一步正确理解数量关系。

3．适当补充和倍，差倍等相关的数学问题让学生解决。

◆资源链接

解读“和倍问题”

问题阐述

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。

　　解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数。和倍问题的数量关系式是：

和÷(倍数+)=小数

小数×倍数=大数 或 和一小数=大数

如果要求两个数的差，要先求份数。

份数×(倍数－)=两数差

解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好地弄清各数量之间的关系。

教学重点

1.学会分析题意并且能正确熟练地画出线段图。

2.掌握用和倍的方法解决问题。

例题精讲：

根据线段图列式

【解析】列式：（米）

【巩固一】小敏有元，小花有元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的倍？

【解析】小花现在的钱数：（元），小花给小敏：（元）

【巩固二】小华和爷爷今年共岁，爷爷的岁数是小华的倍.爷爷比小华大多少岁？

【解析】小华：（岁），

爷爷：（岁），（岁）或（岁）.

◆大样本问卷调查结果：错误率50.6%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：管理员收了366元小轿车的停车费，收了610元中巴车的停车费。

1．管理员分别收了多少辆小轿车和中巴车的停车费？

2．如果管理员收的停车费都是从停的大客车中收取的，那么停车场有多少辆大客车？

学生错解：

问题1：管理员分别收了多少辆小轿车和中巴车的停车费？

错解一：计算出错占出错人数的三分之一

错解二：第一个问题没有分清分别的意思。连在一起计算7人.

问题2：如果管理员收的停车费都是从停的大客车中收取的，那么停车场有多少辆大客车？

错解一：122+122＝244辆

错解二：366÷8＝45辆……6元。

错解三：610÷8＝76辆……2元。

◆原因分析

1．学生层面：一个长句成了学生解题的拦路虎，有些学生还没读题，就被这长长的文字阵势给吓着了，失去了读下去的信心，胡乱解决了一下。

2．教师层面：在平时教学中没有重视和生活数学的接轨。

3．教材层面：由于新课标把解决问题纳入到计算教学上，没有单独进行解决问题相关数量关系分析的课，因而，造成学生解决问题的能力较弱。

◆教学建议：

1．教师要通过浅显的提问一步一步引导孩子分析，允许学生各抒己见并鼓励一切正确的想法，帮助学生树立信心。让学生明白：只要认真地完整地阅读整个句子，可以结合单位名称法、关键词句法、信息确定法等多种途径，把需要的能帮助理解题目的字、词、句圈一圈，写一写，仔细理解，前后联系，就一定能弄懂这些长句的意思，进而顺利解题。

2．在日常教学中，要允许孩子用各种方式表达，并经常性地开展这种理解性的交流活动。　

3．孩子不明白数学在生活中的价值，为了解题而解题，才会如此，所以，数学学习还应培养学生联系生活实际的能力。在教学中，引导学生联系自己经历过的或身边发生的生活实例，模拟一些生活场景，或者适时地组织各种形式的实践活动，让学生走进生活，增进体验，真正感受数学问题来源于生活，服务于生活。

◆大样本问卷调查结果：错误率53.0%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：制作每只蝴蝶标本需10分钟。李老师：“我6天制作了12盒蝴蝶标本。”已知每盒蝴蝶标本有5只。

（1）李老师平均每天制作蝴蝶标本多少只？

（2）李老师在这6天中制作标本花了多少时间？

学生错解：第（1）小题 错误16.7% 其中 12÷6=2(只) 占8.3%

第（2）小题 错误33.3% 其中 12×10=120（分） 占5.6%

◆原因分析

1．受到多余信息的干扰

学生在平时解决问题训练中也有接触“多余信息”、“隐藏条件”等实际问题，但一般出现的“多余信息”和“隐藏信息”都比较明显，学生比较容易辨别。但这一练习中的信息都是相关的，只是在解决不同的问题时成了“多余信息”，因此对学生产生的干扰比较大。

2．对信息的处理能力不强

三年级学生在解决问题过程中受到思维特征的影响，大部分学生习惯采用从信息到问题的思考过程（即分析法），而此题在解决过程中最佳方法是从问题出发，提取相应的信息，再来解决（即综合法），而这类思维的训练平时接触不多，因此不少学生在看到这么多的相关信息后变得脑子一片模糊，以致于不能正确提取相关的有用信息。

3．基本数量关系不够熟练

不少学生基本数量关系的应用不够熟练。虽然基本数量关系烂熟于心，但在解决实际问题的时候却是为了解决问题而解决问题，缺乏一定的概括提取能力。

◆指导建议

1．加强专项练习，提高学生的信息处理能力。

教师可以在教学中设计一些有针对性的练习，比如提供两个信息，你能从中知道什么？或者提供一个问题，让学生自己来寻找信息，你想知道些什么？通过此类练习，可以提高学生的信息处理能力。

2．反复读题，删选有用信息，排除干扰。

3．熟悉常用数量关系。

◆大样本问卷调查结果：错误率55.6%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：制作每只蝴蝶标本需10分钟。李老师：“我6天制作了12盒蝴蝶标本。”已知每盒蝴蝶标本有5只。（1）李老师平均每天制作蝴蝶标本多少只？（2）李老师在这6天中制作标本花了多少时间？

学生错解：

问题1：李老师平均每天制作蝴蝶标本多少只？

错解一：6×12×6＝360只

错解二：10×6×12×5＝3600只

问题二：李老师在这6天中制作标本花了多少时间？

错解一：5×12×10÷6＝100分

错解二：360÷6＝60分。

◆原因分析

1．学生层面

(1) 问题和信息的呈现显得比较凌乱，图文结合、位置跳来跳去，给学生看清问题和寻找信息增加了一定的难度。

(2) 两个问题之间看似无关又相连，每个问题又都不能直接知道，得饶来饶去动一番脑筋。

(3) 解决每一个问题的方法并不唯一，思维非常开阔，但是对于数学思维并不十分好的学生来说，这无疑是雪上加霜，重重阻挠。　　

2．教师层面：平时教学中没有重视与生活数学的接轨。

3．教材层面：同时，由于新课标把解决问题纳入到计算教学上，没有单独进行解决问题相关数量关系分析的课，因而，造成学生的解决问题的能力较弱。

◆教学建议

1．教师要通过浅显的提问一步一步引导孩子理解题意，允许学生各抒己见并鼓励一切正确的想法，帮助学生树立信心。同时让学生明白：只要认真完整地阅读完整个句子，并结合单位名称法、关键词句法，信息确定法等多种途径，把需要的能帮助理解题目的字、词、句圈一圈，写一写，仔细理解，前后联系，就一定能弄懂这些长句的意思，进而顺利解题。

2．在日常教学中，要允许孩子用各种方式表达，并经常性地开展这种理解性的交流活动。　

3．教学中，一定要通过层层递进的设问，让学生理清思路，明白自己每一步都在干什么。同时要引导学生和组内的伙伴说说自己的解题思路及步骤，在合作讨论中逐渐理解数量间的关系，形成方法技能。在书写时，要关注每一步的单位（单位名称法），检验是否正确。　　

◆大样本问卷调查结果：错误率55.6%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：

杨叔叔平均每天卖多少根冰棍？

学生错解：

问题一：杨叔叔4天卖了多少钱？

错解一：30×8×3×4＝2880 5人占2.5%

错解二：30×3×4＝360 7人 占3.5% 错解三：30×8×4＝960 11人占5.5%

问题二：杨叔叔平均每天卖多少根冰棍？

错解一：30×3×8÷4＝180根。21人占10.5%

错解二：30×8＝240根 3人 占1.5%

错解三：30×8÷4＝120根 12人，占6%

◆原因分析

1．学生层面：基本数量关系不会分析，多种信息一起，不会提取有用的信息。

2．教师层面：在平时教学中算法与解决问题的教学相脱离，不重视数量关系的分析。

3．教材层面：图文并茂对学生解题有一定的影响；同时，由于新课标把解决问题纳入计算教学上，没有单独进行解决问题相关数量关系分析的课，因而，造成学生的解决问题的能力较弱。

◆教学建议

1．强化信息提取能力的训练。教师在课堂练习中要安排设计多信息的练习题，培养学生根据问题选择有效信息和运用有效信息解决问题的能力。

2．重视数量关系的分析，引导学生运用图表法展示综合法和分析法。

如：要求“平均每天卖多少根？”一般要知道什么条件？然后引导学生根据问题找有用信息，表达出数量关系。总的根数÷卖的天数＝平均每天卖的根数。要求：平均每天卖多少元？一般要知道“总共卖了多少元”和“卖的天数。”这两个条件。

3．让学生多口述解题思路。

根据什么，可以求出什么；要求什么，一般要知道什么？

◆资源链接：数量关系表达问题设计：

要求下列问题一般要知道哪些条件？

1．平均每天种树多少棵？

（种的总棵数、天数）

2．山雀每天比青蛙少吃害虫多少只?

(青蛙每天吃害虫的只数－山雀每天吃害虫的只数)……

◆大样本问卷调查结果：错误率45.2%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：一辆吉普车限载4人，运送298名运动员，至少需要（ ）辆车。

学生错解： 298÷4= 74（辆）……2（人）答：至少需要74辆。

◆原因分析

1．学生没有结合具体生活情境理解本题，认为商即是答案，而忽略了余下的2人。

2．本题是除数是一位数当中的一道练习，学生能写出这个答案说明他们对于除法计算还是有一定基础的，只是在解决生活实际问题方面考虑得不够全面。

3．被问题中的“至少”两字给迷惑了，以为至少就是把多余的人去掉。

◆教学建议

在教学中，我们可以采用让学生自查或教师质疑的方法来解决这道问题：

1．当学生说至少是74辆时，我们可以让学生验算一下，74辆吉普车一共载走了多少人，这时学生会发现只能载296人，那还有2人怎么办？从而得出“至少”的意思是把全部运动员运送完，也应该要一辆吉普车，从而得出答案是75辆。

2．教师也可以反问学生：真得是74辆吗？这时学生肯定会注意余数2，那余下的2人怎么办？得出还要加一辆车。

◆资源链接

生活实际问题练习：

1.三年级数学兴趣小组一共有19人，每两人合坐一张课桌，活动室有9张课桌，够吗？

2.为了吸引顾客，超市准备用“3支牙膏，4条毛巾”进行捆绑，制成礼盒进行销售。牙膏有24支，毛巾有30条，超市的这些存货可以制成多少个礼盒？

◆大样本问卷调查结果：错误率

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：535÷□，要使商是三位数，□里最大可填几？要使商是两位数，□里最小可填几？

