中考数学模拟试卷

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　）

A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0

2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（　　）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3

4．计算：＝（　　）

A．1 B．2 C．1+ D．

5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则它的另外两个角的度数为（　　）

A．70°，70° B．40°，70°

C．100°，40° D．70°，70°或100°，40

6．面试时，某应聘者的学历、经验和工作态度的得分分别是70分、80分、60分，若依次按照1：2：2的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是（　　）

A．60分 B．70分 C．80分 D．90分

7．一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论：①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为　 　．

10．已知m＞6，则关于x的不等式（6﹣m）x＜m﹣6的解集为　 　

11．如果点（m，﹣2m）在双曲线上，那么双曲线在　 　象限．

12．如图，在圆O中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB的长为　 　．

13．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是　 　．

14．如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4km，则BC＝　 　km．

15．如图，已知圆锥的母线SA的长为4，底面半径OA的长为2，则圆锥的侧面积等于　 　．

16．一次函数y＝kx﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是　 　．

三．解答题（共4小题，满分39分）

17．（9分）计算：

（1）﹣+

（2）（﹣）（+）+（﹣1）2

18．（9分）解方程：x2﹣5x+3＝0．

19．（9分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF．

20．（12分）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少？

（3）若该校九年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？

四．解答题（共3小题，满分28分）

21．（9分）松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．

（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？

（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．

22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于点A（m，6）和点B（﹣3，n），直线AB与y轴交于点C．

（1）求直线AB的表达式；

（2）求AC：CB的值．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠PCA＝∠B．

（1）求证：PC与⊙O相切；

（2）若PA＝4，⊙O的半径为6，求BC的长．

五．解答题（共3小题，满分35分）

24．（11分）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；

（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

25．（12分）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，若tan∠AEF＝

（1）求证：△AEF∽△BGE；

（2）求△EBG的周长．

26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　）

A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0

【分析】由条件可知a是绝对值等于本身的数，可知a为0或正数，可得出答案．

【解答】解：∵|a|＝a，

∴a为绝对值等于本身的数，

∴a≥0，

故选：C．

【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有0和正数（即非负数）是解题的关键．

2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（　　）

A． B．

C． D．

【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可．

【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，

∴此几何体为柱体，

∵俯视图是一个圆，

∴此几何体为圆柱，

因此图A是圆柱的展开图．

故选：A．

【点评】此题由三视图判断几何体，用到的知识点为：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．

3．下列计算正确的是（　　）

A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．（2a2）3＝6a6 D．a6÷a2＝a3

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；

B、a3•a2＝a5，正确；

C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；

D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

4．计算：＝（　　）

A．1 B．2 C．1+ D．

【分析】按同分母分式的减法法则计算即可．

【解答】解：法一、

＝

＝

＝1．

故选：A．

法二、

＝+﹣

＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了分式的减法．掌握同分母分式的减法法则是解决本题的关键．

5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则它的另外两个角的度数为（　　）

A．70°，70° B．40°，70°

C．100°，40° D．70°，70°或100°，40

【分析】已知给出了一个内角是40°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

【解答】解：分情况讨论：

（1）若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；

（2）若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．

故选：D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

6．面试时，某应聘者的学历、经验和工作态度的得分分别是70分、80分、60分，若依次按照1：2：2的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是（　　）

A．60分 B．70分 C．80分 D．90分

【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法可以解答本题．

【解答】解：70×+80×+60×

＝14+32+24

＝70（分），

故选：B．

【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．

7．一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的2个红球和1个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的有1种情况，

∴两次都摸到黑球的概率是，

故选：C．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

8．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论：①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④

【分析】根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案．

【解答】解：①∵∠1＝∠2＝22.5°，

又∵AD是高，

∴∠2+∠C＝∠3+∠C，

∴∠1＝∠3，

②∵∠1＝∠2＝22.5°，

∴∠ABD＝∠BAD，

∴AD＝BD，

又∵∠2＝∠3，∠ADB＝∠ADC，

∴△BDH≌△ADC，

∴DH＝CD，

∵AB＝BC，

∴BD+DH＝AB，

③无法证明，

④可以证明，

故选：C．

【点评】本题主要考查了角平分线、高、等腰直角三角形的性质，比较综合，难度适中．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中x的值为　﹣5　．

【分析】根据题意得出x+2+2x+10＝﹣2+（﹣1）+（2x+10），进而求出答案．

【解答】解：由题意可得：x+2+2x+10＝﹣2+（﹣1）+（2x+10），

整理得：3x+12＝2x+7，

解得：x＝﹣5，

故答案为：﹣5．

【点评】此题主要考查了有理数的加法，正确得出关于x的等式是解题关键．

10．已知m＞6，则关于x的不等式（6﹣m）x＜m﹣6的解集为　x＞﹣1　

【分析】根据题意判断出6﹣m的正负，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵m＞6，

∴6﹣m＜0，

不等式解集为x＞﹣1，

故答案为：x＞﹣1

【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．如果点（m，﹣2m）在双曲线上，那么双曲线在　第二、四　象限．

