[6套合集]湖南衡阳市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
发布时间：2019-10-21 13:33:14
中学自主招生数学试卷
一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．
C．
D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
word/media/image5_1.pngA．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
word/media/image7_1.pngA．
word/media/image8_1.pngB．
word/media/image9_1.pngC．
word/media/image10_1.pngD．
word/media/image11_1.png
7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°
8. 不等式组415d279c0a4b3d3ac65e55dac8dc6ad4.png
word/media/image13_1.pngA．
B．
C．
D．
9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
word/media/image18_1.pngA．
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
90e0ed137535e1a0d92e3d52417f4393.png
c5b00ff0397fe3fbc0ae388572056b03.png
9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png
10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+c3a76645feb54f903045c3d67c0ad417.png
word/media/image26_1.png12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .
word/media/image27_1.png
word/media/image28_1.png
13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .
14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简80dbeaf4593d54a71481640e54a24db2.png
3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
word/media/image34_1.png18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=91a24814efa2661939c57367281c819c.png
44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png
19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：91a24814efa2661939c57367281c819c.png
20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.
21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.
22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
word/media/image42_1.png(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线时,直接写出DG的长度.
23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)， D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t秒.
①如图1所示,过点P作PE⊥AB交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G,点G关于抛物线对称轴的对称点为H,求当t为何值时,△HAC的面积为16；
word/media/image43_1.png②如图2所示,连接EQ,过Q作QM⊥AC于M,在点P、Q运动的过程中，是否存在某个t,使得∠QEM=
2∠QCE,若存在请直接写出相应的t值,若不存在说明理由.
参考答案
一、选择题(3分×10=30分)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题(3分×5=15分)
11.-2 12.80° 13.m≥1 14.3- c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png
6ac66e0e6d55cbb80278f8bca8e8a378.png
79ec9eed9bc898e4b849f4910301d832.png
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16.解：7517c0f816b93ff74d6de621709f184d.png
408d472c721155b4b4996ce6924f4f1c.png
fca4ef72e51f059510fed37f3075711f.png
3ba81765669ab9dbb1f6f0a1efac732d.png
当x=1时，原式=
8302edfdae0215b69c4d70218dfc6d63.png
17. 解：（1）（6+4）÷50%=20．
所以王老师一共调查了20名学生，
故答案为：20；
（2）C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5-2=3（名），D类学生占的百分比：
1-15%-50%-25%=10%，D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2-1=1（名），ec671ad56fde5558c3928c6291c2bf8c.png
故答案为：3；36°；补充条形统计图如图.
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）=
5c6f63ef25d65837ed51b6120b543d77.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
18.（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为3af39eb43ed5bfd563d5cdba3f92ec50.png
1eb387325f72f04071507855a64a6574.png
(2)①60°；②8a10fcea10bd1d006360c4c48569420f.png
19.解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°= 4f0c01ab58bd5c0358f104de59ed614f.png
在直角三角形ABF中，sin60°=112b31c54db8c7f73cd48fd1a3e98d11.png
7f8cbe175e6a57b22186c1a773d2d8c9.png
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+2091a24814efa2661939c57367281c819c.png
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
20. 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y=3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
∴n=49a8c19dda347a0527518c54c0a50e3b.png
中学自主招生数学试卷
一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．
C．
D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
word/media/image5_1.pngA．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
word/media/image7_1.pngA．
word/media/image8_1.pngB．
word/media/image9_1.pngC．
word/media/image10_1.pngD．
word/media/image11_1.png
7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°
8. 不等式组415d279c0a4b3d3ac65e55dac8dc6ad4.png
word/media/image13_1.pngA．
B．
C．
D．
9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
word/media/image18_1.pngA．
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
90e0ed137535e1a0d92e3d52417f4393.png
c5b00ff0397fe3fbc0ae388572056b03.png
9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png
10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+c3a76645feb54f903045c3d67c0ad417.png
word/media/image26_1.png12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .
word/media/image27_1.png
word/media/image28_1.png
13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .
14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简80dbeaf4593d54a71481640e54a24db2.png
3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
word/media/image34_1.png18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=91a24814efa2661939c57367281c819c.png
44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png
19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：91a24814efa2661939c57367281c819c.png
20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.
21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.
22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
word/media/image42_1.png(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线时,直接写出DG的长度.
23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)， D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t秒.
①如图1所示,过点P作PE⊥AB交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G,点G关于抛物线对称轴的对称点为H,求当t为何值时,△HAC的面积为16；
word/media/image43_1.png②如图2所示,连接EQ,过Q作QM⊥AC于M,在点P、Q运动的过程中，是否存在某个t,使得∠QEM=
2∠QCE,若存在请直接写出相应的t值,若不存在说明理由.
参考答案
一、选择题(3分×10=30分)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题(3分×5=15分)
11.-2 12.80° 13.m≥1 14.3- c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png
6ac66e0e6d55cbb80278f8bca8e8a378.png
79ec9eed9bc898e4b849f4910301d832.png
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16.解：7517c0f816b93ff74d6de621709f184d.png
408d472c721155b4b4996ce6924f4f1c.png
fca4ef72e51f059510fed37f3075711f.png
3ba81765669ab9dbb1f6f0a1efac732d.png
当x=1时，原式=
8302edfdae0215b69c4d70218dfc6d63.png
17. 解：（1）（6+4）÷50%=20．
所以王老师一共调查了20名学生，
故答案为：20；
（2）C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5-2=3（名），D类学生占的百分比：
1-15%-50%-25%=10%，D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2-1=1（名），ec671ad56fde5558c3928c6291c2bf8c.png
故答案为：3；36°；补充条形统计图如图.