学生错解：9 1

◆原因分析

访谈发现：有一些学生的目光集中在“最小”和“最大”上面，第一反应最小是1，最大是9。还有的学生不理解题目表述的意思，搞不清何时最小？何时最大？比如有学生会想成商是三位数，□里最大可填几？商是两位数，□里最小可填几？还有的学生混同想成□35÷5，要使商是三位数，□里最小可填几？要使商是两位数，□里最大可填几？

◆教学建议

1．沟通联系，理解商的定位。

理解除法中“商的定位”问题是解决问题的根本，可以借助竖式的书写，帮助学生理解，什么情况下，商是三位数，即商的最高位在百位上；什么时候商是两位数，商的最高位在十位上。

□ □

□ 5 3 5 □ 5 3 5

2．仔细思考，分清两种情况。

商是三位数，被除数最高位上是5，除数可以是几？（6-9? 5-9? 1-4? 1-5?）填5行吗？填6为什么不行？所以商是三位数，看被除数最高位上是5，除数可以是1-5，最大是5，当除数与被除数最高位上同是5，商的百位正好够商1。当除数大于被除数的最高位数字，被除数的最高位不够商1，所以商是两位数，被除数最高位上是5，除数可以是6-9。

3．重视表述，强化训练。

学习有时需要一定量的重复训练，才能使学生对这一知识由陌生变为熟悉，达成“熟能生巧”的效果。通过一定的类似、对比练习，学生在充分思维和表述的过程中，理清了被除数最高位与除数的联系，理清了最大、最小的含义。也可让学生互出类似的题目进行解决，形成技能。

◆资源连接

1．要使□58÷7，商的最高位是百位，□里最小可以填（ ），要使商的最高

位是十位，□里最大可以填（ ）。

2．618÷□，要使商是三位数，□里最大可填（ ），要使商是两位数，□里最小可填（ ）。

3．6□□÷7（□表示一个数字），商是（ ）位数。

4．12□6÷6，要使商中间有0，□里最大填（ ）。

◆大样本问卷调查结果：错误率

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：小红、小明和小军折纸鹤，小红折了15个，小明折了13个，小军上午折7个，下午折9个，平均每人折多少个？

学生错解：（15+13+7+9）÷4=11（个）答：平均每人折11个。

◆原因分析

在教学“平均数”时，教师往往把教学重点放在平均数的求法上，即“总数量÷总份数=平均数”的计算公式上，轻视了意义的理解。学生知道了算法但不理解平均数的真正含义，解决问题时只是简单的模仿：看到有四个数字，就简单地认为是总数量÷4。

◆教学建议

1．要重视对平均数意义的理解。在教学中，教师要重视学生的学习过程，要着眼于让学生经历、体验、感受平均数的产生，并借助教具、学具，用直观的方式帮助学生真正理解平均数的本质含义，理解平均数的解题策略。

2．要让学生体验到平均数的价值。平均数作为反映一组数据的集中趋势的量数，是统计学中应用最普遍的概念，它既可以描述一组数据本身的总体情况，也可以作为不同组数据比较的一个指标，教学时要有意识地让学生体验到平均数的价值。例如，坐公共汽车时，身高在110厘米以下的儿童可以免票，这里的“110厘米”就是根据某一年龄儿童的平均身高得到的，体现了平均数在制定政策中的作用。

3．要教育学生养成仔细审题的好习惯。在解决实际问题时，要提醒学生仔细审题，在理解总数量的同时，一定要弄清楚“把总数量平均分成了几份”，找到与总数量相对应的总份数，正确地解题。

◆资源链接：2009.04 小学教学《平均数》

◆大样本问卷调查结果：错误率26.1%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：一场排球赛，从19时30分开始，进行了155分钟。比赛什么时候结束？

学生错解：

155分钟=2小时35分

2小时35分

19：30 ———————— （21：65）

◆原因分析

1．学生时间单位的换算能力偏弱。虽然学生接触时间的机会频频皆是，而且对于时间的认识也十分准确了。但是对于时、分、秒三者之间的单位换算还不能娴熟掌握，导致部分学生解题时无从下手。

2．学生解题纯为机械应用计算方法，缺乏生活经验。当部分学生将155分钟换算成2小时35分后，就利用“开始时间加经过时间”的方法算出了结束时间。但在答题中却完全不切生活实际地将计算结果21：65作为了最后表述的答案，而且对于这样的答案丝毫不加质疑。

◆教学建议

1．强化时、分、秒三者单位之间的换算。学生认识了钟面上的时刻，也能用不同的记时法来表示相同的时刻了。但对于时间单位间的换算，如1小时=60分，1分=60秒，还应该在平时的教学中潜移默化地或有的放矢地展开专项训练。

2．强化数学与生活间的联系。学生掌握了计算的基本技能后，要学会应用。教师要设计相应的生活问题让学生运用所学的数学知识来解决，不断增强学生的数学应用能力，强化数学与生活间的联系。对于21：65这样的表示结果，教师可以直接呈现，让全班同学讨论纠正，引以为戒。

3．强化练习，循序渐进。学生掌握了正确可行的方法后，一定要组织相应的强化练习，才能达到一看就懂、一算就对的效果。

◆资源链接

1．时、分、秒时间单位换算练习

1时=（ ）分 1小时20分=（ ）分 1分5秒=（ ）秒

120分=（ ）小时 100分=（ ）小时（ ）分 1时20分=（ ）分

2．时间计算练习

（1）学校下午2时上第一节课，每节课35分钟，下午第一节课（ ）时（ ）分结束。课间休息10分钟，下午第二节课（ ）时（ ）分开始上课。

（2）一列火车本应11：20到达车站，现在要晚点25分钟，这列火车何时到达车站？

（3）三年级数学期末考试的开考时间是下午2：10，考试时间是100分钟，三年级数学期末考试结束时间是几时几分？

（4）小英感冒了，医生建议挂瓶，而挂瓶前要先做皮试。现在钟面上的时间是（如右图）。做皮试需要15分钟，小英到几时几分让医生检查皮试结果？

（5）已知2路车每15分钟发一趟，第一趟车早上6时出发，问第五趟车几时发车？

3．判断题（联系实际）

（1）1人唱一首歌需要3分钟，5人合唱这首歌就需要5个3分钟，一共是15分钟。（ ）

（2）上午第一节课的上课时间是8：25，每节课为35分钟，那么第二节的上课时间刚好是早上9时。（ ）

（3）暑假里我每天的午睡时间为1时60分。（ ）

◆大样本问卷调查结果：错误率30.8%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：阳阳晚上9时睡觉，第二天早上6时起床，他一共睡了（ ）小时。

学生错解：

错解1：一共睡了（ 10 ）小时

（生1：晚上9时到晚上12时经过的4小时+第二天的6小时=10小时

生2：掰着手指数：9、10、11、12、1、2、3、4、5、6共10小时）

错解2：一共睡了（ 15 ）小时

（生：晚上9时用24时计时法表示是21:00，经过时间=结束时刻-开始时刻，6-21不好减，就用21-6=15小时）

◆原因分析

1．同一天内经过时间的计算掌握不够扎实。孩子们对于计算简单的同一天内经过时间还存在困难，从他们错法看，作为基础的晚上9时到晚上12时经过多少时间还不会计算。导致这种错误的关键在于没有区分时间与时刻。

2．学生对于计算跨两天的运行时间的问题缺乏思考。从访谈中可以知道，孩子们习惯于计算同一天内经过多少时间，当碰到计算跨两天的运行时间问题时只会盲目地采用前一种方法进行套用，用结束时间-开始时间，一看不够减，就换过来减。而对于隐含着的晚上12:00，即两天的分界线，出错的学生考虑不到。

3.学生联系生活实际的意识和动手操作的能力不强。孩子们真正碰到数学问题时很少会去联系生活实际，更多的是就题论题，想当然，也就有了睡15个小时的答案；也有孩子遇到困难了，不会寻找有效的直观的方法化难为简。

◆教学建议

1.通过理解时间与时刻，巩固同一天内经过时间的算法。在教学计算简单的经过时间时，引导学生分清时间是一个过程，时刻是一个具体时间，通过对钟面的直观演示，帮助学生理解经过的时间。

2.读懂题目意思，区分“同一天”与“跨两天”经过时间的求法。教学时我们可以通过比较的方法加以区分。如：商场早上7:00开门，晚上9:00关门，商场的营业时间是（ ）小时；商场晚上9:00关门，到第二天早上7:00开门，商场停业时间是（ ）小时。以此来理解两种类型的不同含义。

3.引导学生尝试多种方法掌握计算经过时间的方法。

（1）利用钟面，化抽象为具体，掌握最基础的计算方法。利用手中的钟面模型，让学生自己动手拨一拨，找准开始和结束的时刻，再数一数中间相隔几大格就是经过几小时。

（2）采用画线段图的方法进行分段计算，理解算法。结合题目意思引导学生画出线段图（如图），通过画图，明确第一天到第二天经过时间的计算方法，弄清24:00是两天的分界线，①表示今天的运行时间，②表示第二天的运行时间，这样计算经过的总时间就迎刃而解了。

◆资源链接

（一） 提供计算经过时间的几种类型

第一种类型：求同一天的两个时刻之间的时间，并且两个时刻都是用24时记时法表示的。

方法：直接求差。

例：小童8时进校学习，到15时排队离校，他在校多长时间？

15－8＝7（小时）

第二种类型：求同一天的两个时刻之间的时间，而两个时刻都是普通记时法。

方法：先把普通记时法换成24时记时法，再求差。

例：浙江到上海的列车，上午11点发车，下午2点到达，列车运行几个小时？

下午2点换成24时记时法时14时

14－11＝3（小时）

第三种类型：两个时刻不在一天内。

方法：先分段求出每天的时间，再求它们的和。

例：晶晶晚上10:00睡觉，第二天早上7:00起床，晶晶睡了多长时间？

12-10=2（小时） 2+7=9（小时）

（二）相应的习题练习

1.北京故宫开放时间：上午8：00--下午5：00

　　（1）故宫（ ）开门，（ ）关门。

　　（2）故宫一天的开放时间是多少？

2.中央电视台准备转播奥运会体育比赛节目，游泳比赛从第一天19时开始播出到24时结束；排球比赛从第二天0时开始播出到第二天5时结束。

（1）游泳比赛播出多少小时？

（2）排球比赛播出多少小时？

（3）游泳比赛和排球比赛一共播出多少小时？

3.“神舟五号”15日9：00发射升空，16日6：23 安全返回。“神舟五号”飞船围绕地球飞行了多长时间？

◆大样本问卷调查结果：错误率23.6%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：小华下午1时40分到图书馆，17时离开图书馆回家，他最多在图书馆阅读了多长时间？

