《电磁学》课程论文

2013年 12 月 1 日

对通电螺线管磁场分布的若干问题的研究

（中国科学技术大学近代力学系，安徽 合肥 230027）

摘要：本文对通电螺线管外部磁场是否为零进行了讨论，又对非密绕螺线管的

磁场分布进行了计算。

关键词：通电螺线管 磁场分布

A research into some questions of the magnetic field distribution of a solenoid with electric current

WangQi

(department of modern mechanics,university of science and technology of china,anhui hefei 230027)

Abstract:the article gives a discussion on whether the magnetic field outside a solenoid is zero.and I calculated the distribution of a none-tightly-wound solenoid.

Keywords:a solenoid with electric current the distribution of magnetic field

1 引言

螺线管的磁场是电磁学和电工技术必须面对的问题，一直有人关注。同时螺线管是用的最多的一种基本线圈形式，广泛用于军事、经济、生态医疗、天文地质等众多领域中。所以对于螺线管空间磁场分布求解是有重要意义的。

但一般电磁学教材对通电螺线管的磁场分布的讨论不够深入，对通电螺线管外部磁场是否为零的讨论比较模糊，而且一般仅限于无穷长密绕螺线管磁场的分布。对非密绕螺线管磁场分布的讨论很少。基于此，本文对通电螺线管的磁场分布进一步做了讨论。

2 无穷长密绕通电螺线管外磁场是否为零？

对于螺线管外的磁场，不少电磁学教材武断得认为管外磁场为零。下面是一种论证无穷长通电管外磁场为零的方法。其思路是如图一所示的矩形回路abcd,根据Ampere环路定理，有

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已知轴线上（word/media/image3_1.png段）的word/media/image4_1.png，故

word/media/image5_1.png

又因

word/media/image6_1.png

故要求

word/media/image7_1.png

结论是word/media/image8_1.png

但是，上述论证是不严密的，因为他预先假定了word/media/image9_1.png路径上的B与dl同方向，事实上，由word/media/image10_1.png并不能得出word/media/image11_1.pngword/media/image12_1.png，最多只能说明管外磁场的轴向分量为零。

也有人提出了如下的证明方法。下面，让我们看看是如何证明的。

1 管外的磁场既不是z的函数，也不是word/media/image13_1.png

的函数，故管外磁场不可能是均匀磁场，只能是径向坐标r的函数。

2 管外磁场B管外的磁场的径向分量Br=0，为了证明此结论，做如图二的同轴圆柱面。根据磁场的Gausss定理，通过上述圆柱面的磁通量为零，即

word/media/image14_1.pngword/media/image15_1.png 图一

由对称性，通过左右底面的磁通量应互相抵消，故

word/media/image16_1.png

式中，Br是管外磁场B的径向分量，故有

word/media/image17_1.pngBr=0

图2

3 管外磁场的z分量应为零，即Bz=0,为了论证这一结论，做如图2所示的矩形回路abcd，其中ab边和cd边与轴线的距离可任意。由对称性，因无净电流穿过次闭合回路，根据Amper环路定理，有

word/media/image18_1.png

式中Bz1和Bz2分别是ab边和cd边处磁场的轴向分量。因在bc边和da边的管内部分的磁场B与dl垂直，故对积分无贡献；而在bc边和da边管外部分处，管外磁场的径向分量Br为零.故对积分也无贡献。于是上式右端第二项和第四项均为零。所以

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又因ab边 和cd边离轴线的距离是任意的，故管外磁场的z分量只能是