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）=
5c6f63ef25d65837ed51b6120b543d77.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
18.（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为3af39eb43ed5bfd563d5cdba3f92ec50.png
1eb387325f72f04071507855a64a6574.png
(2)①60°；②8a10fcea10bd1d006360c4c48569420f.png
19.解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°= 4f0c01ab58bd5c0358f104de59ed614f.png
在直角三角形ABF中，sin60°=112b31c54db8c7f73cd48fd1a3e98d11.png
7f8cbe175e6a57b22186c1a773d2d8c9.png
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+2091a24814efa2661939c57367281c819c.png
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
20. 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y=3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
∴n=49a8c19dda347a0527518c54c0a50e3b.png
中学自主招生数学试卷
一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．
C．
D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
word/media/image5_1.pngA．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
word/media/image7_1.pngA．
word/media/image8_1.pngB．
word/media/image9_1.pngC．
word/media/image10_1.pngD．
word/media/image11_1.png
7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°
8. 不等式组415d279c0a4b3d3ac65e55dac8dc6ad4.png
word/media/image13_1.pngA．
B．
C．
D．
9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
word/media/image18_1.pngA．
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
90e0ed137535e1a0d92e3d52417f4393.png
c5b00ff0397fe3fbc0ae388572056b03.png
9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png
10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+c3a76645feb54f903045c3d67c0ad417.png
word/media/image26_1.png12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .
word/media/image27_1.png
word/media/image28_1.png
13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .
14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简80dbeaf4593d54a71481640e54a24db2.png
3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png
17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
word/media/image34_1.png18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=91a24814efa2661939c57367281c819c.png
44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png
19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：91a24814efa2661939c57367281c819c.png
20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=
e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.
21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.
22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
word/media/image42_1.png(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线时,直接写出DG的长度.
23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)， D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t秒.
①如图1所示,过点P作PE⊥AB交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G,点G关于抛物线对称轴的对称点为H,求当t为何值时,△HAC的面积为16；
word/media/image43_1.png②如图2所示,连接EQ,过Q作QM⊥AC于M,在点P、Q运动的过程中，是否存在某个t,使得∠QEM=
2∠QCE,若存在请直接写出相应的t值,若不存在说明理由.
参考答案
一、选择题(3分×10=30分)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题(3分×5=15分)
11.-2 12.80° 13.m≥1 14.3- c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png
6ac66e0e6d55cbb80278f8bca8e8a378.png
79ec9eed9bc898e4b849f4910301d832.png
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16.解：7517c0f816b93ff74d6de621709f184d.png
408d472c721155b4b4996ce6924f4f1c.png
fca4ef72e51f059510fed37f3075711f.png
3ba81765669ab9dbb1f6f0a1efac732d.png
当x=1时，原式=
8302edfdae0215b69c4d70218dfc6d63.png
17. 解：（1）（6+4）÷50%=20．
所以王老师一共调查了20名学生，
故答案为：20；
（2）C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5-2=3（名），D类学生占的百分比：
1-15%-50%-25%=10%，D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2-1=1（名），ec671ad56fde5558c3928c6291c2bf8c.png
故答案为：3；36°；补充条形统计图如图.
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）=
5c6f63ef25d65837ed51b6120b543d77.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
18.（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为3af39eb43ed5bfd563d5cdba3f92ec50.png
1eb387325f72f04071507855a64a6574.png
(2)①60°；②8a10fcea10bd1d006360c4c48569420f.png
19.解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°= 4f0c01ab58bd5c0358f104de59ed614f.png
在直角三角形ABF中，sin60°=112b31c54db8c7f73cd48fd1a3e98d11.png
7f8cbe175e6a57b22186c1a773d2d8c9.png
91a24814efa2661939c57367281c819c.png
∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+2091a24814efa2661939c57367281c819c.png
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
20. 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png
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3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y=3b3c6f5863e2703cc19cbac108b8edc3.png
∴n=49a8c19dda347a0527518c54c0a50e3b.png
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每小题3分，满分30分）
1．﹣的倒数是（ ）
A． B．﹣
C．
D．﹣
2．计算（﹣）2018×（
）2019的结果为（ ）
A． B．
C．﹣
D．﹣
3．若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 x 的值可以为（ ）
A．12 B．10 C．2 D．0
4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
5．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列解方程去分母正确的是（ ）
A．由，得2x﹣1＝3﹣3x
B．由，得 2x﹣2﹣x＝﹣4
C．由，得 2 y﹣15＝3y
D．由，得 3（ y+1）＝2 y+6
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12，那么图中正方形E的面积为（ ）
A．144 B．147 C．49 D．148
9．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，若函数y＝（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．5≤k≤20 B．8≤k≤20 C．5≤k≤8 D．9≤k≤20