学生错解：17：00-1：40=15小时20分

◆原因分析

学生访谈：我一看是1时40分开始，17时离开，就直接减一减计算了。

1．从学生访谈情况看，学生知道计算经过的时间用结束时间减开始时间，但忽视了两个时刻不是统一的计时法。特别是开始时间中的“下午”两字给忽略了，从而导致了错误。

2．学生经验不足。不能很好地与生活经验联系起来，对于此题，如果学生用生活经验去思考一下，试想：在图书馆看书一下子看15个小时以上符合常理吗？

◆教学建议

　１．对于两种计时法的比较还欠深入，加强两种计时法的区别，增强灵敏度。

　　２．引导学生仔细读题，可以用笔圈出时间词，如此题中的开始时间中可以把“下午”两字圈出来，然后把它化成24时记时法后，再利用“结束时间减开始时间”的方法来计算。让学生明白要先统一计时法，再来计算。

　　　 ３．计算经过时间的教学是一个应用性、科学性很强的知识点。教学时，教师不仅要教给学生正确可行的方法，还要通过一定数量的练习，使学生真正掌握经过时间的计算。

◆资源链接

　　　　　　　　24时计时法和简单的经过时间计算教学心得

一、通过直观教学使同学们理清“普通计时法”和“24时计时法”的根本联系和区别

这是一个最基本的问题。两种计时的方法在说法上虽然不同，但是归结起来就是同一个钟面的两种读法（两种用法）。无论哪一种用法，可都离不开钟面上的那12个数字。12时计时法（也叫普通计时法）是社会上传统的用时方法，它和24时计时法相比较，无非是重复读一次那12个数字，结果就出现了两个1时，两个2时，两个3时，……两个12时。例如：钟面上的1时，当天的午夜有一个1时，它是新的一天的开始，到了中午仍有个1时等。而24时计时法，虽然用的也是钟面上的那12个数字，但和12时计时法的读时方法不同。也就是说钟面上的12个数字不重复读，而是出现连续的读用方法。例如：从午夜的1时一直读到中午的12时后，下面的1时就直接读作13时，那么1时后面的2时就续读作14时……，读到午夜的12时时就读作24时，这就是24时计时法，它正好是一整天的24时。

通过黑板上的钟面，使同学们产生对家里的钟面的联想。通过老师的反复对照读法，使同学们也能很好区别这两个不同的概念以及它们的内在联系，从而为下面的实际计算打下坚定的基础。有了概念，同时，也就有了有计算的基础，这就是实际的教学过程中完成的第一阶段。务必引起老师的重视。

二、在多种方法的基础上，推出诸如此类的简易计算公式

学习的目的在于应用，讲清24时计时法的概念之后，就要进入实际的计算的教学。但是大部分的同学往往存在着一个“说起来容易，做起来难”的问题，在实际的计算中总是糊里糊涂的。例如：一列火车10：22从首都北京发车，19：29到达沈阳。求列车的运行时间。还有，一场演唱会从8：30开始到14：30结束，求演唱会演出的时间等。诸如此类的计算举不胜数，要是见一题就给讲一次怎样的计算，那就麻烦太大了。所以凡属这类的计算问题，都可以概括出一个简易的公式，让同学们像应用其它的公式一样，轻松地把数字代入公式中就即刻求出。那就是：结束时间－开始时间=运行时间。这个公式即通俗易懂又涵盖了很多问题的时间计算。对于同学们来说，在老师的启发下是很容易接受的，运用起来也颇为方便。关键是公式中的运动时间这个概念要让同学们理解好，它代表了很多事物的运动时间，接近的有飞机、轮船、汽车、摩托车、自行车等等，有些事物虽不接近行走，但也是运行的事物，有如：比赛、会议、义务劳动、演唱会等也都可看作运行的事物，只要有开始时间和结束时间，就可以代入这个公式中求出运行时间。在掌握了这个公式以后，有关的运行时间的计算就彻底的解决了。如：19：29--10：22=9：07，这个9：07就是火车在北京和沈阳之间的运行时间。又如：14：30-8：30=6：00，这个6：00就是演唱会的“运行时间”，同学们运用这个公式解决实际的时间计算问题，就非常的灵活和得心应手了，这样一来，实际的教学效果也就大大地提高了。同时也缩短了教学的过程和时间。

◆大样本问卷调查结果：错误率26.8%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：电视台星期五晚上的节目安排如下：

18：00 动画城 19：30 广告

18：40 大风车 19：55 电视剧场

18：45 科技博览 21：45 新闻调查

19：00 新闻联播

小红18：40开始看电视，看完《新闻联播》后去睡觉。小红看了多长时间的电视？

学生错解：19：00-18：40 =20分

◆原因分析

学生访谈：当时只想着算经过的时间，没搞清新闻联播的结束时间。

１．相信在学生的脑中已经有了初步的计算经过时间的模型“结束时间减去开始时间”。但由于习题一下子呈现了多条信息，受多条信息的干拢，学生在提取信息过程中把新闻联播的结束时间找错了。

２．学生缺乏生活经，“新闻联播”在他们头脑中没有很深印象。有经验的孩子，凭直观的感觉也知道看完《新闻联播》应该是什么时刻。

◆教学建议

1．这是一道联系实际的题目，呈现的时刻项目多，较难看懂。教师要先引导学生熟悉内容，然后让学生读清问题，抓住看电视的开始时间和结束时间这两个主要条件，再让学生进行计算经过时间。

2．在教学中不但要关注学生的直接生活经验，还要尽可能使数学活动与他们的生活实际相联系，让学生在亲身实践中体验时间的计算过程。比如：上学路上用了多长时间？一节课上了多长时间？平常看多长时间电视等，让学生有一个学习、体验、巩固的过程，增强时间观念。

３．结合生活实际通过一定数量的练习，使学生真正掌握经过时间的计算。

◆资源链接：

1．《七 巧 板》 6：30

《虹猫蓝兔卡通天地》 7：10

《芝麻开门》 7：35

《智慧树》 8：00

《动漫世界》 11：15

《海洋课堂》 11：40

《陈岳叔叔讲故事》12：10

（1）《虹猫蓝兔卡通天地》7：10经过（ ）分放映《智慧树》 8：00

（2）《海洋课堂》11：40经过（ ）分放映《陈岳叔叔讲故事》12：10

（3）《芝麻开门》7：35，再过25分，就是看《 》的时间啦！

（４）《 》再过40分就可以看《虹猫蓝兔卡通天地》7：10啦

２．下面是电视节目时间表（部分）。

7：30金色年华     17：20儿童英语

9：00动画城       19：00新闻联播

10：00 电视剧      19：45阳光剧院

21：00晚间新闻

（１）从《儿童英语》节目开始到《阳光剧院》节目开始经过了多长时间?

（２）小明下午3：40放学，路上要花费1小时15分，到家是什么时候？

（３）星期六，小明7：10起床，他准备收看《金色年华》节目，最多还有多少时间?起床后，小明必须完成三件事：刷牙洗脸(5分)、烧早饭(10分)、听早间新闻(10分)，小明能准时收看《金色年华》节目吗?你能不能替小明想个办法?

３．一个地方电视台的播出时间如下：
第一次：6：00～10：00
第二次：11：00～15：00
第三次：19：00～0：00
全天播放时间共（ 　　　　）小时。

◆大样本问卷调查结果：错误率37.4%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：2010年南非足球世界杯，从6月11日开始到7月12日结束，比赛一共进行了（ ）天。

错 解：31天（错误大多锁定在这个结果。）

◆原因分析

访谈发现，学生是这样想的：从6月11日到7月11日，正好一个月是30天，还有11日到12日这一天，所以30+1=31天。有学生提出，算上开头那一天应该是30+1+1=32天，跟植树问题一样，但许多中下生并不能很好理解这种解法。

教材层面：本单元只用4课时教学，内容包括认识年月日——知道平年、闰年——知道24时计时法——计算简单的经过时间。教材中例题和练习题中只出现“几时几分”的简单经过时间的计算，没有出现相应关于计算“经过天数”的练习。

教师层面：在教学中，虽然补充教学了“计算经过天数”的知识，但也只是一笔带过，看来没有引导学生理解到位，故学生对“经过天数”的理解不够深刻。学生对“经过天数”的计算，容易受到“间隔问题”的干扰。

◆教学建议

考虑到学生对植树问题段数棵树“一对一”的理解本身就是一个难点，所以我在教学中尝试避开“间隔问题”，以“分段计算”的方法来进行教学。

1．从简单入手，数一数

如出示这样一题：7月30日小华去旅游，8月4日返回，他一共游玩了（ ）天。正视学生的争论：5天？6天？引导学生扳着指头数一数：7月30日、7月31日、8月1日、8月2日、8月3日、8月4日，共6天。明确“出发”和“返回”这两天都要算。

2．拉长时间，算一算

如从10月2日到11月20日，一共多少天？引发学生的第二次争论：49天？50天？拉长了经过的天数，扳着指头数还方便吗？那就算一算：31（10月）+20（11月）—1（减去10月1日那一天）=50天。让学生初步明白“分段算”的方法。

3．明确方法，灵活用

给以一定的相关练习，让学生体会到具体问题具体分析，逐步掌握分段计算的方法。这样既避免了“间隔问题”的干扰，又增强了解决具体问题的能力。

◆资源链接

1．2010年南非足球世界杯，从6月11日开始到7月12日结束，比赛一共进行了（ ）天。

引导学生这样想：6月30天，减去已经过去的10天，再加上7月的12天，所以算式是30-10+12=32天。]

2．上海世博会2010年5月1日开幕，10月31日闭幕，从开幕到闭幕一共有（ ）天。

31+30+31+31+30+31=30×6+4=184天。

3．学校从7月5日开始放暑假，9月1日开学报到，暑假一共（ ）天。

这个题目与上面的有点不同，是一个算头不算尾的问题，暑假假期的计算是从7月5日算到8月31日，因为9月1日已经开学了。所以7月31天减去过去的4天（从7月5日算到31日），再加上8月整个月就好了。算式是31-4+31=58天。

◆大样本问卷调查结果：错误率

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：我每分钟大约行100米。如果每天用2小时送信和报纸，邮递员每天大约行多少千米？

学生错解：2×60×100＝120000（千米）

◆原因分析

学生访谈：我没看清后面的单位是“千米”。

１．从学生访谈情况看，看似是一时粗心引起的，其实从更深层分析，是因为小学生感知比较笼统、粗浅、时常被表象迷惑，获取信息有偏差。

２．从题目本身来看，连续出现了两个不统一的单位，如前面是“每分钟“，后面是“小时”，前面单位是“米“，后面问题里变成了“千米”。学生关注了“分”与“小时”的变化，以为万事大吉，却没注意问题里单位的变化。

