2016年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．下列四个数中，最大的数是（　　）

A．﹣2 B． C．0 D．6

2．大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（　　）

A．0.995×105 B．9.95×105 C．9.95×104 D．9.5×104

3．下列计算正确的是（　　）

A．×= B．x8÷x2=x4 C．（2a）3=6a3 D．3a52a3=6a6

4．六边形的内角和是（　　）

A．540° B．720° C．900° D．360°

5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．11

8．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（　　）

A、（﹣1，0） B、（﹣2，0） C、（﹣1，﹣1） D、（﹣2，﹣1）

9．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（　　）

A． B． C． D．

10．已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（　　）

A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80

11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）

A．160m B．120m C．300m D．160m

12．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：

①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；

③a﹣b+c≥0； ④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．分解因式：x2y﹣4y=　 　．

14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　．

15．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　．（结果保留π）

16．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为　 　．

17．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　．

18．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分）

19．计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣+（﹣1）2016．

20．先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=．

21．为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：

请根据所给信息解答以下问题：

（1）这次参与调查的居民人数为：　 　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；

（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？

22．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．

（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．

23．2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．

（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？

（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？

24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．

25．若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

26．如图，直线l：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOB的周长；

（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；

（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：

①6a+3b+2c=0； ②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．

2016年湖南省长沙市中考数学试卷及答案

1． D． 2． C． 3． A． 4． B． 5． C． 6． B． 7． A． 8． C． 9． B． 10． D． 11． A． 12． D．

13． y（x+2）（x﹣2）．14． m＞﹣4． 15． 2π． 16． ． 17． 13． 18． ．

19．解：4sin60°﹣|﹣2|﹣+（﹣1）2016 =4×﹣2﹣2+1=2﹣2﹣2+1=﹣1．

20．解：（﹣）+===，

当a=2，b=时，原式=．

21．解：（1）这次参与调查的居民人数有=1000（人）；

（2）选择“樟树”的有1000﹣250﹣375﹣125﹣100=150（人），

补全条形图如图：

（3）360°×=36°，

答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为36°；

（4）8×=2（万人），

答：估计这8万人中最喜欢玉兰树的约有2万人．

故答案为：（1）1000．

22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，

∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=BC；

（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，

∴OB===1，

∴BD=2OB=2，

∴▱ABCD的面积=ACBD=×2×2=2．

23．解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，

，

解得．

即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；

（2）由题意可得，

设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆，

，

解得或或，

故有三种派车方案，

第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；

第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；

第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．

24．（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°；

（2）证明：连接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴=，

∴DC2=ADDE

∵AC=2DE，

∴设DE=x，则AC=2x，

则AC2﹣AD2=ADDE，

期（2x）2﹣AD2=ADx，

整理得：AD2+ADx﹣20x2=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），

则DC==2x，

故tan∠ABD=tan∠ACD===2．

25．解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，

即直线与y轴的交点为（0，1）；

将（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，

得n=1．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．

将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，

得：0=m+1，解得：m=﹣1．

答：m的值为﹣1，n的值为1．

（2）将y=2x﹣4代入到y=中有，

2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．

令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，

∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．

设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，

由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，

解得：m=2，n=﹣．

∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2．

（3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，

即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．

抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣，），

设“带线”l的解析式为y=px+k，

∵点（﹣，）在y=px+k上，

∴=﹣p+k，

解得：p=．

∴“带线”l的解析式为y=x+k．

令∴“带线”l：y=x+k中y=0，则0=x+k，

解得：x=﹣．

即“带线”l与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，k）．

∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|，

∵≤k≤2，

∴≤≤2，

∴S===，

当=1时，S有最大值，最大值为；

当=2时，S有最小值，最小值为．

故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤．

26．解：（1）在函数y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，

∴B（0，1），

令y=0，得x=1，

∴A（1，0），

则OA=OB=1，AB=，

∴△AOB周长为1+1+=2+．

（2）∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠PBO=∠QAO=135°，

设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，

∴△PBO∽△OAQ，

∴=，

∴PB==，

过点P作PH⊥OB于H点，

则△PHB为等腰直角三角形，

∵PB=，

∴PH=HB=，

∴P（﹣，1+）．

（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，

∴PB=AQ，

∴=t，

∵t＞0，

∴t=1，

同理可得Q（1+，﹣），

∴m==﹣1，

∵抛物线经过点A，

∴a+b+c=0，

又∵6a+3b+2c=0，

∴b=﹣4a，c=3a，

对称轴x=2，取值范围﹣1≤x+1，

①若a＞0，则开口向上，

由题意x=﹣1时取得最大值=2+2，

即（﹣1）2a+（﹣1）b+c=2+2，

解得a=．

②若a＜0，则开口向下，

由题意x=2时取得最大值2+2，

即4a+2b+c=2+2，

解得a=﹣2﹣2．

综上所述所求a的值为或﹣2﹣2．

2017年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列实数中，为有理数的是（　　）

A． B．Π C． D．1

2．下列计算正确的是（　　）

A．= B．a+2a=2a2 C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6

3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（　　）

A．0.826×106 B．8.26×107 C．82.6×106 D．8.26×108

4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．直角三角形 B．正五边形 C．正方形 D．平行四边形

5．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

6．下列说法正确的是（　　）

A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生

C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件

7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（　　）

A．长方形 B．圆柱 C．球 D．正三棱柱

8．抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　）

A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）

9．如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．110°

10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（　　）

A．5cm B． 10cm C．14cm D．20cm

11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（　　）

A．24里 B．12里 C．6里 D．3里

12．如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（　　）

A． B． C． D．随H点位置的变化而变化　

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．分解因式：2a2+4a+2=　 　．

14．方程组的解是　 　．

15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为　 　．

16．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是　 　．

17．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，　 　同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）