10．抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），顶点坐标为C（l，k），抛物线与x轴在（3，0），（4，0）之间（不包含端点）有一个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．
二．填空题（满分24分，每小题3分）
11．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x2﹣2x+1＝﹣x2+5x﹣3：则所捂住的多项式是 ．
12．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 万元．
13．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是 ．
14．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为 ．
15．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝ ．
16．等腰△ABC中，AB＝AC＝8cm，BC＝6cm，则内切圆的半径为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴交于点A、B．直线CD与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴相交于点D，与直线AB相交于点E．若△AOB≌△COD，则点E的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为 ．
三．解答题
19．计算：|﹣1+|﹣
﹣（5﹣π）0+4cos45°．
20．先化简，再求值：（+a﹣2）÷
﹣1，其中a＝
+1．
21．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；
（2）补全折线统计图．
（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m的值为 ；
（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．
22．（8分）为创建“美丽乡村”，某村计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对本村道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？
23．（8分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝12，DE＝5，求△AEF的面积．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（其中k＜0，x＜0）的图象经过平行四边形ABOC的顶点A，函数y＝
（其中x＞0）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为1，△AOC的面积为
（1）求k的值；
（2）求直线AB的解析式．
25．（10分）如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线
经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点
A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣
．
故选：B．
2．解：（﹣）2018×（
）2019
＝（﹣）2018×（
）2018×
＝．
故选：A．
3．解：5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为S12＝×（42+22+0+22+42）＝8；
数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12＝8，
当x＝12时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为×（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62）＝11.84，满足题意，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABC＝∠D′＝90°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝68°，
∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．
5．解：不等式组的解集为：1≤x≤3，
故选：A．
6．解：A、由，得2x﹣6＝3﹣3x，此选项错误；
B、由，得 2x﹣4﹣x＝﹣4，此选项错误；
C、由，得 5y﹣15＝3y，此选项错误；
D、由，得 3（ y+1）＝2y+6，此选项正确；
故选：D．
7．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝
AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选：B．
8．解：根据勾股定理的几何意义，可知
SE＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝12+16+9+12
＝49，
故选：C．
9．解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），
∴1×5≤k≤4×5
即5≤k≤20，
故选：A．
10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2）
∴c＝2．
又∵顶点坐标为C（1，k）
∴对称轴直线h＝﹣＝1
∴b＝﹣2a
∴y＝ax2﹣2ax+2．
把C（1，k）代入上式得，k＝2﹣a．
把（3，0）代入上式得，0＝9a﹣6a+2
解得，a＝﹣．
把（4，0）代入上式得，0＝16a﹣8a+2
解得，a＝﹣．
∴﹣＜a＜﹣
．
∴+2＜2﹣a＜
+2
即＜k＜
．
故选：B．
二．填空题
11．解：所捂住的多项式是﹣x2+5x﹣3+2x2+2x﹣1＝x2+7x﹣4，
故答案为：x2+7x﹣4．
12．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
13．解：投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率＝＝
．
故答案为．
14．解：如图，连接OA、OB，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB＝360°×＝60°，
的长为
＝π．
故答案为：π
15．解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，
∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，
故答案为：9000
16．解：如图，设三角形的内切圆为⊙O，切点分别为D、E、F，
过AD⊥BC与D，
设OE＝OD＝OF＝rcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴可以确定A、O、D三点在同一直线上，D是BC的中点，
∴BD＝3cm，而AB＝8cm，
∴AD＝＝
，
根据切线长定理得AE＝AF，BD＝BE，CD＝CF，
∴AE＝AF＝（AB+AC﹣BC）÷2＝5，
∵AB是内切圆的切线，
∴∠AEO＝90°＝∠ADB，而∠A公共，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD＝AE：AD
设OE＝r，
∴r：3＝5：，
∴r＝cm．
故答案为： cm．
17．解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3．
∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB＝3，
∴点D的坐标为（3，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，﹣6）、（3，0）代入y＝kx+b，
，解得：
，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣6．
联立直线AB、CD的解析式成方程组，
，解得：
，
∴点E的坐标为（，
）．
故答案为：（，
）．
18．解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，
设CM＝a，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，
∵tan∠ACB＝2，
∴＝2，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：AC＝a，
S△BDC＝BC•DH＝10，
＝10，
DH＝，
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形DHMG为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG和△CDH中，
∵，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝
a+
，
∴AM＝AG+MG，
即2a＝a++
，
a2＝20，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD，
∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝5或﹣5
（舍），
故答案为：5．．
三．解答题（共8小题，满分60分）
19．解：原式＝﹣1﹣
×2
﹣1+4×
＝2
﹣2．
20．解：原式＝（+
）÷
﹣1
＝•
﹣1
＝﹣
＝，
当a＝+1时，
原式＝＝
．
21．解：（1）总人数＝60÷50%＝120（人）．
（2）不了解的人数＝120﹣60﹣30﹣10＝20（人），
折线图如图所示：
（3）了解的圆心角＝×360°＝30°，基本了解的百分比＝
＝25%，
∴m＝25．
故答案为：30，25．
（4）3000×＝500（人），
答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人．
22．解：（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
，
解得，，
即购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵；
（2）设购买甲种树苗a棵，
200a≥300（400﹣a）
解得，a≥240，
即至少应购买甲种树苗240棵．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中，
∵，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）∵BC＝12，∴AD＝12，
在Rt△ADE中，DE＝5，AD＝12，
∴AE＝＝13，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝AE2＝
×169＝84.5．
24．解：（1）设AC与y轴相交于点D．
把x＝1代入，得y＝2，
∴点C的坐标为（1，2），
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC∥OB，
∴∠CDO＝∠DOB＝90°，
∴OD＝2，DC＝1，