【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k可得k＝﹣2m2＜0，根据反比例函数的性质可得答案．

【解答】解：∵点（m，﹣2m）在双曲线（k≠0）上，

∴m•（﹣2m）＝k，

解得：k＝﹣2m2，

∵﹣2m2＜0，

∴双曲线在第二、四象限．

故答案为：第二、四．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及反比例函数的性质，关键是掌握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．

12．如图，在圆O中有折线ABCO，BC＝6，CO＝4，∠B＝∠C＝60°，则弦AB的长为　10　．

【分析】作OD⊥AB垂足为D，利用垂径定理得AB＝2BD，作OE∥AB交BC于E，构造等边△COE，过E点作EF⊥AB，垂足为F，得Rt△BEF，而∠B＝60°，可得BF＝BE，再根据BD＝BF+DF求BD．

【解答】解：如图，作OD⊥AB垂足为D，OE∥AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，

∵OE∥AB，

∴△COE为等边三角形，

∴OE＝CE＝OC＝4，

∵OD⊥AB，EF⊥AB，

∴DF＝OE＝4，BE＝BC﹣CE＝2，

在Rt△BEF中，∵∠B＝60°，

∴BF＝BE＝1，

∴BD＝BF+DF＝1+4＝5，

由垂径定理，得AB＝2BD＝10．

故答案为：10

【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质．关键是通过作辅助线，得出等边三角形，30°的直角三角形，利用垂径定理求AB．

13．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是　＜a＜或﹣4＜a＜﹣3　．

【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．

【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），

∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，

∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．

∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且3＜m＜4，

∴当a＞0时，3＜＜4，解得＜a＜；

当a＜0时，3＜﹣a＜4，解得﹣4＜a＜﹣3．

故答案为：＜a＜或﹣4＜a＜﹣3．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，关键是在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．

14．如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4km，则BC＝　2　km．

【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长．

【解答】解：作CD⊥AB于点B．

∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，

∴CD＝AC•sin∠CAD＝4×＝2（km），

∵Rt△BCD中，∠CBD＝90°，

∴BC＝CD＝2（km），

故答案是：2．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得BC的长是关键．

15．如图，已知圆锥的母线SA的长为4，底面半径OA的长为2，则圆锥的侧面积等于　8π　．

【分析】圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可．

【解答】解：侧面积＝4×4π÷2＝8π．

故答案为8π．

【点评】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面积的计算可以转化为扇形的面积的计算，理解圆锥与展开图之间的关系．

16．一次函数y＝kx﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是　k＜0　．

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，利用一次函数的性质可知：当一次函数的系数小于零时，一次函数的函数值y随着自变量x的增大而减小，即可得到答案．

【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2，y随x的增大而减小，

所以一次函数的系数k＜0，

故答案为：k＜0．

【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，正确记忆一次函数的性质是解题关键．

三．解答题（共4小题，满分39分）

17．（9分）计算：

（1）﹣+

（2）（﹣）（+）+（﹣1）2

【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；

（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．

【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；

（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

18．（9分）解方程：x2﹣5x+3＝0．

【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．

【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，

∵△＝25﹣12＝13，

∴x＝，

则x1＝，x2＝．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，然后当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解．

19．（9分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF．

【分析】由AE与CF平行，得到一对内错角相等，可得出领补角相等，由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行且相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

∵AE∥CF，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴∠AED＝∠CFB，

∴△ADE≌△CBF，

∴AE＝CF．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

20．（12分）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少？

（3）若该校九年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？

【分析】（1）根据A等人数为10人，占扇形图的20%，求出总人数，可以得出D的人数，即可画出条形统计图；

（2）根据D的人数即可得出所占百分比，进而得出所在的扇形的圆心角度数；

（3）利用总体人数与A组所占比例即可得出A级学生人数．

【解答】解：（1）总人数是：10÷20%＝50，

则D级的人数是：50﹣10﹣23﹣12＝5．

条形统计图补充如下：

；

（2）D级的学生人数占全班学生人数的百分比是：1﹣46%﹣20%﹣24%＝10%；

D级所在的扇形的圆心角度数是360×10%＝36°；

（3）∵A级所占的百分比为20%，

∴A级的人数为：600×20%＝120（人）．

【点评】此题主要考查了条形图的应用以及用样本估计总体和扇形图统计图的应用，利用图形获取正确信息以及扇形图与条形图相结合是解决问题的关键．

四．解答题（共3小题，满分28分）

21．（9分）松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．

（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？

（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．

【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率及总费用＝每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论．