Bz1=Bz2=Bz=0

那么这种证发是否就无懈可击呢？仔细分析，不难发现这种证法将螺线管的螺距忽略了，忽略了螺距，就不能叫螺线管。在张之翔编的《电磁学千题解》的第408页中的5.2.18题给出了螺距不能忽略的螺线管模型，结果是，电流既有轴向的分量，也有垂直轴向的分量，垂直轴向的分量在管外激发的磁场为零，然而沿着轴向的分量在管外激发的磁场并不为零！

word/media/image20_1.png图3

下面我们再来看一下螺距的大小与轴向电流的关系。

首先我们看一下产生螺纹的一种方法。如图3所示，取一条倾角为word/media/image21_1.png的直角三角形条，绕在半径为R的圆筒上，纸条的斜边就构成了螺旋线。当纸条的底边绕圆筒一周时，螺旋线推进的距离即为螺距。显然有

word/media/image22_1.png

单位长度的线圈数为

word/media/image23_1.png （1）

如图4所示，对于密绕线圈，螺距即为导线的直径，在密绕条件下，相当于螺线管表面有一均匀的表面电流层。定义通过单位长度线段（该单位长度位于电流面且与电流方向垂直）的电流强度为电流面密度j。（见课本P118最下面）由图4知j的大小为

word/media/image24_1.png （2）

word/media/image25_1.png图4

式中n为轴向单位长度包含的线圈数，i为导线中的电流强度。如图4所示，j可以分为j轴向和j环向两个分量，前者沿螺线管的轴向，后者沿螺线管横截圆的切向，把（1）式带入（2）式中，得

word/media/image26_1.png

并有

word/media/image27_1.png

轴向总电流为

word/media/image28_1.png 通过单位长度线段的环向电流为

word/media/image29_1.png

由此可见，轴向电流i轴向与螺距无关，螺距再小I轴向也不会为零，且总等于I，所以忽略螺距得出的结果是不能使人信服的。螺线管外的磁场相当于轴向一根电流强度为I的导线产生的磁场，方向为环绕轴向电流的方向。

下面让我们带入实际的数字来比较螺线管外部磁场和内部磁场大小：设电流为1A，螺线管半径为0.1m，单位长度的线圈数为500。则

word/media/image30_1.png

可以发现word/media/image31_1.png是远大于word/media/image32_1.png的。因此在一定的条件下word/media/image32_1.png可以忽略不计，但是螺线管外的磁场却不等于零。

3 有限长非密绕通电螺线管产生的磁场在轴线上的分布

对于无穷长密绕通电螺线管大家都有了比较清晰的了解，下面我们来讨论非密绕通电螺线管磁场的空间分布。

如图5所示是非密绕螺旋导线，螺旋半径为a，轴向单位长度的圈数为n,螺距为word/media/image33_1.png，显然有

word/media/image34_1.png

word/media/image35_1.png图5

设通过螺旋导线的电流强度为I，为了求轴上观察点O的磁感应强度，用如下方法设置直角坐标系：以观察点O为坐标原点，落线管的中心轴为Z轴，用过O点并与Z轴垂直的平面与螺旋线的交点为Q，连接O和Q两点的直线为X轴，XY平面与Z轴垂直。

在螺旋导线的P处取线元dl,其位矢为r，r在xy平面内的投影在图5中用虚线表示，该虚线与X轴的夹角为word/media/image36_1.png，于是，P点的坐标即word/media/image37_1.png=（x,y,z)为：

word/media/image38_1.png

线元dl的三个分量即dl=（dlx,dly,dlz)为

word/media/image39_1.png

根据Biot-Savrt定律，O点的磁场为

word/media/image40_1.png（3）

式中P1和P2分别代表螺线管的左端和右端，I是螺线管中的电流强度，word/media/image41_1.png是电流元Idl到O点所引的矢量，它是电流元位矢r的关系为word/media/image42_1.png

即

word/media/image43_1.png

因word/media/image44_1.pngword/media/image45_1.png

word/media/image46_1.png

word/media/image47_1.png

代入（3）式，得出磁场B的三个分量为

word/media/image48_1.png

式中，word/media/image49_1.png和word/media/image50_1.png为螺旋线左右端的方位角，由上式知，若已知word/media/image49_1.png和word/media/image50_1.png则可以求出O点的磁场。

下面我们以一个实际的模型进行计算，设螺旋半径a=0.05m,单位长度的线圈匝数为50，真空中的磁导率为μ0 = 4π×10^-7 亨利/米，螺线管中的电流强度为1A。设word/media/image51_1.png