∵△AOC的面积为，
∴AC•OD＝
，
∴AC＝，
∴点A的坐标为（），
∴k＝﹣1；
（2）∵四边形ABOC是平行四边形，
∴，
∴点B的坐标为（），
设直线AB的解析式为y＝ax+b
∴解得
，
∴直线AB解析式为y＝2x+3．
25．解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，
∴cos30°＝＝
，
∴CD＝，
∵AD＝CD，
∴AC＝3，
∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，
∴AE＝×3
＝
．
26．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点B（0，﹣1），
∴m＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝x﹣1，
∵直线l：y＝x﹣1经过点C（4，n），
∴n＝×4﹣1＝2，
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣
x﹣1；
（2）令y＝0，则x﹣1＝0，
解得x＝，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA＝，
在Rt△OAB中，OB＝1，
∴AB＝＝
＝
，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO＝∠DEF，
在矩形DFEG中，EF＝DE•cos∠DEF＝DE•＝
DE，
DF＝DE•sin∠DEF＝DE•＝
DE，
∴p＝2（DF+EF）＝2（+
）DE＝
DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t， t2﹣
t﹣1），E（t，
t﹣1），
∴DE＝（t﹣1）﹣（
t2﹣
t﹣1）＝﹣
t2+2
t，
∴p＝×（﹣
t2+2t）＝﹣
t2+
t，
∵p＝﹣（t﹣2）2+
，且﹣
＜0，
∴当t＝2时，p有最大值；
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
∴x2﹣
x﹣1＝
（x+1）2﹣
（x+1）﹣1，
解得x＝，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x2﹣
x﹣1＝
（x+1）2﹣
（x+1）﹣1+
，
解得x＝﹣，
综上所述，点A1的横坐标为或﹣
．
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，每题4分）
1．若x2﹣6x+1=0，则x4+x﹣4的值的个位数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知二次函数y=2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2x2+8x+6 C．y=2x2﹣8x+6 D．y=2x2+8x+10
3．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．若，则y的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（ ）
A． B．
C．
D．
6．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；
记，
，
，则有（ ）
A．m＞n＞p B．m=n=p C．m=n＞p D．m＞n=p
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（ ）
A． B．
C．
D．
9．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B．
C．
D．
10．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共10小题，每题4分）
11．方程组的解是 ．
12．若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为 ．
13．已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第 象限．
14．如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为 ．
15．分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2= ．
16．有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为 ．
17．如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是 cm．
18．如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n （n≥2）行两端的数均为n，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为an，如a2=2，a3=4，则an+1﹣an= （n≥2），an= ．
19．如图，点O，B坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕A点按顺时针方向旋转90°得到△O′AB′，则点B′的坐标为 ．
20．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n= ．
3．解答题（共6小题，共70分）
21．已知，求
．
22．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．
23．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．
24．某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民的共同愿望，到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%，求m值．（注：沙漠绿化率=）
25．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求此抛物线的解析式．
26．如图，已知直线l1：y=x+
与直线l2：y=﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
2018年10月06日136****8620的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．若x2﹣6x+1=0，则x4+x﹣4的值的个位数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先由x2﹣6x+1=0，求得x+=6，然后由（x+
）2=x2+
+2，求得x2+
，再由（x2+
）2=x4+
+2，即可求得答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1=0，
∴x+=6，
∴（x+）2=x2+
+2=36，
∴x2+=34，
∵（x2+）2=x4+
+2=1156，
∴x4+x﹣4=x4+=1154．
∴x4+x﹣4的值的个位数字是4．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是注意（x+）2=x2+
+2的应用．
2．已知二次函数y=2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2x2+8x+6 C．y=2x2﹣8x+6 D．y=2x2+8x+10
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】2B：探究型．
【分析】此题相当于坐标系不动，将图象向下、向左分别平移两个单位．
【解答】解：将y=2x2的图象分别向下、向左分别平移2个单位得，
y=2（x+2）2﹣2=2x2+8x+6．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与坐标变化，可将坐标移动转化为图象向相反的方向运动来解答．
3．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】K3：三角形的面积；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，求出AB=6，根据AB+AC+BC=14，求出AC+BC，根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2=36推出AC•BC=14，根据S=AC•BC即可求出答案．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴AB=2CD=6，
∵AB+AC+BC=14，
∴AC+BC=8，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，
∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，
AC•BC=14，
∴S=AC•BC=7．
故选：C．
【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据性质求出AC•BC的值是解此题的关键．
4．若，则y的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】73：二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分别讨论x在不同的取值范围内y的最小值，然后综合各种情况，取y的最小值．
【解答】解：当﹣1≤x≤0时，
y=﹣x+x+1+1﹣x=﹣x+2，此时y的最小值是2；
当0≤x≤1时，
y=x+x+1+1﹣x=x+2，此时y的最小值是2；
当x＞1时，
y=3x，此时的最小值大于3；
当x＜﹣1时，
y=﹣x﹣x﹣1﹣x+1=﹣3x，此时的最小值大于3．
综上所述y的最小值为2．
故选：C．
【点评】主要考查二次根式的性质和化简，必须考虑被开方出来的数为正数．
5．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】连接BE，由∠A得余弦值可得到AE、AB的比例关系；易证得△ADE∽△ACB，那么AE、AB的比即为两个三角形的相似比，进而可求出两个三角形的面积比，也就能求出△ADE、四边形BDEC的面积比．
【解答】解：连接BE；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°；
在Rt△ABE中，cosA=，即
=
；
∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（
）2=
；
所以S△ADE：S四边形DBCE的值为．
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，能够将∠A的余弦值转换为△ADE、△ACB的相似比，是解决此题的关键．
6．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；
记，
，
，则有（ ）
A．m＞n＞p B．m=n=p C．m=n＞p D．m＞n=p
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】根据已知条件推出△ABF∽△AON，△ACF∽△ABN，得出相似比；其次，通过求证Rt△AEH≌Rt△AMH推出AE=AM，结合求证的相似三角形的对应角相等推出BN=BF，然后，通过相似三角形的性质推出对应边得比相等，组后结合相等关系 进行等量代换，求出结论