【解答】解：（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，

根据题意得：﹣＝10，

解得：x＝16，

经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝24．

答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．

（2）甲车主单独完成所需时间为480÷16＝30（天），

乙车主单独完成所需时间为480÷24＝20（天），

甲、乙两车主合作完成所需时间为480÷（16+24）＝12（天），

甲车主单独完成所需费用为30×（800+200）＝30000（元），

乙车主单独完成所需费用为20×（1200+200）＝28000（元），

甲、乙两车主合作完成所需费用为12×（800+1200+200）＝26400（元）．

∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12，

∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用．

22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于点A（m，6）和点B（﹣3，n），直线AB与y轴交于点C．

（1）求直线AB的表达式；

（2）求AC：CB的值．

【分析】（1）根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；

（2）作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．

【解答】解：（1）∵点A（m，6）和点B（﹣3，n）在双曲线，

∴6m＝6，﹣3n＝6，

m＝1，n＝﹣2．

∴点A（1，6），点B（﹣3，﹣2）．…（2分）

将点A、B代入直线y＝kx+b，

得，

解得 …（4分）

∴直线AB的表达式为：y＝2x+4．…（5分）

（2）分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N．…（6分）

则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM＝1，BN＝3，…（7分）

∴AM∥BN，…（8分）

∴．…（10分）

【点评】本题是一次函数和反比例函数的综合问题，考查了反比例函数和一次函数的交点问题，将点的坐标代入解析式中可得交点坐标，对于交点问题：可利用方程组的解来求两函数的交点坐标；本题还考查了平行线分线段成比例定理．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠PCA＝∠B．

（1）求证：PC与⊙O相切；

（2）若PA＝4，⊙O的半径为6，求BC的长．

【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得∠2+∠3＝90°，再证明∠1＝∠3，则∠1+∠2＝90°，然后根据切线的判定定理可得到PC与⊙O相切；

（2）先利用勾股定理得到PC＝8，再证明△PAC∽△PCB，利用相似比得＝，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理得到BC2+BC2＝122，从而解BC的方程即可．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即∠2+∠3＝90°，

∵∠1＝∠B，∠3＝∠B，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝90°，即∠PCO＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC与⊙O相切；

（2）解：在Rt△POC中，PC＝＝＝8，

∵∠CPA＝∠BPC，∠1＝∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴＝＝＝，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，

∴BC2+BC2＝122，

∴BC＝．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．

五．解答题（共3小题，满分35分）

24．（11分）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；

（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

【分析】（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM＝，EM＝EA＝a﹣x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，这样DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它们的比值了；

（2）△CMG的周长与点M的位置无关．设CM＝x，DE＝y，则DM＝2a﹣x，EM＝2a﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4ax﹣x2＝4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关．

【解答】（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM＝，EM＝EA＝a﹣x

在Rt△DEM中，∠D＝90°，

∴DE2+DM2＝EM2

x2+（）2＝（a﹣x）2

x＝

EM＝

DE：DM：EM＝3：4：5；

（2）解：△CMG的周长与点M的位置无关．

证明：设CM＝x，DE＝y，则DM＝2a﹣x，EM＝2a﹣y，

∵∠EMG＝90°，

∴∠DME+∠CMG＝90度．

∵∠DME+∠DEM＝90°，

∴∠DEM＝∠CMG，

又∵∠D＝∠C＝90°△DEM∽△CMG，

∴即

∴CG＝

△CMG的周长为CM+CG+MG＝

在Rt△DEM中，DM2+DE2＝EM2

即（2a﹣x）2+y2＝（2a﹣y）2

整理得4ax﹣x2＝4ay

∴CM+MG+CG＝＝＝4a．

所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．

【点评】正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．

25．（12分）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，若tan∠AEF＝

（1）求证：△AEF∽△BGE；

（2）求△EBG的周长．

【分析】（1）根据同交的余角相等证明∠AFE＝∠BEG，则可以根据两角对应相等的两个三角形相似即可证得；

（2）根据tan∠AEF＝可得AF：AE＝3：4，则设AF＝3x，AE＝4x，则EF＝DF＝5x，根据AD＝6即可求得x的值．则BE即可求得，然后根据△AEF∽△BGE，求得△EBG的边长，从而求解．

【解答】解：（1）由折叠可知：∠FEQ＝∠D＝90°，EF＝DF

∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠BEG＝90°

∴∠AFE＝∠BEG，

又∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AEF∽△BGE；

（2）在Rt△AEF 中，tan∠AEF＝

∴AF：AE＝3：4

设AF＝3x，AE＝4x，则EF＝DF＝5x

∴3x+5x＝6

∴

∴AF＝，AE＝3，EF＝．

∵△AEF∽△BGE，

∴即，

∴BG＝4，GE＝5．

∴△EBG的周长为3+4+5＝12．

【点评】本题考查了图形的折叠与相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，正确求得x的值是本题的关键．

26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；

设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），

将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，

EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点Q的坐标为（﹣2，0），

∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．

∵﹣＜0，

∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．

（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

∴点N的坐标为（0，3）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．

∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此时△ANM周长取最小值．

当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，

∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），

∴AC＝＝3，AN＝＝，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

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