数学精品复习资料

山东省济宁市兖州市中考数学一模试卷

一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分

1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）

A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3

2．计算﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）的结果是（　　）

A．x﹣2y B．x+2y C．﹣x﹣2y D．﹣x+2y

3．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）

A．两点确定一条直线

B．两点之间线段最短

C．垂线段最短

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

4．函数y=+中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1

5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（　　）

A．5 B．100 C．500 D．10000

7．下列二次根式中的最简二次根式是（　　）

A． B． C． D．

8．如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（　　）

A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤

9．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

10．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）

A．8 B．12 C． D．

二、填空题：本大题5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果

11．端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖　　　　　　元．

12．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为　　　　　　cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．

13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=　　　　　　．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为　　　　　　．

15．已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是　　　　　　．

三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤

16．计算：2cos45°﹣（π+1）0++（）﹣1．

17．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

（1）求证：BE=CE．

（2）求∠BEC的度数．

18．为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（3）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．

19．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数．

（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；

（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．

20．【发现】

如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

【思考】

如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？

请证明点D也不在⊙O内．

【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：

若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的长．

21．一次函数y=﹣x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2+4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标．

（2）设二次函数图象的顶点为D．

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．

②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

山东省济宁市兖州市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分

1．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）

A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3

【考点】有理数大小比较．

【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．

【解答】解：∵正数和0大于负数，

∴排除2和3．

∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，

∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，

∴﹣4＜﹣2＜﹣1．

故选：A．

【点评】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．

2．计算﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）的结果是（　　）

A．x﹣2y B．x+2y C．﹣x﹣2y D．﹣x+2y

【考点】整式的加减．

【专题】计算题．

【分析】原式去括号合并即可得到结果．

【解答】解：原式=﹣3x+6y+4x﹣8y=x﹣2y，

故选：A．

【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）

A．两点确定一条直线

B．两点之间线段最短

C．垂线段最短

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【考点】直线的性质：两点确定一条直线．

【专题】应用题．

【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．

【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．

故选：A．

【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．

4．函数y=+中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，

解得：x≤2且x≠1．

故选：B．

【点评】本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【考点】扇形面积的计算．

【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．

【解答】解：∵正方形的边长为3，

∴弧BD的弧长=6，

∴S扇形DAB==×6×3=9．

故选D．

【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=．

6．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（　　）

A．5 B．100 C．500 D．10000

【考点】用样本估计总体．

【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件10000件，直接相乘得出答案即可．

【解答】解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，

∴次品所占的百分比是：，

∴这一批次产品中的次品件数是：10000×=500（件），

故选C．

【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键．

7．下列二次根式中的最简二次根式是（　　）

A． B． C． D．

【考点】最简二次根式．

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；

B、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；

C、原式=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；

D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；

故选：A

【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

8．如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（　　）

A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵﹣=﹣2，

∴b=4a，ab＞0，

∴①错误，④正确，

∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，

∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，

∴②⑤正确，

∵当x=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，

∴③错误，

故正确的有②④⑤．

故选：B．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用

9．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（　　）

A．11 B．12 C．13 D．14

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．

【解答】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，

由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：

故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答的关键．

10．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（　　）

A．8 B．12 C． D．

【考点】圆的综合题．

【专题】压轴题．

【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．

【解答】解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，

即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，

过C作CM⊥AB于M，连接AC，

则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，

∴5×CM=4×1+3×4，

∴CM=，

∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，

∴△PAB面积的最大值是×5×=，

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．

二、填空题：本大题5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果

11．端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖　a　元．

【考点】列代数式．

【分析】8折=80%，把原价当作单位“1”，则现价是原价的80%，根据分数除法的意义原价是：a÷80%=，得结果．

【解答】解：8折=80%，

a÷80%=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了打折问题，找准单位“1”，弄清各种量的关系是解答此题的关键．

12．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为　14.1　cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．

【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，

∵BC=BD，∠CBD=40°，

∴∠CBE=20°，

在Rt△CBE中，cos∠CBE=，

∴BE=BC•cos∠CBE

=15×0.940

=14.1cm．

故答案为：14.1．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．

13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=　2015　．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．

【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，

即a+b=2015．

故答案是：2015．

【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为　6+2　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】压轴题．

【分析】设E（x，x），则B（2，x+2），根据反比例函数系数的几何意义得出x2=x（x+2），求得E的坐标，从而求得k的值．

【解答】解：设E（x，x），

∴B（2，x+2），

∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B、E．

∴x2=2（x+2），

解得x1=1+，x2=1﹣（舍去），

∴k=x2=6+2，

故答案为6+2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上点与反比例函数中系数k的关系．

15．已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是　（4031，）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】规律型．

【分析】根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定出点B的位置，然后求出翻转前进的距离，过点B作BG⊥x于G，求出∠BAG=60°，然后求出AG、BG，再求出OG，然后写出点B的坐标即可．