【解答】解：DE⊥AF于H点，
∵正方形ABCD
∴∠ABF=∠AON=90°，∠ACF=45°
∵AF平分∠BAC
∴∠BAF=∠OAF
∴△ABF∽△AON，△ACF∽△ABN
∴
∵DE⊥AF
∴Rt△AEH≌Rt△AMH
∴AE=AM
∵∠ANO=∠BNF
∴∠AFB=∠BNF
∴BN=BF
∴
∴ 即（m＞n）
∵△ABF∽△AON
∴
而△ACF∽△ABN，
∴
∴
∴（即n=p）
∴m＞n=p
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．本题的关键在于熟练地综合应用以上定理性质，找到等量关系进行代换．
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限．
【解答】解：抛物线开口向上，∴a＞0，
抛物线对称轴y=﹣＞0，且a＞0，∴b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∴点P（ac，b）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
8．如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】MK：相切两圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：
（1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD；
（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：
①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度；
②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D•O1B，所以O1D可求出来．而O1D=O1C+CD=2+CD，故CD可求．
【解答】解：连接O1O2，
∵AO2=1，O1O2=3，
∴AO1==2
，
∴BO1==
=2
，
∴由切割线定理O1A2=O1D•O1B，得O1D==
，
∴CD=O1D﹣O1C=﹣2，
又∵cos∠O2O1B==
，
则PD2=4+﹣
cos∠O2O1B=4+
﹣
×
=
，
∴PD=，
∴CD+3PD=﹣2+3×
=
．
故选：D．
【点评】本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握．
9．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=
，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是
．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：S=
r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
10．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
【考点】9D：三元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
②﹣①得x+y+z=1.05（元）．
故选：B．
【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．
二．填空题（共17小题）
11．方程组的解是
和
．
【考点】AG：无理方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．
【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，
由②式又可变化为=26，
把①式代入得=13，这又可以变形为（
+
）2﹣3
=13，
再代入又得﹣3=9，
解得ab=﹣27，
又因为a+b=26，
所以解这个方程组得或
，
于是（1），解得
；
（2），解得
．
故答案为和
．
【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．
12．若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为 a=0，b＜0 ．
【考点】C2：不等式的性质．菁优网版权所有
【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．
【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，
∴a=0，则左边式子ax=0，
∴b＜0一定成立，
∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．
【点评】本题是利用了反证法的思想．
13．已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第 二 象限．
【考点】83：等式的性质；F5：一次函数的性质；S1：比例的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据比例的性质得到3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，相加即可求出m的值是5，得出y=5x﹣5，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，
∴5a+5b+5c=（a+b+c）m，
∵a+b+c≠0，
∴m=5，
∴y=mx﹣m=5x﹣5，
∴不经过第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题主要考查对一次函数的性质，比例的性质，等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知求出m的值是解此题的关键．题型较好．
14．如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为
．
【考点】KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】阴影部分的面积=三角形ABC的面积减去三个扇形的面积，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：三个扇形的面积S==
，
∴S阴影部分=S△ABC﹣S=•2•2﹣
=2﹣
．
故答案为2﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了三角形的面积公式．
15．分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2= （2m+n）（m﹣n+1） ．
【考点】56：因式分解﹣分组分解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】多项式有5项，采用分组分解法，1，2，5项结合，因式分解，再与3，4两项提公因式．
【解答】解原式=（2m2﹣mn﹣n2）+（2m+n）
=（2m+n）（m﹣n）+（2m+n）
=（2m+n）（m﹣n+1）．
故答案为：（2m+n）（m﹣n+1）．
【点评】本题考查了分组解法进行因式分解，关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解．
16．有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】先根据题意画出树状图，从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有6种，共有8种等可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：用A、B分别表示两项不同的竞赛，如图所示：
每项竞赛只许有两位学生参加的情况是AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，共6种，
则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为=
．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是 16π cm．
【考点】MN：弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】作出辅助线得出△OMN≌△Q2OP，进而得出∠OPQ2=∠ONM=90°，得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，求出即可．
【解答】解：过M作MN⊥L于点N，过O作L的垂线交于点Q1，Q2，连接PQ2，则MN∥OQ2，
∠M=∠MOQ2，
∵OM=OQ2，MN=OP，
∴△OMN≌△Q2OP，
∴∠OPQ2=∠ONM=90°，
∴点P在以OQ2为直径的圆上，同理点P在以OQ1为直径的圆上，
从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，移动的路程为：
2×8π=16π．
故答案为：16π．
【点评】此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题，此题综合性较强得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆是解决问题的关键．
18．如图的数表，它有这样的规律：表中第1行为1，第n （n≥2）行两端的数均为n，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，设第n （n≥2）行的第2个数为an，如a2=2，a3=4，则an+1﹣an= n （n≥2），an= ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】由图表设第n（n＞1）行第2个数为an，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11…，n≥2，则an=an﹣1+（n﹣1），n≥2．由此能导出an=．
【解答】解：由图表设第n（n＞1）行第2个数为an，
∵a2=2，a3=4，a4=7，a5=11…，
∴n≥2，则an=an﹣1+（n﹣1），n≥2．
∵a2=1+1，
a3=1+1+2，
a4=1+1+2+3，
a5=1+1+2+3+4，
∴an=1+（1+n﹣1）（n﹣1）=
．
an+1=，
∴an﹣an+1=﹣
=n．
故答案为：n，．
【点评】本题考查数列的性质和应用，是一道数字的变化类问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地利用数列的递推公式进行解题．
19．如图，点O，B坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕A点按顺时针方向旋转90°得到△O′AB′，则点B′的坐标为 （2，3） ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】根据点O，B坐标分别为（0，0），（3，0），首先确定坐标轴的位置，然后根据旋转的作图，作出B′，即可确定坐标．
【解答】解：由图知B点的坐标为（3，0），根据旋转中心A，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图．
从而得B′点坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题涉及图形变换﹣﹣旋转，体现了新课标的精神．应抓住旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．通过画图求解．