３．缺乏一定的生活经验。对于“邮递员每天大约行多少千米”没有相应的生活经验，所以对于结果120000千米的合理性也没有思考。

◆ 教学建议

１．从思想上让学生重视在“解决问题”中单位的重要性，每次解题都要关注单位是否统一。

２．引导学生仔细读题，采用圈一圈、划一划等方式弄清题意，特别是一些关键词以及单位的变化要及时圈出来。如这题中“分”与“小时”、“米”与“千米”前后的变化可让学生圈圈、划划。

　 　３．及时引导学生对结果的合理性进行检验、思考。

◆资源链接

指导设计：

1． 读题：你读懂了什么？

2． 说说有哪些地方需要圈圈、划划要提醒自己或大家注意的。

3． 怎样对结果的合理性作进行检验？　　　　　

◆大样本问卷调查结果：错误率31.3%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：

学生错解：12×14＝168（元）　　　168×56＝9408（元）

◆原因分析

1．从学生访谈情况看，学生认为解决问题中提供的信息都是有用的，所以在没有仔细思考的情况下，把所有的数据都拿来用了。

2．学生分析提取信息的能力弱，对于给出的信息不能作出很好的分析，可以说是不理解题意，从而导致错误。

　　3．由于本单元的重点是两位数乘两位数的计算，重点关注了计算方法，对于解决问题方面没有作过多的辅导。

◆ 教学建议

１．培养学生阅读分析的能力，不仅要让学生读懂信息，更要学会用数学的眼光去捕捉一些有效的信息。引导学生从问题入手，如本题中要解决“一共卖了多少钱”必须知道哪些信息？通过提示帮助学生找到有用的信息进行列式解答。

２．引导学生学会对列出的每步算式进行解读，让学生明白每步算式都是有意义的，如果让学生说说“12×14”表示什么？那么我想学生肯定会很快明白了其中错误。

　 　３．在课堂中要设计一些练习，培养学生根据问题选择有效信息和运用有效信息进行解决问题的能力。

◆大样本问卷调查结果：错误率27.4%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：服装厂平均每天生产23箱衬衫，已知每箱50件，12天可以生产多少箱衬衫？一天生产多少件衬衫？

学生错解：12×23=276（箱） 276×50=13800（件）

◆原因分析

１．从学生产生的错解来看，此题目中两个问题与信息同时呈现，但其中的两个问题之间又没有直接的关系，只是都需运用“每天生产23箱衬衫”这一条信息，学生往往受思维定势的影响，用以往的经验解决问题。过后还无论如何都不愿意相信自己错了。

２．从学生接触的题目本身来看，解决问题中的一个特点是同时呈现需要解决的好几个问题，这些问题有的是并列的，有的是递进的，有的可能还会出现多余条件，不明确告之，需要学生自己去解读、寻找、选择、分析。这就给部分学生造成了很大的困扰。

◆教学建议

1．在问题分析时，请学生关注：第二个问题要求几天生产的衬衫？276箱是几天生产的箱数？从而发现矛盾。 其中，“12天”和“一天”这两个关键词起了决定性作用，我建议学生在解题时，将这两个词圈出来，划出来，以提醒自己注意，检查时也可以从这里着重思考。

　 　2．在动手做题时，让学生从问题出发思考，寻找所需的信息，这样做，可以避免使用多余条件，而且条理比较清楚。但是该种方法需要学生有一定的数学分析和思考的能力，学生可能一下子做不到，需要老师经常性地引导学生这样思考问题，并借助一些方法一起帮助分析。

◆资源链接

1．《课堂作业本》经常出现这样的类型：画面中呈现部分数量信息，又出现话语形式的提示，最后以文字出示问题，比起一大堆文字，学生比较喜欢这样的呈现方式。但是由于形式的多种变化，加上以直观为主的思维特点，学生往往只看到情境画面，而忽略了真正的数量信息，从而导致解题错误。因此要求学生逐字逐句地阅读完所有信息，比较分析“究竟哪些才是真正的数量信息”，用笔圈一圈、划一划，再解题。完成后，再对照数量关系进行检查验证，使学生养成边阅读边分析的良好习惯。

2．相应的习题练习。

◆大样本问卷调查结果：错误率24.7%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：（ ）里最大填几？（ ）×29＜900

错 解：30

◆原因分析

学生都是这样想的：受前一题（ ）×6＜361的影响，想这是一道乘法题的估算，将29看成30，30×30=900，所以（30）×29＜900。

◆教学建议

对于这样的问题，学生能想到30，说明已经完成了思维的第一步，教师只需在这基础上作进一步引领即可。不妨有效利用学生的这一资源，引导学生想真的是最大填30吗？再大一顶点儿还行吗？聪明的学生自会发现（31）×29＜900。我们不妨引导学生在比较的基础上作进一步揣摩：30×30、30×29与31×29之间到底有怎样的联系？它们的大小又相差多少呢？30×30比30×29多一个30，而31×29比30×29多一个29，有了(30)×29这个参照物，我们就知道30×30比31×29还多1，所以（ ）×29＜900这里最大填31。

此题引发我的思考：

1．平时要充分重视估算意识的培养，增强学生的数感。

估算的教学不能为估而估，而是要在教学中随时随机地渗透，在计算和解决问题中不断重复地训练，以养成学生的一种自觉意识。

2．重视观察与推敲，发展学生的观察与思维能力。

数感的形成不是一朝一夕，而是通过不断地训练，来增强学生对数据的一种敏感程度。其间很重要的是培养学生的观察思维能力，在观察中比较，在比较中推敲，在推敲中发现，挖掘思维的深度。估算是很好地训练学生数感的一个重要途径，还能逐步增强学生对数的敏感程度。

◆资源连接

教学中，我们要重视这样的练习资源，如：

1．178÷6≈ 71×89≈ 609÷6≈

2．不通过计算，比较大小：

89×30○2700 40×123○4800 26×19○2026 102÷2○102÷3

608÷4○680÷4 48÷4○33÷3 432÷8○433÷9 450×3○3×540

3．（ ）里最大填几？

（ ）×19＜600 69×（ ）＜5600

4．一台洗衣机价格是1998元，买同样的三台洗衣机大约需要（ ）元；

小明每分钟步行57米，一小时大约步行（ ）米。

5．估一估，下列算式中乘积大于1000的是（ ）：

24×19 212×3 42×15 317×4

6．估一估，商最接近60的算式是（ ）：

365÷5 438÷6 472÷8 280÷4

◆大样本问卷调查结果：错误率

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：一块正方形的菜地，有一面靠墙，用长24米的篱笆围起来，这块菜地的面积是多少？

学生错解：

1．24×24=576（平方米） 占13.9%

2．24÷4=6(米) 6×6=36（平方米） 占13.9%

3．24×3=72(米) 5.6%

◆原因分析

1．教师层面

（1）新课和练习过程中缺乏练习的梯度，变式练习比较少，导致学生在练习过程中缺乏练习的灵活性。

（2）对学困生缺少关注，导致不少学困生对周长和面积知识概念不清，作业中生搬硬套公式，甚至将周长和面积计算混淆。

（3）教师对学生解题方法缺乏指导，尤其是学困生，没有示意图的帮忙，要弄清题意有一定的难度。

2．学生层面

（1）空间观念不佳，只看到“靠墙”的事实，却没有搞清楚这样的事实只能导致周长产生变化，而不会影响面积大小。

（2）解题习惯欠佳，很多学生在没有弄清题意的情况下，就贸然动笔，缺少“画一画”、“标一标”等意识。

（3）对“周长”、“面积”概念不清。尤其是正方形的周长和面积计算经常混淆。

◆指导建议

1．让学生亲手操作，通过围一围、摸一摸等活动，再次感受“周长”、“面积”的区别，明确周长和面积的不同含义。

2．收集学生作业中出现的不同思考方法，比较不同方法的优劣，得出“画图法”的优势，并表扬鼓励完成较好的学生，将“画图法”在班中推广。

3．可以采用丰富的形式（如闯关、比赛等）组织学生做一些类似的比较练习，以提高知识的应用能力和解决实际问题的灵活性。

◆资料链接

附常用比较练习：

1．一块正方形菜地，其中一条边的长度为24米，这块菜地有多大面积？如果在它四周围上一圈篱笆，则篱笆需要多长？

2．一块正方形菜地，在它的周围围上一圈篱笆。篱笆共长64米，这块菜地有多大？

3．一块正方形菜地的面积是64平方米，要在它的四周围上篱笆，篱笆需要多少长？

4．一块正方形菜地的面积是64平方米，要在它的周围围上篱笆（其中一面靠墙），篱笆需要多少长？

◆大样本问卷调查结果：错误率37.1%

三年级下册典型错例

◆典型错题

错 题：一个足球场长65米，宽比长短19米。这个足球场面积是多少？

学生错解：

1．65×19=1235（平方米）错误率：14%

2．65—19=44（米）44×65=2860（平方米）错误率：11%

3．65—19=46（米）46×19=874（平方米）错误率：６%

◆原因分析

1．没有看清题意。这部分学生没有看清题意，看到65米是足球场的长，便草率地认定19米是足球场的宽，于是便出现了第一种错误。

2．计算能力欠强。本班学生的计算能力较弱，班级中竟有4位同学认为65减19的差是44，另外还有少数几位同学在计算这一步时也出现了错误。

3．解题态度随便。学生访谈：“我在算长乘宽的时候把19当作足球场的长了。”这部分学生已经看清楚了题目的意思，并对这道题有了正确的解题思路，但是在解题时却不够细心，明明知道用足球场的长乘宽算面积，但在计算时却没有看清哪个数字表示长，哪个数字表示宽。因此出现了第三种错误。

◆教学建议

1．教育学生养成良好的审题习惯。教师在平时的教学中要注重教育学生看题的技巧。如要将题目看完整，读懂题目的意思；看题时还可以将题目中的关键词划出来，以免忽略重点等，改掉断章取义、浏览式看题等习惯。

2．不断加强计算能力的培养。在小学中段教学中，我们发现学生中的许多错误均来自于计算。计算能力的高低在很大程度上影响着作业的准确度，因此教师应在日常教学中不断训练学生的计算能力，提高他们的计算准确率。

3．培养学生良好的解题习惯。许多学生做作业时总是急于求成，喜欢快点将作业做好。一些会做的题目思路正确，但解题时就会出现这样那样的错误。就如上述第三种错误中，学生就是因为解题时不够细致造成的。我们不仅要培养学生良好的读题习惯，更要培养学生良好的解题习惯。

