课时作业(十四)

1．下列各表中可作为随机变量X的分布列的是(　　)

A.

　B.

C.

　D.

答案　D

解析　由pi≥0知B错误，又i＝1，验证知D正确．

2．若随机变量X的分布列为下表，则a的值为(　　)

A.1　　　　　　　　　 B.

C. D.

答案　D

解析　由分布列性质，有＋＋＋a＝1，得a＝.

3．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)等于(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B.

C. D.

答案　D

解析　设失败率为p，则成功率为2p，分布列为

由p＋2p＝1，得p＝，∴2p＝.

4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P(<ξ<)等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　由<ξ<知ξ＝1,2.

P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，

∴P(<ξ<)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.

5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值为(　　)

A．1 B.

C. D.

答案　D

解析　由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得(＋＋)a＝1，∴a＝.

6．随机变量η的分布列如下：

则①x＝________；②P(η>3)＝________；

③P(1<η≤4)＝________.

答案　①0　②0.45　③0.45

7．设随机变量ξ的可能取值为5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.

答案　　

8．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为

答案　　　

9．随机变量ξ的分布列为：

则ξ为奇数的概率为________．

答案　

解析　P(ξ为奇数)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝＝.

10．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．

解析　本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．

设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.

所以ξ的分布列为

11．已知随机变量ξ只能取三个值：x1、x2、x3，其概率依次成等差数列，求公差d的取值范围．

解析　设ξ的分布列为

由离散型随机变量分布列的基本性质知：

解得－≤d≤.

12．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．

解析　若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．

由公式得P(X＝4)＝＝.

所以获一等奖的概率为.

13．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X表示得分数，求X的概率分布列．

解析　由题意知，ξ的可能取值是0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝.

故X的概率分布列为

14.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．

解析　以ξ表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ是一个随机变量，由题设ξ可能取的数值是0,1,2,3.

当ξ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为P(ξ＝0)＝＝；

当ξ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为P(ξ＝1)＝·＝；

当ξ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为P(ξ＝2)＝··＝；

当ξ＝3时，即第一、二、三次都取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为P(ξ＝3)＝···＝.

所以ξ的分布列为

►重点班选做题

15．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

16．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若Y表示经销一件该商品的利润，求Y的分布列．

解析　依题意，Y的可能取值为200,250,300.则

P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，

P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，

P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.

所以随机变量Y的分布列为

1．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.8，若命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．

解析　X的取值为1,2,3,4,5.

当X＝1时，即第一枪就中了，故P(X＝1)＝0.8；当X＝2时，即第一枪未中，第二枪中了，故P(X＝2)＝0.2×0.8＝0.16；同理，P(X＝3)＝0.22×0.8＝0.032；P(X＝4)＝0.23×0.8＝0.006 4；P(X＝5)＝0.24＝0.001 6.

则耗用子弹ξ的分布列为：

2.数字1,2,3,4任意排成一排，若数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数ξ的分布列．

解析　ξ取值为0,1,2,3,4.ξ＝0，没有巧合，若1—2—3—4为四个数都巧合，则没有一个巧合的情况有以下几种：

所以P(ξ＝0)＝＝＝；

ξ＝1，只有一个巧合，P(ξ＝1)＝＝；

ξ＝2，只有两个巧合，P(ξ＝2)＝＝；

ξ＝3，只有三个巧合，不存在，P(ξ＝3)＝0；

ξ＝4，四个数位置都巧合， P(ξ＝4)＝＝.

所以ξ的分布列为

3.将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为ξ，求ξ的分布列．

解析　明确题意，搞清杯子中球的最多个数的可能值，再由此求出相应的概率．

依题意可知，杯子中球的最多个数ξ的所有可能值为1,2,3.当ξ＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当ξ＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形，当ξ＝3时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形．

∴当ξ＝1时，P(ξ)＝＝；

当ξ＝2时，P(ξ)＝＝；

当ξ＝3时，P(ξ)＝＝.

可得ξ的分布列为

4.2013年6月，某地有A、B、C、D四人先后感染了H7N9禽流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．

解析　随机变量X的分布列是

《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业14