20．在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数，若累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有1680个，则n= 20 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】寻找规律：第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．得方程求解．
【解答】解：正方形A1B1C1D1上的整点个数是8，
正方形A2B2C2D2上的整点个数是16，
正方形A3B3C3D3上的整点个数是24，
则第n个正方形上的整点个数是：4+4（2n﹣1）=8n．
累计到正方形AnBnCnDn时，整点共有8（1+2+…+n），即8（1+2+…+n）=1680，
=210，解得n1=20，n2=﹣21（舍去）．
故答案为：20．
【点评】本题需要通过找每个正方形上的整点个数的规律，得出一般结论，再进一步求和．
4．解答题（共6小题）
21．已知，求
．
【考点】7A：二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将已知等式左右两边利用乘法分配律去括号后，移项整理后得到一个二次三项式，利用式子相乘法分解因式后，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，可得出x=y=0或x=9y，由x=y=0得到所求式子无意义，故x=9y，将x=9y代入所求式子中，化简约分后即可得到所求式子的值．
【解答】解：（
﹣
）=3
（5
﹣
）
去括号得：（）2﹣
=15（
）2﹣3
移项合并得：（）2+2
﹣15（
）2=0，
因式分解得：（﹣3
）（
+5
）=0，
可得：﹣3
=0或
+5
=0，
若+5
=0，可得出x=y=0，所求式子无意义；
∴﹣3
=0，即x=9y，
则=
=
=3．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，其中灵活变换已知的等式，得出x与y的关系式是解本题的关键．
22．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD=BD DE⊥AB
∴AE=AB，∠DEA=90°，
∵AC=AB
∴AE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD，
在△DEA和△DCA中，
，
∴△DEA≌△DCA，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥DC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．
23．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．
【考点】KH：等腰三角形的性质；M1：圆的认识．菁优网版权所有
【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．
【解答】解：连接OD，
∵AB=2DE=2OD，
∴OD=DE，又∠E=18°，
∴∠DOE=∠E=18°，
∴∠ODC=36°，
同理∠C=∠ODC=36°
∴∠AOC=∠E+∠OCE=54°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和．
24．某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民的共同愿望，到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%，求m值．（注：沙漠绿化率=）
【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】123：增长率问题．
【分析】本题考查的是增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．利用这个关系式即可列出方程，而后解方程即可．
【解答】解：由题意得：30%+70%•m%+70%（1﹣m%）m%=43.3%
解得m=10，m=﹣19．（不合题意舍去）
答：m的值是10．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
25．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求此抛物线的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由于抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），可用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标；
（2）先设出过A，B两点抛物线的解析式，作MD⊥x轴于D，再分别求出A、B、C、M各点的坐标，再根据图形求各三角形的面积，最后由三角形之间的和差关系△ACM的面积进行计算；
（3）因为已知抛物线的顶点坐标及与y轴的交点，可设出抛物线的解析式，由于不明确抛物线的开口方向，故应分类讨论．在进行分类讨论时还要注意讨论哪个角为60°，不要漏解．
【解答】解：（1）设过抛物线A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（3，0），点（0，﹣3）代入
得，
解得，
故此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）由题意，设y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），M（1，﹣4a），
∴S△ACB=×4×|﹣3a|=6|a|，
而a＞0，
∴S△ACB=6a．
作MD⊥x轴于D，
又S△ACM=S△ACO+SOCMD﹣S△AMD=•1•3a+
（3a+4a）﹣
•2•4a=a，
∴S△ACM：S△ACB=1：6；
（3）①当抛物线开口向上时，
设y=a（x﹣1）2+k，
即y=ax2﹣2ax+a+k，
有菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0，
∴k=，
∴y=ax2﹣2ax+，
∴|EF|==
记l与x轴交点为D，
若∠PEM=60°，则∠FEM=30°，MD=DE•tan30°=，
∴k=﹣，a=
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣
x+
若∠PEM=120°，则∠FEM=60°，MD=DE•tan60°=，
∴k=﹣，a=
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2
x+
②当抛物线开口向下时，同理可得y=﹣x2+
x﹣
，
y=﹣x2+2
x﹣
．
【点评】此题比较复杂，综合性较强，考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及三角形的面积，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差”关系求解．在解（3）时一定要分类讨论．
26．如图，已知直线l1：y=x+
与直线l2：y=﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）把y=0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x=0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长．
联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积．
（2）已知xD=xB=8易求D点坐标．又已知yE=yD=8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长．
（3）作CM⊥AB于M，证明Rt△RGB∽Rt△CMB利用线段比求出RG=2t．又知道S=S△ABC﹣S△BRG﹣S△AFH，根据三角形面积公式可求出S关于t的函数关系式．
【解答】解：（1）由x+
=0，得x=﹣4．
∴A点坐标为（﹣4，0），
由﹣2x+16=0，
得x=8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB=8﹣（﹣4）=12，
由，解得
∴C点的坐标为（5，6），
∴S△ABC=AB•yC=
×12×6=36．
（2）∵点D在l1上且xD=xB=8，
∴yD=×8+
=8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l2上且yE=yD=8，
∴﹣2xE+16=8，
∴xE=4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE=8﹣4=4，EF=8．
（3）①当0≤t＜3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t=0时，为四边形CHFG）．
过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，
∴，即
，∴RG=2t，
∵Rt△AFH∽Rt△AMC，
∴S=S△ABC﹣S△BRG﹣S△AFH=36﹣×t×2t﹣
（8﹣t）×
（8﹣t），
即S=﹣t2+
t+
．
②当3≤t＜8时，如图2所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，由①知，HF=（8﹣t），
∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
∴=
，即
=
，∴RG=
（12﹣t），
∴S=（HF+RG）×FG=
[
（8﹣t）+
（12﹣t）]×4，
即S=﹣t+
；
③当8≤t≤12时，如图3所示，矩形DEFG与△ABC重叠部分为△AGR，
由②知，AG=12﹣t，RG=（12﹣t），
∴S=AG•RG=
（12﹣t）×
（12﹣t）即S=
（12﹣t）2，
∴S=t2﹣8t+48．
【点评】本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破．
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣
D．﹣2
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
3．（3分）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C．
D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+1
5．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
9．（3分）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于
OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A．2 B． C．
D．
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：+（﹣1）0﹣（
）﹣2＝ ．
12．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作
交AB于点D，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 ．
三．解答题
16．（8分）先化简，再求值：（﹣
）÷