◆大样本问卷调查结果：错误率26.7%

三年级下册典型错例

◆典型错题

错 题：面积相等的两个图形，周长也一定相等。

学生错解：面积相等的两个图形，周长也一定相等。（√）

◆原因分析

1．对面积与周长的相关知识缺乏深刻的认知。

在学生出现错误后，我问学生是怎么想的，有几个学生说他们不懂这题的意思，就随便打了个√；有部分学生对这题作出了分析，他们将草稿本上的图画拿给我看。 2 2

我问学生为什么画了两个一样的图形，学生说：“因为题目要求面积要相等啊。”在学生们眼里，面积相等的两个图形，他们首先想到的是形状大小一样的图形，那么它们的周长也就相等了。而后我又问了几个做对的中等生，问他们为什么给这题打了错号，有两个孩子说：“我是猜的，我想想面积和周长是不一样的，我就判断这句话是错的。”原来做对的同学也未必是真正理解了这道题目的意思。

2．教师在教学时讲解题型过于单一。

从以往的教学经验来看，“面积与面积单位”这一单元内容较多，学生们出现的错误也较多，对新知识的接受能力较弱。因此我在教学时将重点放在讲解典型的基础题上，力求让大部分同学理解更细致深入些，在题型上显得较为单一。学生们在几堂课的学习中，对基础性的题目掌握得是较好，但稍微灵活些的题目就显得不能触类旁通了。学生们只会计算简单图形的面积与周长，而面对这个判断题就显得不知所措了。

3．学生们不能自觉使用画图等帮助解题的方法。

在错误原因的询问中，我发现许多孩子对这道题目用了猜的方法，只是稍稍进行了凭空的思考就进行了判断，画图的孩子很少，而我在平时对这一点强调得较多，但孩子们仍然没有画图的习惯。

◆教学建议

1．对题目作深入地分析，强化对知识的理解。这道题目有一定的难度，涉及到面积与周长两个知识点。教师要对这两个知识点进行更深入地讲解，以加深学生对面积与周长相关知识的认知。

2．在新授时，要进行多种题型的讲解。在教学中，我讲解的题目较为简单，属于基础性的题型。这样的教学形式使学生对基础性的题目理解较为扎实，但对于一些较为灵活的题目学生显得不知所措。因此教师在课堂中，要能讲解多种题型的题目，如计算题、判断题、填空题等，让学生接触各种题型，提高他们的思维灵活性。

3．让学生养成用画图来帮助解题的好习惯。画图是一种解题的好方法，教师要鼓励学生多画图，用画图来帮助解题。这样既能提高他们的学习能力，又能提高解题的准确率。

◆大样本问卷调查结果：错误率16.3%

三年级下册典型错例

◆典型错题

◆学生错解

1．6×6=36（平方厘米） 占40%

2．其他 11.4%

◆原因分析

1．容易受到强刺激的干扰

题目中“剪下一个最大的正方形”对学生来说是一个较强刺激，学生看到这一信息后，把注意力都集中到了这个“最大正方形”上，却忽视了问题中要求的是“剩下部分”的面积。

2．读题习惯欠佳

读题之后急于下笔，导致读题不清；也有部分学生读题时没有连续性，他明明知道剩下部分是长方形，但最后求的面积仍是正方形的面积。

3．空间观念有待提高

少部分学生对怎样才能剪出“最大正方形”仍一头雾水，理解能力和空间观念有待提高。

◆指导建议

首先，针对位数不多的不理解“最大正方形”由来的学生可以让其再次动手在长方形纸上折一折，折出一个最大“正方形”，此时，教师可以适时追问：为什么这样折，就能折出一个最大正方形？引导学生关注：对折的过程就是将长方形的两条相邻边比较，然后把较长边的多余部分截去，就剩下一个正方形，正方形的边长就是原来长方形的宽，并且一定是长方形中最大的正方形。通过实际操作，让学生的空间观念得到发展。

其次，对那些读题不够细心的孩子，可以让其自由读题，多读几遍，读了之后，再问问你有什么想说的？把学生的注意力吸引到题目本身中来，通过多读几次，来减少“强刺激”所带来的负面影响。

◆大样本问卷调查结果：错误率20.5%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：将两个长4厘米、宽2厘米的完全相同的长方形拼成一个大长方形，周长是（ ），如果拼成一个正方形，它的面积是（ ）。

学生错解：24厘米 20厘米

◆原因分析

前一个答案出错的比率更高，尤其是中下生没有通过画图，无法将抽象的语言表述转化成具体形象的空间图形，导致他们想当然将两个长方形的周长相加得到大长方形的周长；第二个答案基本没有问题，但是有一些孩子因为第一个问题是求周长，他的思维还停留在求周长上面，但知道要拼去长边，所以24-4=20厘米，压根儿没有转到求面积上面。

◆教学建议

象这样的题，看似只是一道简单的填空题，实则蕴含着丰富的思维含量。本题有一个“拼”的过程，需要头脑中有一个空间操作或想象拼的过程，只有拼出了新的图形，才能继续求它的周长或面积，并正确灵活应用长方形和正方形的周长面积公式。

1．读懂题意、建立表象。

首先要读懂题目的意思，在头脑中建立清晰的图形表象，明白这么多文字在表述一个什么意思。

2．拼画图形、形象直观。

要把抽象的语言表述和头脑中的表象具体形象化，最好的办法是画图，这是解决许多空间与图形问题的通用法宝。

4厘米 4厘米 4厘米

2厘米 2厘米

3．交流讨论、解决问题。 2厘米

观察发现：两种拼法有什么不同？（第一种是横着拼，拼成大长方形是拼去两条宽；后者是竖着拼，拼成正方形是拼去两条长。）

拼成后的图形，你能研究研究它们的周长和面积吗？

（1）描一描周长在哪儿？涂一涂面积在哪儿？）

（2）周长谁大？面积谁大？（面积一样大，都是两个长方形拼成的图形；周长第一个大，因为前者拼去两条宽的长度，后者是拼去两条长的长度。）

（3）想想拼成后的长方形的长和宽分别是多少？拼成的正方形边长是几？

你能分别计算它们的面积和周长吗？

（8+2）×2=20厘米 4×4=16厘米

8×2=16平方厘米 4×4=16平方厘米

还有不同的方法吗？

图1周长：(4+2）×2×2=24厘米 图2周长：(4+2）×2×2=24厘米

24—2×2=20厘米 24—2×4=16厘米

面积：4×2×2=16平方厘米 面积：4×2×2=16平方厘米

（4）如果长是3厘米，宽是2厘米，还能拼成正方形吗？（只有长是宽的两倍时，才能拼成正方形。）

◆资源链接

1．两个面积是1平方厘米的正方形拼成一个长方形，面积和周长各是多少？

2．5个边长1厘米的正方形能拼成怎样的图形，在方格纸上画一画。拼成的图形面积是多少？周长相同吗？

3．将一个长为8厘米、宽为2厘米的长方形，能分割成几个完全一样的正方形？周长比原来增加多少？每个小正方形的面积是多少？

◆大样本问卷调查结果：错误率

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：明明用边长1厘米的小正方形研究一张长方形纸的面积（小正方形不能剪开），他只沿着长方形纸的一条长和宽摆正方形，正好用了6个，这张长方形纸的面积最大可能是（ ）平方厘米（可以画图试一试）。

错 解：6平方厘米

◆原因分析

填6平方厘米的学生占全班的40℅，其中很多孩子在试卷上画了这样的图：

孩子们以为这张长方形纸的面积是确定的，明明是用6个小正方形把这张纸给铺满了，所以长方形纸的形状可以是这样两种，但它的面积是1×6=6平方厘米，2×3=6平方厘米。显然孩子们误解了此题的题意，另外有的孩子根本读不懂题意乱填一气或诚实地空着。

◆教学建议

1．命题要明朗化，让学生能读懂题意。

我们不妨把题目改一改：明明手头有6个连在一起的边长都为1厘米的小正方形，他想以此来研究长方形的面积，这些正方形正好沿着长方形摆一条长和一条宽，你能把明明摆的情况画出来吗？在所有可能摆的情况下，长方形的面积最大是多少？

2．借助画图，使抽象问题具体化。

长方形的大小是不确定的，而长方形面积的大小是由长和宽决定的，那么明明手中的六个连为一体的小正方形又正好摆一条长和一条宽，可能是怎样的呢？

1×6=6平方厘米

2×5=10平方厘米 3×4=12平方厘米

◆资源连接

研究长方形与正方形的周长，我们常常接触到这样的问题，在教学中一定要着重让学生深入理解。

1． 长方形的周长相等，面积一定相等吗？（在方格纸上画周长为12厘米的长方形）

（每个方格是边长为1厘米的正方形）

图1 图1：（5+1）×2=12厘米

图2 1×5=5平方厘米

图2：（4+2）×2=12厘米

2×4=8平方厘米

图3 图3：3×4=12厘米

3×3=9平方厘米

长方形的周长相等，面积不一定相等。在周长相等的情况下，当长方形的长和宽越来越接近，面积就越来越大。

2．面积相等的长方形，周长一定相等吗？（可以类似于上面举例画图证明）

3．两个正方形的面积相等，周长一定相等。

4．两个正方形的周长相等，面积一定相等。

思考：为什么长方形和正方形不一样？因为长方形取决于长和宽两个因素，其周长或面积相等的情况下，长和宽存在变数；而正方形取决于边长，它的四条边是相等的，其周长或面积一定，它的边长就确定了。

◆大样本问卷调查结果：错误率

三年级下册典型错例

◆典型错题

2.45 4 5.5

+ 6 -1.7 - 4.6

-------- -------- --------

2.51 3.7 9

◆原因分析

1．学生受到整数加减法的负迁移

错题1和错题3显然直接套用了整数加减法的计算方法，而错题2也正是整数减法中非常容易出现的错误“用大减小”。

2．小数加减法的算理不明，算法不清

正是因为不清楚小数加减法的算理及与整数加减法的区别，两者之间的关系含糊不清是造成错误的主要原因。

3．不清楚整数的小数点在哪里也是错误的因素之一

◆教学建议

1．通过直观图的操作让学生理解小数加减法的算理。

通过直观图可让学生理解，为什么要数位对齐，小学加减法中数位对齐的简单方法是“小数点对齐”。前面的问题学生比较容易理解，因为有整数加减法的知识迁移。因此重点要让学生讨论，为什么小数点对齐就是相同数位对齐了呢。

2．通过对比训练，让学生加深理解整数加减法和小数减法之间的区别。

在教学中特别要重视整数与小数加减法的对比，这是教学的难点。因为整数的小数点在书写时不呈现，学生失去了相同数位对齐的“参照物”就有可能造成错误。因此在刚开始计算时，可以要求一部分学生写出整数的小数点，然后再进行计算。计算好后也可以让学生找一找三个数的小数点是否对齐。