18．如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．

20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．

请根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中a=　 　，b=　 　；

（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．

（1）求∠APB的度数；

（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=

（1）求证：OA=OB；

（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．

24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．

（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；

（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．

26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．

（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；

（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；

（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．

2017年湖南省长沙市中考数学试卷答案

1． D．　2． C．　3． B．　4． C．　5． B．　6． D．　7． B．　8． A．　9． B．10． D．　11． C．12． B．

13． 2（a+1）2．14． ．15． 5．16．（1，2）．　17．乙．　18． 4．

19．解：原式=3+1﹣1+3=6．

20．解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，

解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，

则不等式组的解集为x＞2，

将解集表示在数轴上如下：

21．解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），

则a==0.3，b=100×0.45=45（人），

故答案为：0.3，45；

（2）360°×0.3=108°，

答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；

（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，

列树形图得：

∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，

∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．

22．解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，

∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．

（2）作PH⊥AB于H．

∵∠BAP=∠BPA=30°，

∴BA=BP=50，

在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，

∵25＞25，

∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

23．解：（1）连接OC，

∵AB与⊙O相切于点C

∴∠ACO=90°，

由于=，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠A=∠B

∴OA=OB，

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，

∴BC=AB=2，

∴sin∠COB==，

∴∠COB=60°，

∴∠B=30°，

∴OC=OB=2，

∴扇形OCE的面积为：=，

△OCB的面积为：×2×2=2

∴S阴影=2﹣π

24．解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．

由题意：=×2，

解得x=150，

经检验x=150是分式方程的解，

答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．

（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．

由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，

∵80≤m≤250﹣m，

∴80≤m≤125，

（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，

①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．

②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．

③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．

25．解：（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒数分别为1、、，

∴+≠1，1+≠，1+≠

∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；

（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，

∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=，y3=，

∴=，=，=，

∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，

∴有以下三种情况：

当=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；

当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；

当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；

∴t的值为﹣4、﹣2或2；

（3）①∵a、b、c均不为0，

∴x1，x2，x3都不为0，

∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），

∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，

联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，

∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，

∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，

∴x2+x3=﹣，x2x3=，

∴+===﹣=，

∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②∵x2=1，

∴a+b+c=0，

∴c=﹣a﹣b，

∵a＞2b＞3c，

∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，

∵P（，）

∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，

令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，

∵2＞0，

∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大临界值，当m=﹣时，OP2有最小临界值，

当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小临界值，当m=时，OP2有最大临界值，

∴≤OP2＜且OP2≠1，

∵P到原点的距离为非负数，

∴≤OP＜且OP≠1．

26．解：（1）令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，则x1=12，x2=4，

∴A（12，0），即OA=12，

又∵C（0，48m），

∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，

即12=48m，

∴m=；

（2）由（1）可知点C（0，48m），

∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，

∴必有E（0，﹣48m），

设直线AE的解析式为y=kx+b，

将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得

，解得，

∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m，

∵点D为直线AE与抛物线的交点，

∴解方程组，可得或（点A舍去），

即点D的坐标为（8，﹣16m）；

（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，

∴OD2=OA×OB=4×12=48，

∴OD=4，

又∵点D为线段AE的中点，

∴AE=2OD=8，

又∵OA=12，

∴OE==4，

∴D（6，﹣2），

把D（6，﹣2）代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2=36m﹣96m+48m，

解得m=，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣12），

即y=（x﹣8）2﹣，

∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，

∴y0≥﹣，

令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2（y0+3）2+4，

则当y0≥﹣时，t最大值=﹣2（﹣+3）2+4=，

若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，则n+≥，∴n≥3，

∴实数n的最小值为．

2018年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（共12个小题,每小题3分,共36分)