，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
17．（9分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝ 时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝ 时，PC是⊙O的切线．
19．（9分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）
20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
21．（10分）“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A售价120元，B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．
（1）求A、B的进价；
（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该超市决定对A台灯进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15），B的售价不变，超市如何进货获利最大？
22．（10分）（1）问题发现
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．
如图（1），当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 ；②∠ABE＝ ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．
23．（11分）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．2 B． C．﹣
D．﹣2
【分析】根据绝对值的定义进行计算．
【解答】解：||＝
，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000039＝3.9×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C．
D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得左视图为：．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，正确；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣20°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：A、众数是90分，人数最多，正确；
B、中位数是90分，错误；
C、平均数是分，错误；
D、方差是＝19，错误；
故选：A．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
7．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【解答】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9．（3分）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于
OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（ ）
A．2 B． C．
D．
【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
【解答】解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF＝＝
，
∴AK＝OK＝＝
，
∴OA＝，
由△FOC∽△OBA，可得＝
＝
，
∴＝
＝
，
∴OB＝，AB＝
，
∴A（，
），
∴k＝．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成A→B、B→C、C→O三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，
当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝
a2•cosα•sinα•t2，
由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；
当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，
故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，
故本段图象应该为一段下降的线段；
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：+（﹣1）0﹣（
）﹣2＝ 0 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣4＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为 ．
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【解答】解：P（灯泡发光）＝．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．（3分）不等式组的解集是 ﹣1≤x＜3 ．
【分析】分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
所以不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，
故答案为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作
交AB于点D，则阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【分析】空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2，
S扇形BCD＝＝
π，
S空白＝2×（2﹣π）＝4﹣π，
S阴影＝S△ABC﹣S空白＝2﹣4+π＝π﹣2，
故答案为π﹣2．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为
或
．
【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，
∴∠C＝30°，AB＝AC＝
，
由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，
∴∠BDN＝30°，
∴BN＝DN＝
AN，
∴BN＝AB＝
，
∴AN＝2BN＝，
∵∠DNB＝60°，
∴∠ANM＝∠DNM＝60°，
∴∠AMN＝60°，
∴AN＝MN＝；
②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，
∴BD＝DN＝
AN，BN＝
BD，
又∵AB＝，
∴AN＝2，BN＝，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH＝30°，
∴AH＝AN＝1，HN＝
，
由折叠可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM＝HN＝，
∴MN＝，
故答案为：或
．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题
16．（8分）先化简，再求值：（﹣
）÷
，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2﹣2x﹣2＝0得x2＝2x+2＝2（x+1），整体代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣
]÷
＝•
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2＝2（x+1），
则原式＝＝
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17．（9分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了 60 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 36 度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
【分析】（1）由虎园人数及其所占百分比可得总人数；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，根据各参观项目人数和等于总人数求得x的值，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以最喜欢植物园的学生人数占被调查人数的比例可得；
（4）用总人数乘以样本中最喜欢烈士陵园的人数所占比例．
【解答】解：（1）本次活动调查的学生人数为18÷30%＝60人，
故答案为：60；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，
则x+2x＝60﹣18﹣6，
解得：x＝12，
即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，
补全条形图如下：
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：36；
（4）最喜欢烈士陵园的人数约有720×＝288人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝ 120° 时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝ 45° 时，PC是⊙O的切线．
【分析】（1）由AAS证明△CPM≌△AOM，得出PC＝OA，得出PC＝OB，即可得出结论；
（2）①证出OA＝OP＝PA，得出△AOP是等边三角形，∠A＝∠AOP＝60°，得出∠BOP＝120°即可；
②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP＝∠OPB＝45°即可．
【解答】（1）证明：∵PC∥AB，
∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．
∵点M是OP的中点，
∴OM＝PM，在△CPM和△AOM中，，
∴△CPM≌△AOM（AAS），
∴PC＝OA．
∵AB是半圆O的直径，
∴OA＝OB，
∴PC＝OB．
又PC∥AB，
∴四边形OBCP是平行四边形．
（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，
∴OA＝PA，
∵OA＝OP，
∴OA＝OP＝PA，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A＝∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝120°；
故答案为：120°；
②∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，
∵PC∥AB，
∴∠BOP＝90°，
∵OP＝OB，
∴△OBP是等腰直角三角形，
∴∠ABP＝∠OPB＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
19．（9分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）