◆资源链接：2010.07-08《小学教学》“让利用旧知学习新知成为一种策略”。

◆大样本问卷调查结果：错误率33.1%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：小明妈妈的1块手机电池完全充电后，可以连续不断地使用4天，她有2块这样的电池，完全充电后，可以连续使用多少小时？

学生错解： 4×2＝8(天)

◆原因分析

1．学生没有用心读题、审题，而是单一地以题目中一些表面的信息为依据进行解答。

2．教师平时对学生“如何寻找隐含的信息”训练不够。

◆教学建议

1．强化良好的审题习惯的培养。教师要提醒有阅读困难的学生可以采用划一划、圈一圈等方式找出关键句、词，弄清题意。

2．教学中，教师要有意识地多设计些这样有隐含信息的问题让学生解决，锤炼学生的思维品质。

◆大样本问卷调查结果：错误率18.2%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：小强说：“我的生日比国庆节早一天。”

小芳说：“我是闰年2月的最后一天出生的。”

小刚说：“我的生日比小芳晚6天。”

猜一猜，他们的生日分别是哪一天？

学生错解：小强：错解1：10月2日 错解2：9月31日

小芳：错解：2月28日”

小刚：错解1：3月5日 错解2：2月23日

◆原因分析

1．学生对于“早一天、晚6天”这些生活中的数学语言不理解，不知道到底应该是加还是减，弄不懂。

2．平年闰年的教学，没有把知识点真正落到实处，学生不能正确运用。

◆教学建议

1．教学中要尽量优化以“生活”为背景的数学内容，把生活素材、生活经验、生活情景作为重要资源，引进和提供给学生去理解去实践。

2．教学中要组织引导学生自觉运用数学知识去分析解决生活中的实际问题，使学生深切体验到数学知识与生活实际间的密切联系。感悟到数学就在我们身边，它源于生活，又用于生活。这样，既可以巩固课堂内学到的知识，又可以开阔学生的视野，增强学生的实践应用能力。

3．让学生在具体的操作活动中进行独立思考，后组织交流，鼓励学生发表自己的意见，促使每名学生都“动”起来，

◆大样本问卷调查结果：错误率43.6%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：从下图所示的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？这样的正方形最多可以剪几个？

15厘米

4厘米

学生错解：正方形的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？

错解1：4×4=16（厘米）

错解2：不知道怎么剪？乱写一个面积

这样的正方形最多可以剪几个？

错解1：15×4÷4

错解2：找不到长方形与这个最大正方形之间的联系，乱写

解题3：在本题中是对的，但方法是否恰当》（15×4）÷（4×4）

◆原因分析

1．混淆了图形周长和面积的含义，在解决问题中出现乱用公式的现象。长度单位和面积单位易混淆，解题时单位乱用；长正方形周长面积的变式练习较为薄弱，方法不够灵活。

2．这样的正方形最多可以剪几个？很多学生是长方形的面积除以正方形的边长，学生没有养成画图的习惯，凭感觉做，缺少实践活动、动手操作的训练。

◆教学建议

1．借助图形，加强对长方形、正方形周长和面积含义的区别学习。建立正确的长度单位、面积单位的概念与表象，能结合具体情境选用合适的长度单位和面积单位。

2．引导学生正确应用周长和面积的公式解决实际问题。通过创设具体的问题情境，引发学生的独立思考、动手实践与合作交流，鼓励学生用画一画、剪一剪等方法来思考解决。培养学生灵活解决实际问题的能力，有机渗透数学思想和方法。

3．梳理知识要点，逐步构建知识系统，进一步发展学生的空间观念。

4．强化周长和面积的专项对比练习。

◆大样本问卷调查结果：错误率44.3%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：填一填。

90×8＋30＝750

750÷90＝（ ）……（ ）

750÷8＝（ ）……（ ）

学生错解：90×8＋30＝750

750÷90＝（8）……（30）

750÷8＝（90）……（30）

◆原因分析

我们通过访谈形式了解到，上述的错解学生很难发觉自己的错误，他们对自己的解法“深信不疑”。对做对学生的解法调查发现，他们大多是“用余数一定比除数小”这一定律去检验的。可见错解的产生原因，一是教材方面，没出现类似的习题；二是教师方面，对于这种综合性的训练题平时练习比较少，仅仅把握住各个相对独立的知识点，进行训练。这样导致学生学到的知识只会发死，降低对知识能力的掌握。对知识点之间的相互关联没有深刻的认识和理解。要抓住对学生的两方面思维训练——顺向思维和逆向思维；三是学生方面，这部分学生都是根据乘除法之间的关系依样画葫芦的把数抄下来，根本没想到或者没去考虑余数跟除数之间的关系。还有他们也没有用学过的知识三位数除以整十数或一位数去检验一下。

◆教学建议

1．对于教师，今后在知识点学牢的同时，要紧紧地抓住知识点之间存在的紧密联系，将学过的知识和内容能够有机地结合在一起，达到综合训练目的的同时，提高学生的能力。作为教师自身还要加强对数学知识的深入研读。

2．对于学生，运用检验，提高正确率。先让学生用三位数除以整十数或一位数去检验一下得到的结果是93余6，而不是90余30。或者用“用余数一定比除数小”这一定律去检验一下，也会使学生产生认知冲突，确信上述解法是错误的。

3.使学生掌握乘、除法及有余数除法各部分间的关系，并对它们进行验算。学习这些知识的同时，也是为进一步学习解简易方程打基础的。

◆资源链接：

1.知识点回顾：余数与除数的之间的关系（余数一定要比除数小）；三位数除以整十数（一位数）的计算方法。

2.强化练习

9×60＋3＝543 30×6＋20＝200

543÷60＝（ ）……（ ） 200÷30＝（ ）……（ ）

543÷9＝（ ）……（ ） 200÷6＝（ ）……（ ）

50×7＋6＝356 70×8＋15＝575

356÷50＝（ ）……（ ） 575÷70＝（ ）……（ ）

356÷7＝（ ）……（ ） 575÷8＝（ ）……（ ）

◆大样本问卷调查结果：错误率34%

三年级下册典型错例

◆典型错题：

题 目：边长为1厘米的3个正方形的周长之和是多少？如果将它们拼成三连方图形，每个图形有几条公共边?周长减少了多少？

学生错解：1×4×3=12（厘米）答: 边长为1厘米的3个正方形的周长之和是 12厘米.

1×2=2（厘米） 答:如果将它们拼成三连方图形，每个图形有两条公共边，周长减少了2厘米。

◆原因分析

1．学生在想当然地做题目，本身空间图形观念不强的学生根本没在头脑中形成这个三连方表象,所以他们根本不能想象出1条公共边是由两条边长合并而成的。

2. 更有学生理解不深入，不通过画图等手段来帮助理解，盲目地解决问题。

3．教师在教学中没有很好地引导学生，对拼成后图形的周长和原来图形周长之和进行比较，得出规律。

◆教学建议

1．拆分演示。教师可以通过实物图形进行合拼、拆分演示，或者制作课件进行图形合拼拆分演示。让学生思考有几种拼法，有几条公共边，每条公共边是由几条边合成的。让学生感知得越多越好，在头脑中形成鲜明的表象。

2．指导画图。借助图示，让学生算出拼成后图形的周长，然后与原来图形周长之和进行比较，发展学生的空间观念，增强学生的思维能力，提高解决问题的能力。

3．对于学生，要求仔细阅读题目，提醒有阅读困难的学生必须用画图的方式弄清题意。

4. 要有一定的练习量。

◆资源链接

1.边长为2厘米的3个正方形的周长之和是多少？如果将它们拼成三连方图形，每个图形有几条公共边?周长减少了多少？

2.边长为1厘米的4个正方形拼成四连方图形，它们的周长各是多少？

◆大样本问卷调查结果：错误率45.2%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：简便计算：125×（8＋80）

学生错解：

125×（8＋80）

=125×8＋80

=1000＋80

=1080

◆原因分析

教师层面：

1．归纳过程过简过快，后进学生还没有理解含义或没有形成数学模型。

2．有的老师想出了“放羊”的点子，但是还只是停留在规律的外形中，学生只是记住了一个外壳，不明白真正含义。

学生层面：

1．不理解算式的含义。

2．没有形成乘法分配律的数学模型。

◆教学建议

首先，数学模型是要学生在应用中自己建立的，而不是老师强加的。

从理解算式的含义角度，我们尝试了多种方式：

1．利用乘法的意义：就是几个几加上几个几等于几个几。这种方式的教学对于4×25＋6×25=（4＋6）×25效果最好，但125×（8＋80）=125×8＋125×80就不是很乐观。

2．利用找公共因数：后测效果正逆准确率中等。

3．利用计算两个长方形总面积，从而通过数形结合建立模型。对于125×（8＋80）=125×8＋125×80效果较好。附教案

◆资源链接：

见附件：其中下面的练习和提问是重点

你能画出面积图解释4×（25＋12）的意思吗？4是两个长方形的公共宽，25和14都是长。

你觉得4×25＋12能求出准确的结果吗？为什么？

附件： 乘法分配律教学设计

一、面积计算，提出问题

1． 复习面积，解决问题。

（1）教师引导列式：我们上一节课刚刚学习了长方形的面积计算，谁来说说长方形面积是怎么计算的？正方形面积呢？（……）好的，我们就来试一试吧。

（大屏幕呈现长方形面积计算图）

学生尝试解决：能否用综合算式？还有没有别的方法？

板书两种方法：（a+b）是什么意思？ac+bc是什么意思？（得出哪个是指长和宽。）

师：两个长方形有什么相同的地方？等式里面是怎么体现出来的？两个方阵（点子图）呢？

在教师的提示下，学生关注到两个长方形有一条边相同（共边或说出宽相同就可以），体现在等式中，共边的长8在“＝”号左边作因数，右边也作为两个部分积中的因数；方阵中机器人的行数（每列的人数）相同，行数8在等式的左右两边都是因数。

（7＋2）×8 7×8＋2×8

＝ =

（2）学生独立用两种方法列式解决。教师出示第二个组合图，求面积。

板书两种方法。

2． 提出问题，建立联系。

师：每道题有两种解法，它们的计算结果相同，我们就说这两个算式相等（板书右边角落），可以用等号（板书两个算式之间）连接起来。看一看，等式这样写可以吗？

（7＋2）×8＝7×8＋2×8

（9＋4）×5＝9×5＋4×5

（1）同一个等式观察：自己选择一个等式，“＝”号两边部分有什么联系和区别？

学生回答这一问题时都结合了具体情境解释“＝”号两边部分的联系和区别，如：“第一个等式中左边是先求长方形的总长再求面积，右边先分别求出两个长方形的面积，再求总面积，它们求的都是扩建后的总面积，结果相等。”……

