2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷专题综合测试1 Word版含解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．

1．(2013·重庆卷)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{1,3,4}　　 B．{3,4} C．{3} D．{4}

解析　由已知得A∪B＝{1,2,3}，又集合U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．答案　D

2．(2013·辽宁卷)已知集合A＝{x|04x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)

A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]

解析　经计算A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}． 答案　D

3．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析　a＝3⇒A⊆B，但A⊆B可得a＝2或a＝3，故选A. 答案　A

4．下列结论错误的是(　　)

A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题

B．命题p：∀x∈[0,1]，ex≥1；命题q：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真

C．“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题

D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题

解析　根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题p是真命题，命题q是假命题，故p∨q为真命题，选项B中的结论正确；当m＝0时，a<b⇒am2＝bm2，故选项C中的结论不正确；选项D中的结论正确，故选C. 答案　C

5．函数y＝ax－word/media/image1.gif (a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

解析　当a>1时，y＝ax－word/media/image1.gif为增函数，且在y轴上的截距为0<1－word/media/image1.gif<1，排除A、B.

当0<a<1时，y＝ax－word/media/image1.gif为减函数，且1－word/media/image1.gif<0，D满足． 答案　D

6．已知a＝log23＋log2word/media/image3.gif，b＝log29－log2word/media/image3.gif，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＝b<c B．a＝b>c C．a<b<c D．a>b>c

解析　a＝log23word/media/image3.gif，b＝log23word/media/image3.gif，∴a＝b>1.又c＝log32<1， ∴a＝b>c. 答案　B

7．(2013·重庆卷) word/media/image4.gif (－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9 B. word/media/image5.gif C．3 D. word/media/image6.gif

解析　word/media/image7.gif＝word/media/image8.gif＝word/media/image9.gif，

当a＝－word/media/image10.gif∈[－6,3]时，word/media/image7.gif取得最大值word/media/image5.gif. 答案　B

8．2013年下半年某省市拟联合公选年轻干部，其中省管干部x名，市管干部y名，x和y须满足约束条件word/media/image12.gif则z＝7x＋9y的最大值是(　　)word/media/image11.gif

A．64 B．72 C．90 D．100

解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中的整点)，由目标函数z＝7x＋9y的意义可知当直线z＝7x＋9y过A点时，z取得最大值，此时z＝7×4＋9×8＝100.选D. 答案　D

9. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)

word/media/image13.gifword/media/image14.gif

解析　在区间(0,2)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，符合题意的只有C. 答案　C

10．(理)(2013·江西卷)如图所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧word/media/image16.gif的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)word/media/image15.gif

解析　正三角形的高为1，则边长为word/media/image18.gif，当x＝0时，y＝word/media/image18.gif (0<x<π)，排除B；由平行线分线段成比例知word/media/image19.gif＝word/media/image20.gif，即BE＝word/media/image18.gifword/media/image21.gif，而BE＝CD，故y＝2EB＋BC＝2word/media/image3.gif－word/media/image22.gifcosword/media/image23.gif (0<x<π)，排除A，C，故选D. 答案　D

10．(文)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f(x)＝word/media/image24.gif＋1，g(x)＝alnx，若在x＝word/media/image25.gif处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)

A. word/media/image25.gif B. word/media/image26.gif C．1 D．4

解析　由题意可知f′word/media/image27.gif＝word/media/image26.gifx－word/media/image26.gifword/media/image28.gifx＝word/media/image25.gif＝1，g′word/media/image27.gif＝word/media/image29.gif，可得a＝word/media/image25.gif，经检验，a＝word/media/image25.gif满足题意．答案　A

11．(理)(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝word/media/image30.gif，f(2)＝word/media/image31.gif，则x>0时，f(x)(　　)

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

解析　由x2f′(x)＋2xf(x)＝word/media/image30.gif，得[x2f(x)]′＝word/media/image30.gif，令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝word/media/image30.gif，又f(x)＝word/media/image32.gif，所以f′(x)＝word/media/image33.gif＝word/media/image34.gif，令h(x)＝ex－2g(x)，h′(x)＝ex－2g′(x)＝ex－word/media/image35.gif＝word/media/image36.gif，当0<x<2时，h′(x)<0，当x>2时，h′(x)>0，所以h(x)≥h(2)＝0，即f′(x)≥0，所以当x>0时，f(x)单调递增，f(x)既无极大值也无极小值． 答案　D

