线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

行列式的定义

1. 行列式的计算：

(定义法)

（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若都是方阵（不必同阶）,则

例 计算

解 =

⑤ 关于副对角线：

⑥ 范德蒙德行列式：

例 计算行列式

⑦ 型公式：

⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中

,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.

(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算.

⑩ (数学归纳法)

2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系：

第二部分 矩阵

1. 矩阵的运算性质

2. 矩阵求逆

3. 矩阵的秩的性质

4. 矩阵方程的求解

1. 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.

记作：或

① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.

② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.

③ 矩阵运算

a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.

b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作 或，规定为.

c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，

其中

注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

a. 分块对角阵相乘：,

b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；

c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.

d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

④ 方阵的幂的性质：，

⑤ 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.

a. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 .

是反对称矩阵 .

b. 分块矩阵的转置矩阵：

⑥ 伴随矩阵： ，为中各个元素的代数余子式.

,, .

分块对角阵的伴随矩阵：

2. 逆矩阵的求法 方阵可逆 .

伴随矩阵法 ：

初等变换法

例 求的逆矩阵.

解

分块矩阵的逆矩阵：

④ ,

⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义）

例 设方阵满足矩阵方程, 证明及都可逆, 并求及.

解 由得, 故可逆, 且.

由也可得或, 故可逆, 且

.

3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖

线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，

称为行最简形矩阵

4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换

☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

① 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；

② 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.

注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.

5. 矩阵的秩 关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式 (存在的话) 全部为0；

②、，的阶子式全部为0；

③、，中存在阶子式不为0；

☻矩阵的秩的性质：

① ≥; ;≤≤

②

③

④

⑤ ≤

⑥ 若、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦ 若；

若

⑧ 等价标准型.

⑨ ≤, ≤≤

⑩ ,

☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法

6 矩阵方程的解法()：设法化成

第三部分 线性方程组

1. 向量组的线性表示

2. 向量组的线性相关性

3. 向量组的秩

4. 向量空间

5.线性方程组的解的判定

6. 线性方程组的解的结构（通解）

（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）

（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）

1.线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，

则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.

线性表示的判别定理:

可由的线性表示

由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、有解

②、

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

2. 设的列向量为,的列向量为，

则

，

为的解

可由线性表示.

即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.

同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.

即：

3. 线性相关性

判别方法：

法1

法2

法3

推论

♣ 线性相关性判别法（归纳）

♣ 线性相关性的性质

1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

4 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）

5 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.

6 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.

7 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.

4. 最大无关组相关知识

向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作

矩阵等价 经过有限次初等变换化为.

向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：

1 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.

行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

2 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系

3 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.

向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.

4 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

5 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.

6 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.

7 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

8 设是矩阵,若，的行向量线性无关；

5. 线性方程组理论

线性方程组的矩阵式 向量式

其中

（1）解得判别定理

（2）线性方程组解的性质：

(3) 判断是的基础解系的条件：

① 线性无关；

② 都是的解；

③ .

(4) 求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤

例 求下述方程组的解

解 ,

由于，知线性方程组有无穷多解.

原方程组等价于方程组,

令

求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系

求特解: 令，得 故特解为

所以方程组的通解为 ，（为任意常数）.

（5）其他性质

一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√ 若是的一个解，是的一个解线性无关

√ 与同解（列向量个数相同）, 且有结果：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；

矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.

第四部分 方阵的特征值及特征向量

1. 施密特正交化过程

2. 特征值、特征向量的性质及计算

3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化

1.① 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

② 向量与的内积

③ . 记为：

④ 向量的长度

⑤ 是单位向量 . 即长度为的向量.

2. 内积的性质： ① 正定性：

② 对称性：

③ 线性性：

3. ① 设A是一个n阶方阵, 若存在数和n维非零列向量, 使得

，

则称是方阵A的一个特征值，为方阵A的对应于特征值的一个特征向量.

② 的特征矩阵 （或）.

③ 的特征多项式 （或）.

④ 是矩阵的特征多项式

⑤ ，称为矩阵的迹.

⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.

⑦ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.

⑧ 一定可分解为=、,从而的特征值

为：, .

为各行的公比，为各列的公比.

⑨ 若的全部特征值，是多项式,则:

① 若满足的任何一个特征值必满足

②的全部特征值为；.

⑩ 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.

4. 特征值与特征向量的求法

(1) 写出矩阵A的特征方程，求出特征值.

(2) 根据得到 A 对应于特征值的特征向量.

设的基础解系为 其中.

则A 对应于特征值的全部特征向量为

其中为任意不全为零的数.

例 求的特征值和全部特征向量.

解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.

解得特征值为

第二步：对每个特征值代数齐次线性方程组，求其非零解,即对应于特征值的全部特征向量.

当 时，齐次线性方程组为,系数矩阵

得基础解系:，故对应于特征值的全部特征向量为.

当 时，齐次线性方程组为,系数矩阵

得基础解系:，.

故对应于特征值的全部特征向量为 ， 其中不全为零.

5. ① 与相似 （为可逆矩阵）

② 与正交相似 （为正交矩阵）

③ 可以相似对角化 与对角阵相似.（称是的相似标准形）

6. 相似矩阵的性质：

①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

是关于的特征向量,是关于的特征向量.

②

③ 从而同时可逆或不可逆

④

⑤若与相似, 则的多项式与的多项式相似.

7. 矩阵对角化的判定方法

① n 阶矩阵A可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.

设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

.

② 可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.

：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.

③ 若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.

8. 实对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

② 不同特征值对应的特征向量必定正交；

：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

③ 一定有个线性无关的特征向量. 若有重的特征值,该特征值的重数=；

④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；

⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；

⑥ 两个实对称矩阵相似有相同的特征值.

9. 正交矩阵

正交矩阵的性质：① ；

② ；

③ 正交阵的行列式等于1或-1；

④ 是正交阵,则，也是正交阵；

⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥ 的行（列）向量都是单位正交向量组.

10.

例 实对称阵，求正交阵，使得为对角阵.

解

所以A的特征值为，，，

当时，解，得基础解系为

当时，解，得基础解系为

当时，解，得基础解系为

令

令，则

11. 施密特正交规范化 线性无关,

单位化：

技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.

第四部分 二次型

1. 二次型及其矩阵形式

2. 二次型向标准形转化的三种方式

3. 正定矩阵的判定

1. ① 二次型

其中为对称矩阵，

② 与合同 . （）

③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数

符号差 (为二次型的秩)

④ 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.

⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：与等价

⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：

2. 经过 化为标准形.

① 正交变换法

② 配方法

（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，

直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;

（2） 若二次型中不含有平方项，但是 (), 则先作可逆线性变换

,

化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.

③ 初等变换法

3. 正定二次型 不全为零，.

正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

4. 为正定二次型（之一成立）：

（1） ，；

（2）的特征值全大于；

（3）的正惯性指数为；

（4）的所有顺序主子式全大于；

（5）与合同，即存在可逆矩阵使得；

（6）存在可逆矩阵，使得；

5. （1）合同变换不改变二次型的正定性.

（2） 为正定矩阵 ； .

（3） 为正定矩阵也是正定矩阵.

（4） 与合同，若为正定矩阵为正定矩阵

（5） 为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.

6. 半正定矩阵的判定

一些重要的结论

：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.

√ 关于：

称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

线性无关；

；

④；

⑤任意一个维向量都可以用线性表示.

线性代数知识点归纳同济第五版