【分析】延长CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x米，CD＝（20+x）米，根据＝tan∠DCB列方程求出x的值即可得．
【解答】解：如图，延长CA交BE于点D，
则CD⊥BE，
由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，
设AD＝x米，
则BD＝x米，CD＝（20+x）米，
在Rt△CDB中，＝tan∠DCB，
∴≈0.65，
解得x≈37，
答：这段河的宽约为37米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP的面积减去△AOQ的面积．
【解答】解：（1）反比例函数y＝（ m≠0）的图象经过点（1，4），
∴，解得m＝4，故反比例函数的表达式为
，
一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），
∴，解得
，
∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；
（2）由，解得
或
，
∴点P（﹣1，﹣4），
在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），
S△OPQ＝S△OPA﹣S△OAQ＝＝7.5．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
21．（10分）“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A售价120元，B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．
（1）求A、B的进价；
（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该超市决定对A台灯进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15），B的售价不变，超市如何进货获利最大？
【分析】（1）设 A 品牌台灯进价为 x 元/盏，则 B 品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏，根据题意，列出方程即可
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏，根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550，求即可
（3）令超市销售台灯所获总利润记作 w，根据题意，有w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000，分情况讨论即可．
【解答】解：
（1）设 A 品牌台灯进价为 x 元/盏，则 B 品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏，
根据题意得＝
，解得 x＝80，
经检验 x＝80 是原分式方程的解．
∴x﹣30＝80﹣30＝50（元/盏），
答：A、B 两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏，50 元/盏
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏，
根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550
解得，40≤a≤55．
∵a 为整数，
∴该超市有 16 种进货方案
（3）令超市销售台灯所获总利润记作 w，根据题意，有
w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000
∵8＜m＜15
∴①当 8＜m＜10 时，即 10﹣m＞0，w 随 a 的增大而增大，
故当 a＝55 时，所获总利润 w 最大，
即 A 品牌台灯 55 盏、B 品牌台灯 45 盏；
②当 m＝10 时，w＝3000；
故当 A 品牌台灯数量满足 40≤a≤55时，利润均为 3000元；
③当 10＜m＜15 时，即 10﹣m＜0，w 随 a 的增大而减小，
故当 a＝40 时，所获总利润 w 最大，
即 A 品牌台灯 40 盏、B 品牌台灯 60 盏
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是掌握销售利润公式：利润＝（售价﹣成本）×数量．
22．（10分）（1）问题发现
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE．
如图（1），当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 AF＝BE ；②∠ABE＝ 90° ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）只要证明△ADF≌△EDB，可得AF＝BE，再利用“8字型”字母∠OBE＝∠ADO＝90°即可解决问题；
（2）结论：AF＝BF，∠ABE＝a．只要证明△ADF≌△EDB，即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可；
【解答】解（1）如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°，
∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴∠ABE＝∠ADO＝90°
故答案为AF＝BF，90°．
（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∵DF‖AC
∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠DFB，
∴DB＝DF，
∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，
∴∠ADF＝∠EDB，
又∵AD＝DE，
∴△ADF≌△EDB，
∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，
∴∠ABE＝∠FDB＝α．
（3）①如图3﹣1中，当点D在BC上时，
由（2）可知：BE＝AF，
∵DF∥AC，
∴＝
＝
，
∵AB＝8，
∴AF＝2，
∴BE＝AF＝2，
②如图3﹣2中，当点D在BC的延长线上时，
∵AC∥DF，
∴＝
＝
，∵AB＝8，
∴AF＝4，
故答案为2或4．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（11分）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；
（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△PAB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣
•1•（﹣x2﹣2x+3）＝
•1•3，当P点在x轴下方时，
•3•（﹣x）+
•1•（x2+2x﹣3）＝
•1•3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；
（3）解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到
＝
＝
，所以3
﹣
（3﹣t）＝
（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y＝
x+
，然后解方程组
得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝
，再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（
）2，解方程求出t得N点坐标为（﹣
，
），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组
得此时M点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣3x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，则B（0，3），
把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），
S△PAB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，
∵S△PAB＝2S△AOB，
∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，
当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣
•1•（﹣x2﹣2x+3）＝
•1•3，解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），此时P点坐标为（﹣2，3）；
当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+
•1•（x2+2x﹣3）＝
•1•3，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3（舍去），
综上所述，P点坐标为（﹣2，3）；
（3）存在．
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，则C（﹣3，0），
∵OC＝OB＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3，
当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），
∵∠DBE＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE＝BE＝BD＝
（3﹣t），
∵∠MCB＝∠ABO，
∴tan∠MCB＝tan∠ABO，
∴＝
＝
，即CE＝3DE，
∴3﹣
（3﹣t）＝
（3﹣t），解得t＝
，则D（0，
），
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把C（﹣3，0），D（0，）代入得
，解得
，
∴直线CD的解析式为y＝x+
，
解方程组得
或
，此时M点坐标为（
，
）；
当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，
易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，AB＝，AC
设N（k，﹣3k+3），
∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，
∴∠NCA＝∠ABC，
而∠BAC＝∠CAN，
∴△ABC∽△ACN，
∴AB：AC＝AC：AN，即：4＝4：AN，
∴AN＝，
∴（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，
整理得（k﹣1）2＝，解得k1＝
（舍去），k2＝﹣
，
∴N点坐标为（﹣，
），
易得直线CN的解析式为y＝2x+6，
解方程组，得
或
，此时M点坐标为（﹣1，4），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（，
）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
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