11．(文)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)

A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0

解析　依题意得，函数f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，选B. 答案　B

12．(理)(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝word/media/image37.gif若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]

解析　解法一：|f(x)|的图象如图，x>0时，ln(x＋1)>0，x>0时|f(x)|≥ax，即ln(x＋1)>ax，由图可得a≤0；而x≤0时|f(x)|≥ax，即x2－2x≥ax，得a≥x－2恒成立得a≥－2.综上得－2≤a≤0，故选D.word/media/image38.gif

解法二：由图得a>0不成立，故a≤0，结合图象可得，|f(x)|≥ax恒成立，只需a大于等于x2－2x在x＝0处的切线的斜率，即a≥(2x－2)|x＝0，所以a≥－2，得－2≤a≤0. 答案　D

12．(文)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝fword/media/image39.gif，c＝f(3)，则(　　)

A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a

解析　依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<word/media/image26.gif<1，因此有f(－1)<f(0)<fword/media/image39.gif，即有f(3)<f(0)<fword/media/image39.gif，c<a<b，选C. 答案　C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．

13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.

解析　∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1. ∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3.

因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 答案　－1

14．某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝word/media/image40.gifx3－word/media/image41.gifx2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

解析　∵y′＝x2－39x－40，令y′＝0， 即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．

当x>40时，y′>0. 当0<x<40时，y′<0， 所以当x＝40时，y最小． 答案　40

15．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝word/media/image42.gif (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2word/media/image43.gif，则满足条件的实数a的所有值为________．

解析　设Pword/media/image44.gif，其中t>0， PA2＝(t－a)2＋word/media/image45.gif2 ＝t2＋word/media/image46.gif－2aword/media/image47.gif＋2a2，

即PA2＝word/media/image47.gif2－2aword/media/image47.gif＋2a2－2， 令m＝t＋word/media/image48.gif≥2， 所以PA2＝m2－2am＋2a2－2＝(m－a)2＋a2－2，

当PA取得最小值时word/media/image49.gif或word/media/image50.gif解得a＝－1或a＝word/media/image51.gif.答案－1，word/media/image51.gif

16．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有word/media/image52.gif>0，给出下列命题：

①f(3)＝0； ②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；

④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为____ (把所有正确命题的序号都填上)．

解析　取x＝－3，则f(3)＝f(－3)＋f(3)，又y＝f(x)是R上的偶函数，∴f(－3)＝f(3)＝0，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期函数且T＝6，故①②正确；由题意可知f(x)在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f(－3)＝f(3)＝f(9)＝f(－9)＝0，④正确． 答案　①②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．

(1)求a，b的值； (2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．

解　(1)由条件得word/media/image53.gif解得a＝－1，b＝4.

(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．

∴x＝m时，f(x)min＝－m2＋2m＋3＝1， 解得m＝1±word/media/image3.gif.∵m<1，∴m＝1－word/media/image3.gif.

18．(本小题12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1. (1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．

解　(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1. f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x2－4x＋1)＝3(x－2＋word/media/image3.gif)(x－2－word/media/image3.gif)．

当x<2－word/media/image3.gif，或x>2＋word/media/image3.gif时，得f′(x)>0； 当2－word/media/image3.gif<x<2＋word/media/image3.gif时，得f′(x)<0.

因此f(x)递增区间是(－∞，2－word/media/image3.gif)，(2＋word/media/image3.gif，＋∞)； f(x)的递减区间是(2－word/media/image3.gif，2＋word/media/image3.gif)．

(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3， Δ＝36a2－36，由Δ>0得，a>1或a<－1，又x1x2＝1，

可知f′(2)<0，且f′(3)>0， 解得word/media/image54.gif<a<word/media/image55.gif，因此a的取值范围是word/media/image56.gif.

19．(本小题12分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．

(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．

解　(1)f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a. 又f(1)＝a＋1＝c， ∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为y－c＝2a(x－1)，

即y－2ax＋a－1＝0. 又∵g′(x)＝3x2＋b，则g′(1)＝3＋b. 又g(1)＝1＋b＝c，

∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为 y－(1＋b)＝(3＋b)(x－1)，即y－(3＋b)x＋2＝0.