（2）想一想，这两个等式有什么共同点？同桌说一说。

学生用自己的语言表达两个等式的共同点（不全班反馈、在表达用语上不作规范要求）。括号外面的数用了两次，宽用了两次。为什么要用两次？（宽是两个小长方形的公共边。）

二、画图举例，建立模型

1．画图举例。

教师出示算式，学生自己选择或画出面积图。

你能画出面积图解释4×（25＋12）的意思吗？4是两个长方形的公共宽，25和14都是长。

如果再多写一些，我们可能还会发现更多。像这样的等式你能写吗？注意看清要求。（大屏幕呈现活动要求）

（1）写出一个这样的等式。

（2）计算等号两边算式的值，看看两边是否相等。

（3）画面积图解释等式的意思。

学生模仿例子独立写等式、计算检验、画图解释，画图时有少数学生遇到了困难，他们开始重新观察作为例子的面积图和点子图，个别学生得到了小组其他同学和老师的帮助，完成后高兴地与小组里成员作了交流。

全班汇报。学生报等式，同学们想象面积图，然后说说意思。

请1位学生报等式中“＝”号的左边部分，其他学生写出右边部分；（板书）然后请2位学生报等式中“＝”号的右边部分，其他学生写出左边部分；（板书）

你觉得4×25＋12能求出准确的结果吗？为什么？

最后教师问有没有同学一开始是写错的？是否愿意与大家共享你学习中的经验教训？将写错的拿来请其他同学改一改。说一说，为什么这样改？

2．抽象概括，建立模型。

师：观察这些等式，你发现了什么规律？

师：你们能用一个等式表示吗？你们能用字母来表示吗？（a＋b）×c＝a×c＋b×c。这叫做乘法分配律。

师：能解释一下这个等式的意思吗？

学生借助面积图和运算意义解释等式的意思。进一步认识到两个共边长方形，不论长宽是什么数据，都存在（a＋b）×c＝a×c＋b×c 这一关系，说明乘法分配律是一种普遍规律。

三、巩固深化，迁移应用

1．想一想，你还在哪里见到或用到过乘法分配律？

学生举例，如长方形周长计算等。

教师补充：其实我们早就在用乘法分配律了，可能你没有意识到，如两位数乘一位数12×4＝（10＋2）×4＝10×4＋2×4。

2．以后应用乘法分配律的地方还很多呢！我们先来试一试吧。（连线然后寻找一个对应的面积图。）

3．解答下面问题。

15×5＋20×5＝（15＋20）×5 5×3＋8×3＝（5＋8）×3

师：这些等式可以用下面的面积图来表示（大屏幕呈现面积图）。面积图的长宽数据怎么标？（学生边说教师边呈现数据）说说这些面积图与原来问题的关系？（呈现纵横轴，标上单价、数量，并解释面积就是总价）

【意图：借助数形结合的数学模型，通过现实问题、等式、面积图之间的相互转换和解释，进一步体验数学的知识方法之间、数学与现实之间广泛而深刻的联系；全课的教学中，注重让学生反复经历以“数”解释“形”、以“形”解释“数”的过程，意在牢固建立“数”“形”之间的联系，通过建立乘法分配律的多元表征，以利于知识的提取，促进知识的保持与迁移；通过回忆“哪里见到或用到过乘法分配律？”，引导学生借助新知识重新审视已经学过的知识，并借以建立知识之间的广泛联系。】

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：一条人行道长150米，宽3米。用面积9平方分米的正方形水泥砖铺地，需要多少块？

学生错解：50块

◆原因分析

1．小朋友们对于“生活原型”的表象不清楚。在访谈中发现有学生说没看见过铺地砖，所以很难理解怎么铺，用地砖的什么来铺，从而导致错误。

2．长度单位表象的建立不能很好与生活中的物体紧密联系起来。

虽然在学生头脑中对长度单位已有所感知，也建立起了分米、毫米及米和厘米的长度表象，但多数学生仅仅停留在1米、1分米、1厘米、1毫米的长度表象，遇到将这些知识运用到实际物体的长度中就缺乏了解决的策略，不能很好地与实际生活紧密结合起来。

3．单位和单位之间的关系不是很能理解，单位之间的转化能力不强。

4．审题不仔细，没看清楚边长这两个字，同时也说明边长和面积之间的最根本的区别没有掌握。

◆教学建议

1．在课堂教学中除了帮助学生建立起常用的面积单位平方米、平方分米、平方厘米和平方毫米等面积单位的表象外，我们还要多些时间让学生充分地动起来，量身边的物体，说说身边物体的面积等等，感知得越多越好，让学生多建立一些基本物品的长度概念，如：手指甲的面积约1平方厘米等等。

2．多引导学生利用心目中已建立的一些熟悉的生活原型的面积作为参照的对象，通过比划、对比、反思，学会准确运用面积单位以及理解面积单位之间的换算。

3．注重对孩子在生活中灵活运用数学知识的培养。

◆资源链接

通过学生练习我发现，学生对面积单位的换算与长度单位的换算发生混淆，对百进制和万进制的区分还很模糊。通过再次讲解发现，学生对进制关系的理解不是难点，容易出错的是，那么多单位间的换算很容易使他们判断不清了。尤其是出现像700平方分米等于多少平方厘米的问题，数比较大了，学生往往无从下手。

其实单位间的关系实质很简单，扩大一百倍或是缩小一百倍，添两个零或是减两个零。我跟学生一起总结从大单位到小单位，百进制是扩大一百倍，添两个零，从小单位到大单位是缩小一百倍，去掉两个零。此时学生就可以总结出万进制单位间怎么转换，添或减四个零。总结完毕，我让学生通过伸手指表示百进制、千进制、十进制添减几个零，调动学生思考的积极性。

学生在理解、巩固单位间的转换后，出一部分练习让他们巩固一下，可以比较好地巩固面积单位的转换这一知识点。

◆大样本问卷调查结果：错误率38.4%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：计算下列各题

67×38 85×26 49×27

学生错解：67 67

×38 ×38

536 536

201 191

737 2446

◆原因分析

1．孩子没有真正理解两位数乘两位数笔算的算理。

在个别小朋友的错误解题中，我们看到了两位数乘两位数的笔算方法和书写格式都是不正确的，之所以会发生这种错误，主要在于学生还没有完全理解透两位数乘两位数的算理。他们在做题目的时候，完全是对老师上课讲解题目时正确格式的一种记忆，一旦记忆发生模糊，他的解答过程就会发生偏差，导致其非常容易发生错误。

2．孩子的粗心、轻视计算题等心理造成学生计算的错误。

一般的孩子都能掌握算理，顺利地记忆他的书写格式和解题方法，所以在做计算题的时候，学生已成为一种惯性，不需要多动脑筋，以至于在孩子们眼中计算题是非常简单的。但是在练习中也好，考试中也好，计算题的错误率确是比较高的。究其原因，各不相同，每个孩子的错误会不同，同一个孩子的不同时间做题目的时候错误也不同，那么概括出一句话，计算题非常容易出错。而这种出错往往会被家长、老师、甚至孩子自己所忽略，心里想：不是不会做，是粗心错掉的，没有关系。所以计算题的错误率才会有增无减。

◆教学建议

1．在课堂教学中，两位数乘两位数的方法最好由学生自己探究所得。学生已经掌握了两位数乘一位数的笔算方法、两位数乘整十数的口算方法，而且学生在乘法进位的方法、笔算的顺序和数位的对齐方面已有了一定基础，所以让孩子们自己去总结概括两位数乘两位数的方法并不是很困难的事。而对于学生自己概括出来的计算方法，哪怕是错误的也应该给予重视，这些方法是学生经过思考的，代表了心里的想法，如果不予以重视，那么在以后的计算过程还会发生错误。而一部分孩子得到的方法或许并不是错误，而是两位数乘两位数最原始的计算方法，应该予以肯定，再去除其中复杂的步骤，得到我们书上要求的方法。所以课堂上得到方法的过程是非常重要的，在理解算理的基础上还要让孩子学会分析错误方法的原因。

2．平时要养成计算的好习惯。很多孩子在家长、老师的影响下，认为只要懂题目，理解题目、知道解决题目的方法，那么学习得就差不多了。所以他们要的是聪明，只要老师夸了孩子是聪明的，那么其他的都忽略掉了。其实粗心是一种很严重的毛病。在两位数乘两位数的计算过程中，我们会发现有了粗心这种毛病后，错误会毫无预见性地随时出现。所以我们要养成一种良好的计算习惯，要认识自己的缺点，引起重视，那么就会减少错误。

3.学会通过估算、验算等方法来检验题目。

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两位数乘两位数教学反思

传统的计算教学的目标只注重让学生牢记计算的法则，形成计算技能。我认为数学教学首先要关注的是“教育”，其次是“数学”。要充分利用数学知识这个“载体”，让学生通过主动参与、积极探索，在获取知识的过程中，情感、态度、价值观和学习能力得到培养和发展。因此，在确定“两位数乘两位数的笔算”的教学目标时，不应仅仅满足于让学生掌握计算法则，学会计算，而更要关注让学生主动参与算理、算法的探索过程，注重转化、建模等数学思想方法的渗透，培养学生自主学习、合作探究的能力。从而把学生的终身可持续发展作为数学教育的根本途径。

一、重组课时教学内容，扩大了学生的自由探索空间。

重组并不是把几块内容简单的相加或相减，而是要抓住“两位数乘两位数”这一基本原理和基本方法作为主线，先让学生复习以前学过的知识：“两位数乘一位数24*5”和“两位数乘两位数的口算24*10”，通过这样的学习，使学生对于两位数乘两位数乘法所要用的知识作了很好的铺垫，在这些旧知识的基础上去学习新知识，使学生很容易接受。在此教师在要求学生计算24*12，这时学生就很容易的用各种方法进行计算。同时我觉得在此设计了让学生看书自学或让同桌帮助，这都是很好的形式，给了学生自由探索的空间和时间。在接下去又安排了23*13，使学生很容易就发现第三、四种方法具有局限性。由此，自然的引入到“笔算”中来，再让学生探索笔算的具体方法以及与以前学习过的方法的关系，使学生很容易就理解了笔算的算理和计算法则。整节课与原教材比较，内容增加了不少，但并没有因此加重学生的负担，而且使学生学得更轻松。