由于求出上面三式的解析解比较困难，故我们采取数值积分的方法。利用MATLAB编写龙贝格求积分的程序，并进行计算，最后得出结果为

word/media/image52_1.png

word/media/image53_1.png

word/media/image54_1.png

word/media/image55_1.png

word/media/image56_1.png

word/media/image57_1.png

下面让我们看一下当螺线管直径不变时随着word/media/image58_1.png角的增大By和Bz是如何变化的。为此，我们令word/media/image59_1.png和word/media/image60_1.png的大小相等，都等于word/media/image61_1.png。用MATLAB画出By和Bz与word/media/image61_1.png的关系如下。

word/media/image62_1.png

word/media/image63_1.png

word/media/image64_1.png

word/media/image65_1.png

word/media/image66_1.png word/media/image67_1.png

4 无穷长密绕通电螺线管在螺线管表面产生的磁场大小。

由于面电流所在处的任一点的磁感强度B，等于从该面两边趋于该点时磁感强度的极限值（word/media/image68_1.png和word/media/image69_1.png）的平均。即

word/media/image70_1.png

这是一个普遍规律，这个规律与面电荷所在处电场强度的规律相同。【参见张之翔，《电磁学教学札记》（高等教育出版社，1987）】

又由于螺线管外部磁场的大小与内部磁场的大小相比可以忽略。因此螺线管磁场表面的磁场近似等于内部磁场大小的1/2。即

word/media/image71_1.png

5 结论

由于任何无穷长通电螺线管的螺距都不能忽略，因此，通电螺线管便会存在沿着轴线的电流分布，从而导致通电螺线管外部的磁场不为零，本文还给出了非密绕通电螺线管内轴线上某一点的磁场强度的三个分量的积分表示，并通过给相关参数赋一组特殊值求得Bx,By,Bz,的数值解。最后绘图表示了By,Bz,与word/media/image72_1.png的关系曲线图。

附：龙贝格积分的MATLAB源代码：

function [R,quad,err,h]=romber(f,a,b,n,delta)

% f是被积函数;

% a,b分别是积分的上下限;

% n+1是T数表的列数

% delta是允许误差

% R是T数表

% quad是所求积分值;

M=1;

h=b-a;

err=1

J=0;

R=zeros(4,4);

R(1,1)=h*(feval('f',a)+feval('f

',b))/2

while ((err>delta)&(J

J=J+1;

h=h/2;

s=0;

for p=1:M

x=a+h*(2*p-1);

s=s+feval('f',x)

end

R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s;

M=2*M;

for K=1:J

R(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K))/(4^K-1);

end

err=abs(R(J,J)-R(J+1,K+1));

end

quad=R(J+1,J+1)

求磁场By,Bz随word/media/image73_1.png角变化的MATLAB源代码：

y=zeros(1,101);

z=zeros(1,101);

t=1;

for i=1:2:201

t

y(t)=vpa(int('(cos(x)+x*sin(x))/((5*pi)^2+x^2)^(3/2)',-i,i));

y(t)=y(t)*(-4*pi*10^(-7)*pi*2500*0.05);e

y(t)

z(t)=vpa(int('1/((5*pi)^2+x^2)^(3/2)',-i,i));

z(t)=z(t)*10^(-7)*(2*pi*50)^3*0.05^2;

z(t)

t=t+1;

end

参考文献

【1】胡友秋 程福臻 叶邦角《电磁学与电动力学 上册》（科学出版社）

【2】张之翔 《电磁学千题解》（科学出版社）

【3】张之翔 《电磁学教学札记》（高等教育出版社）

【4】陈秉乾 舒幼生 胡望雨《电磁学专题研究》（高等教育出版社）

【5】赵凯华,陈熙谋. 电磁学(上册)（高等教育出版社）

【6】哈里德D ,瑞斯尼克R. 物理学(第二卷、第二册) （科学出版社）

【7】张德丰《MATLAB数值计算方法》（机械工业出版社）

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