依题意知3＋b＝2a，且a－1＝2，即a＝3，b＝3.

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时， h(x)＝x3＋3x2－9x＋1.h′(x)＝3x2＋6x－9.

令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1. h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：

由此可知， 当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；

当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k的取值范围是(－∞，－3]．

20．(本小题12分)(2013·北京卷)设L为曲线C：y＝word/media/image57.gif在点(1,0)处的切线．

(1)求L的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．

解　(1)设f(x)＝word/media/image57.gif，则f′(x)＝word/media/image58.gif. 所以f′(1)＝1，即L的斜率为1.

又L过点(1,0)，所以L的方程为y＝x－1.

(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝word/media/image59.gif. 当0<x<1时，x2－1<0，lnx<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

21．(本小题12分)(理)(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. (1)求p0的值；

(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ＝0.997 4) (2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

解　(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.

由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝word/media/image26.gif＋word/media/image26.gifP(700<X≤900)＝0.977 2.

(2)设A型、B型车辆的数量分别为x、y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y.

依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.

由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.

于是原问题等价于求满足约束条件word/media/image61.gif且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．word/media/image60.gif

由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距word/media/image62.gif最小，即z取得最小值．

故应配备A型车5辆、B型车12辆．

21．(本小题12分)(文)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解　(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2) word/media/image63.gif.

令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，

在(－2，－ln2)上单调递减．故当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

22．(本小题12分)(理)(2013·辽宁卷)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋word/media/image64.gif＋1＋2xcosx.当x∈[0,1]时，

(1)求证：1－x≤f(x)≤word/media/image65.gif； (2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)·e－x≥(1－x)ex. 记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－e－x)，当x∈(0,1)时，h′(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.

所以f(x)≥1－x，x∈[0, 1]． 要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤word/media/image66.gif，只需证明ex≥x＋1.

记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0,1)时，K′(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，

故K(x)≥K(0)＝0. 所以f(x)≤word/media/image66.gif，x∈[0,1]．综上，1－x≤f(x)≤word/media/image66.gif，x∈[0,1]．

(2)f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－word/media/image67.gif≥1－x－ax－1－word/media/image64.gif－2xcosx＝－xword/media/image68.gif.

设G(x)＝word/media/image69.gif＋2cosx，则G′(x)＝x－2sinx.记H(x)＝x－2sinx，则H′(x)＝1－2cosx，当x∈(0,1)时，H′(x)<0，于是G′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，G′(x)<G′(0)＝0，故G(x)在[0,1]上是减函数．

于是G(x)≤G(0)＝2，从而a＋1＋G(x)≤a＋3. 所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立，

下面证明，当a>－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．

f(x)－g(x)≤word/media/image66.gif－1－ax－word/media/image64.gif－2xcosx＝word/media/image70.gif－ax－word/media/image64.gif－2xcosx＝－xword/media/image71.gif，

记I(x)＝word/media/image66.gif＋a＋word/media/image69.gif＋2cosx＝word/media/image66.gif＋a＋G(x)，则I′(x)＝word/media/image72.gif＋G′(x)，当x∈(0,1)时，I′(x)<0.故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos1，a＋3]．因为当a>－3时，a＋3>0，

所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0，此时f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．

综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．

22．(本小题12分)(文)(2013·浙江十校联考)已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)． (1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝a＋word/media/image42.gif＝word/media/image73.gif (x>0)． ①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，

所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－word/media/image1.gif. 在区间word/media/image74.gif上，f′(x)>0，在区间word/media/image75.gif上，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为word/media/image74.gif，单调递减区间为word/media/image75.gif.

(2)由题意得f(x)max<g(x)max，而g(x)max＝2，由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a<0时，f(x)在word/media/image74.gif上单调递增，在word/media/image75.gif上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，fword/media/image76.gif＝－1＋lnword/media/image76.gif＝－1－ln(－a)，所以2>－1－ln(－a)，解得a<－word/media/image77.gif.

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷专题综合测试高频考点训练1 Word版含解析集合函数