1．﹣2的相反数是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．2 D．

2．据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（　　）

A．0.102×105 B．10.2×103 C．1.02×104 D．1.02×103

3．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2

4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm

5．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．B． C． D．

7．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）

A． B． C． D．

8．下列说法正确的是（　　）

A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上

B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨

C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件

D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件

9．估计+1的值是（　　）

A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间

10．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．下列说法正确的是（　　）

A．小明吃早餐用了25min B．小明读报用了30min

C．食堂到图书馆的距离为0.8km D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min

11．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）

A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米

12．对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（　）

A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无穷多个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

13．化简：=　 　．

14．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为　 　度．

15．在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是　 　．

16．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是　 　．

17．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为　 　．

18．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　 　度．

三、解答题（共8个小题， 66分)

19．（6分）计算：（﹣1）2018﹣+（π﹣3）0+4cos45°

20．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣．

21．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共抽取了　 　名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？

22．（8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141，≈1.73）

23．（9分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．

（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

24．（9分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．

（1）求CE的长；

（2）求证：△ABC为等腰三角形．

（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．

（1）求∠OCD的度数；

（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；

（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

26．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　；

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．

2018年湖南省长沙市中考数学试卷答案

1． C．　2． C．　3． D．　4． B．　5． A．　6． C．　7． D．　8． C．　9． C．　10． B．　11． A．　12． B．　

13． 1．　14． 90．　15．（1，1）．16． ．　17． 2．　18． 50．

19．解：原式=1﹣2+1+4×=1﹣2+1+2=2．　

20．解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，

当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．　

21．解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人），

故答案为50；

（2）平均数=（4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；

众数：得到8分的人最多，故众数为8．

中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；

（3）得到10分占10÷50=20%，

故500人时，需要一等奖奖品500×20%=100（份）．　

22．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，

∴CD=BC•sin30°=80×（千米），

AC=（千米），

AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；

（2）∵cos30°=，BC=80（千米），

∴BD=BC•cos30°=80×（千米），

∵tan45°=，CD=40（千米），

∴AD=（千米），

∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），

∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．　

23．解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根据题意得：，解得：．

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．

（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640（元）．

答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．　

24．（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，

∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，

∴CE=2AD=6；

（2）证明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△CAD，

∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形．

（3）如图，连接BP、BQ、CQ，

在Rt△ABD中，AB==5，

设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，

在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，

∴PD=PA﹣AD=﹣3=，

∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，

∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=，

即QD=，

∴PQ=PD+QD=+=．

答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．

25．解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，解得，

∴y=﹣x+m+!，

令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），

令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠OCD=45°．

（2）设M（a，），

∵△OPM∽△OCP，

∴==，

∴OP2=OC•OM，

当m=3时，P（3，1），C（4，0），

OP2=32+12=10，OC=4，OM=，

∴=，

∴10=4，

∴4a4﹣25a2+36=0，

（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，

∴a=±，a=±2，

∵1＜a＜3，

∴a=或2，

当a=时，M（，2），

PM=，CP=，

≠（舍弃），

当a=2时，M（2，），PM=，CP=，

∴==，成立，

∴M（2，）．

（3）不存在．理由如下：

当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），

OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，

①当1＜x＜5时，如图1中，

∴E（，），F（x，x），

S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE

=5﹣•x•x﹣••=4.1，

化简得到：x4﹣9x2+25=0，

△＜O，

∴没有实数根．

②当x≤1时，如图2中，

S=S△OGH＜S△OAM=2.5，