二、提倡算法的多样化，促进学生个性的发展。

算法多样化是问题解决策略多样化的一种重要思想，它是培养学生创新意识的基础。新课标指出：笔算教学不应仅限于竖式计算，应鼓励学生探索和运用不同的方法计算。学生的个性差异是客观存在的，对同一道计算问题，由于学生的生活经验、认知水平和认知风格存在着差异，常常会出现不同的计算方法和解题策略，这正是学生具有的不同个性的体现。在本节课教学24*12时，放手让学生试算，学生出现了多种不同的计算方法，又根据口算的方法来计算的；有把因数拆成两个一位数，利用以前学过的知识来计算的；有直接列竖式进行计算的；在学生独立思考解决的基础上，再让学生发表自己的观点，倾听同学的解法，进行小组内交流，这样的教学，有利于培养学生独立思考问题和创新能力。有利于学生间的数学交流。而且在解决问题的过程中，使每一个学生都获得了成功的愉悦，使不同的人学到了不同的数学。同时在这堂课中也让学生进行了估算的练习，因为这是我们平常生活中最有用的方法。在计算教学中，我们教师同样需要注意尊重学生的个性，因材施教，使每个学生在原有的基础上的必要的发展。提倡计算方法多样化，是计算教学中实施因材施教的有效途径。

三、计算关注的不应仅仅是计算。

本节课的教学，跳出了认知技能的框框，不把法则的得出，技能的形成作为唯一目标，而更关注学生的学习过程，让学生在自身实践探索的过程中实现发展性领域目标。如在教学24*12时，给学生提供自主学习的机会，给学生充分思考的空间和时间，允许并鼓励他们有不同的算法，尊重他们的想法，哪怕是不合理，甚至是错误的，让他们在相互交流、碰撞、讨论中，进一步明确算理。在相互的交流中感受计算方法的灵活，比较各种方法的优缺点，掌握两位数乘两位数笔算得算理算法。体验知识的活的过程和积累过程。这样的计算教学，学生获得的不仅仅是计算法则和计算方法。

◆大样本问卷调查结果：错误率20.8%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：根据图形算出各图形表示的数量。

45×☆＋200＝380

学生错解：（1）45×☆＋200＝380 （2）45×☆＋200＝380

☆=380-200 ☆=（380-200）×45

=180÷45 =180×45

=4 =8100

◆原因分析

1．孩子没有弄明白等式的意义。在第一种错误里，我们发现上下之间并不能用等号连接。出现这种错误的孩子对于等式意义的理解肯定是不够的。除此，不能忽略的是他知道了解题的方法，却不知道用这种方法的原因，是一种死搬硬套的结果。

2．题目的难度，是学生完全无知。这种类似的题目在我们看来就是以前的解方程，而且不是最简单的普通方程，而是要经过转折的方程。在我小时候的记忆中，老师是这样教我们的，有未知数的放在左边，已知数移到右边。移的时候加变减，减变加等等。显然这种方法已经不适合在教我们现在的孩子了。可是要让孩子们理解，确实也不是件简单的事。很多小朋友听的时候懂，自己做的时候又犯糊涂了。

◆教学建议

1．课堂教学前的准备工作非常重要。包括数与数之间的关系，一年级学过的简单的类似4+@=9 @=5.要重新复习一下。数与数之间的关系包括：加数＝和－另一个加数，被减数＝减数＋差，减数＝被减数－差。乘数＝积÷另一个乘数，被除数＝除数×商，除数＝被除数÷商。对学生的要求应该是非常熟练，并且要知道为什么会有着一些关系。

2．不能对孩子要求过高，可以不要求孩子一下子把综合算式列出来，可以慢慢地让孩子做类似于这样的题目：3×★＋5＝26

3×★＝□○□

★＝□○□

★＝□

这样做不仅能够提高正确率，还能增强孩子学数学的信心。等到孩子们做熟练以后自然而然会列综合算式，也能明白其中的意义了。

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对比练习：

（●－12）×4＝68 6×（☆＋24）＝180

●－12×4＝68 6×☆＋24＝180

◆大样本问卷调查结果：错误率16.6%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：已知2010年1月1日是星期五，请你推算。

2010年的六一儿童节是星期几？

学生错解：六一儿童节星四或星期六居多，其他答案也很多

◆原因分析

1.题目的意思不理解，根本不知道从哪里下手。

2.知道该用时间差除以7算出有几个星期多几天，但是相差多少时间算不准确。这里面又包括好几种情况，其一是在算第一个月时不知道该算几天。其二是最后一个月的时间算不清楚。归根结底还是不理解其中的重要点。

3.算出了几个星期多几天，但是最后一步推算星期几的时候就下不了手了。

◆教学建议

1.理清楚解决这种类型题目的关键。其一，应该算出相隔多少时间。这里分为两种情况，第一是告诉我们的那一天算进去，第二是告诉我们的那一天不算进去，这两种方法都可以，只是涉及到最后一步推算日子的时候注意一些既可。其二是必须算出几个星期多几天。为什么要算出几个星期呢，这个原因必须仔细地解释，有些同学虽然知道除以7，但他不知道为什么要除以7，所以可以设置几个口答题：如今天是星期五，一星期后是星期几，两星期后是星期几，57星期后是星期几，这时候孩子们就会恍然大悟。

2.学会推算。这一步的关键点和上一步是息息相关的，原因在于告诉我们的那一天是否算进去，然后指导他们进行推算。

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角色定位，整体把握──数学活动课“星期的推算”教学反思

1．角色扮演，软化知识。刘士秋校长在谈整体建构和谐教学法的具体做法和效果时，第一条就是“课堂教学首先要讲究有效性”。星期的推算，是时间教学中的硬骨头。怎样软化这块内容，利于学生的消化吸收？日期虽然与学生朝夕相伴，但学生注意的是其中的一天，没有整体观念。因此这类问题对小学生而言是抽象的、难以理解的。如何让学生看见“森林”？我想到了用木组林，调动学生的想象力，以林创森。把班级的每一位学生转变为具体的某月某天，即个人看为木，集体为林。学生在小圈子里体验周期的变化规律，然后扩展。事实证明，学生担任角色后，责任感强，学习体验深刻，学习状态投入，学习效果显著。

2．适时点拨，感悟知识。整体建构和谐教学法认为：“一旦问题有了变化，学生往往会束手无策，这是因为他们缺少隐性通用工具──解决某一类问题的一种思维方式或方法。”当学生的感性认识到一定程度时，教师可以通过恰当的问题提升学生的认知水平，从知识的层面过渡到方法的层面上来。如：当学生发现2月18日星期六，2月25日、2月11日、2月4日、3月4日、3月11日也是星期六时，相邻之间相差7已突现出来。“为什么是7的倍数而不是8、9等其它数的倍数呢？”在星期的推算中，7无疑是个头等重要的数据。抓住了7就等于成功的一半。此问的设计解释了学生心中的疑惑。加速了“用日期差除以7”这个方法的浮现。

3．精心设计，层层深入。在此难点突破的设计中，我采用从形象──抽象，从能被7整除的日期差──不能被7整除的日期差，从独立思索──小组讨论，从实践──概括，从概括──验证。通过一系列活动的开展，以问题为导向，引导学生掌握方法，形成能力。如引导学生掌握方法的几个问题设计：

（1）和指定日子星期相同，它们的差有什么规律？

（2）如果它们的日期差不是7的倍数它的星期数怎样推算？

（3）怎样判断某一天是星期几？在整个教学过程中始终是教师用“暗线”控制引导“明线”。通过教师的引导“知识线”让学生掌握了知识，“方法线”让学生形成了能力，老师的教法转化为学生的学法。

4．推荐作业，调动潜能。刘士秋校长在整体建构和谐教学法符合心理学观点一节中讲了高斯的故事。老师在无意识当中，把一道有两千年历史的数学难题交给了高斯，高斯用一个晚上的时间解答出来。在得知真相后，高斯说：“如果有人告诉我，这是一道有两千年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。”这说明人的潜能是巨大的，在没有任何限制时，可以有意想不到的发展。我在拓展教学时，尽可能给学生最大的弹性空间，使学生自由自在地发展。播种希望，收获惊喜。

整体建构教学法提倡从整体入手，研究和处理对象。时间的规律从整体把握，规律一目了然，分割就零乱无绪。学生感到星期推算很难，原因就是只见树木，不见森林。采用角色扮演、定位，成功地把学生的注意力从部分转移到整体。整体关注，学生轻易地找到解决问题的方法。角色定位，整体把握──数学活动课“星期的推算”教学反思这一教案。

◆大样本问卷调查结果：错误率56.7%%

三年级下册典型错例

◆典型错题

题 目：一辆洒水车每分钟行驶48米，洒水宽度是6米，洒水车行驶4分钟，被洒水的地面面积有多少平方米？

错 解：

1．48÷6×4=32平方米 （5人）

2．48÷4×6=72平方米 （3）

3．48×4=96平方米 （2人）

4．48×4×（4×6）=4608平方米 （2人）

5．计算错误 （2人）

◆原因分析

1．题目情境远离学生的生活实际，导致学生不理解题意，是造成学生错误的前提。虽然洒水车学生平时也见过，但很少去留意洒水留下的痕迹是一个面，因此学生不懂“洒水宽度”的词意，从而造成学生题意理解的“断层”，错误解法因此产生。

2．学生本人的解题习惯、思维不缜密是导致本题错误的直接原因。

（1）碰到不懂题意，学生不会主动地通过回忆生活经验、反复读题等方法主动寻求理解题意、正确解题的方法，而是不求甚解、囫囵吞枣地做了完事。

（2）没有仔细审题的习惯，根据数字判断算法，看到数字48、6就惯用除法计算。

◆教学建议

1．情境演示，理解题意。学生读题后让生提出不懂之处，教师用实物替代实际情境进行演示，在此基础上，根据题意画出简图：帮助学生理解题意“作业宽度”与洒水车行驶后留下的“痕迹”是一个“面”而非一条“线”，洒水车每分钟行驶所洒水的面积是48×6平方米，行驶4分钟就有4个这样的48×6平方米的面积。

2．方法指导，举一反三。碰到类似不懂题意的题目，首先要通过回忆、联想等方法与自己的生活实际相联系，并通过画图等方法把题意表达出来，这样可以降低题意不解程度，达到理解题意甚至顺利答题。

◆资源链接

1.小朋友打扫教室卫生，扫帚的宽度是4分米，小红每分钟打扫80分米,5分钟能打扫多少平方分米？

2.打印机每分钟能打印10张纸，每张纸有10行字，每行约35个字，打印机每分钟能打印多少个字？

◆大样本问卷调查结果：错误率24.5%

2019年部编版小学数学三年级下册全册易错题大全