【解答】解：∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，

∴每6次翻转为一个循环组循环，

∵2015÷6=335余5，

∴经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，

∵A（﹣2，0），

∴AB=2，

∴翻转前进的距离=2×2015=4030，

如图，过点B作BG⊥x于G，则∠BAG=60°，

所以，AG=2×=1，

BG=2×=，

所以，OG=4030+1=4031，

所以，点B的坐标为（4031，）．

故答案为：（4031，）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正六边形的性质，确定出最后点B所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形．

三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤

16．计算：2cos45°﹣（π+1）0++（）﹣1．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2×﹣1++2=+．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

（1）求证：BE=CE．

（2）求∠BEC的度数．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；

（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°

∵三角形ADE为正三角形

∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°

∴∠BAE=∠CDE=150°

在△BAE和△CDE中，

∴△BAE≌△CDE

∴BE=CE；

（2）∵AB=AD，AD=AE，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

又∵∠BAE=150°，

∴∠ABE=∠AEB=15°，

同理：∠CED=15°

∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．

【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．

18．为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（3）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．

【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．

【分析】（1）分式方程中的销售问题，题目中有两个相等关系，①每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等，用第一个相等关系，设每台空调的进价为m元，表示出每台电冰箱的进价为（m+400）元，用第二个相等关系列方程， =．

（2）销售问题中的确定方案和利润问题，题目中有两个不等关系，①要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，②总利润不低于13000元，根据题意设出设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，列出不等式组，确定出购买电冰箱的台数的范围，从而确定出购买方案，再利用一次函数的性质确定出，当x=34时，y有最大值，即可．

【解答】解：（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价为（m+400）元，

根据题意得： =，

解得：m=1600

经检验，m=1600是原方程的解，

m+400=1600+400=2000，

答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．

（2）设购进电冰箱x台（x为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，

则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，…

根据题意得：，

解得：33≤x≤40，

∵x为正整数，

∴x=34，35，36，37，38，39，40，

∴合理的方案共有7种，

即①电冰箱34台，空调66台；

②电冰箱35台，空调65台；

③电冰箱36台，空调64台；

④电冰箱37台，空调63台；

⑤电冰箱38台，空调62台；

⑥电冰箱39台，空调61台；

⑦电冰箱40台，空调60台；

∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），

答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．

【点评】本题是一次函数的应用题，主要考查了列分式方程解应用题，列不等式组，确定方案，涉及的知识点有，列分式方程=，列不等式组，一次函数的性质，由y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，得出y随x的增大而减小，解本题的关键是找出题目中相等和不等关系，本题容易丢掉分式方程的检验．

19．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数．

（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；

（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值．

【考点】作图—应用与设计作图．

【专题】作图题．

【分析】（1）利用格点图形的定义结合三角形以及平行四边形面积求法得出即可；

（2）利用已知图形，结合S=ma+nb﹣1得出关于m，n的关系式，进而求出即可．

【解答】解：（1）如图所示：

；

（2）∵格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb﹣1，其中m，n为常数，

∴三角形：S=3m+8n﹣1=6，平行四边形：S=3m+8n﹣1=6，菱形：S=5m+4n﹣1=6，

则，

解得：．

【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及三角形、平行四边形面积求法和二元一次方程组的解法，正确得出关于m，n的方程组是解题关键．

20．【发现】

如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

【思考】

如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？

请证明点D也不在⊙O内．

【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：

若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的长．

【考点】圆的综合题．

【专题】压轴题．

【分析】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；

【应用】（1）作出RT△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；

（2）根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形ACGD是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．

【解答】解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，

∵∠ADB是△BDE的外角，

∴∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，

所以点D也不在⊙O内，

所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；

【应用】

（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，

∵∠CAD=∠DEC=90°，

∴点E在⊙O上，

∴∠ACD=∠AED，

∵∠FDA=∠AED，

∴∠ACD=∠FDA，

∵∠DAC=90°，

∴∠ACD+∠ADC=90°，

∴∠FDA+∠ADC=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）∵∠BGE=∠BAC，

∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，

又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，

∴点G在⊙O上，

∵CD是直径，

∴∠DGC=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADG=90°

∵∠DAC=90°

∴四边形ACGD是矩形，

∴DG=AC，

∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，

∴sin∠ACD=，

在RT△ACD中，AD=1，

∴CD=，

∴AC==，

∴DG=．

【点评】本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．

21．一次函数y=﹣x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2+4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标．

（2）设二次函数图象的顶点为D．

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．

②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可知x=﹣2，将x=﹣2代入y=x得：y==，从而可知点C的坐标为（﹣2，）；

（2）①根据关于x轴对称的点的坐标特点可知D（﹣2，），从而得到CD=3，然后三角形的面积公式可求得CD边上的高，故此可知得到点A的横坐标为0，从而可知点A的坐标为（0，0），设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，将（0，0）代入得：a=．抛物线的解析式为y=；

②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．设点D的坐标为（﹣2，m），则CD=|m﹣|，由△ACD的面积为10，可知=10，从而求得：m=6.5或m=﹣3.5，故此可求得点D与点A的坐标，最后利用待定系数法求解即可．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴方程为x=﹣，

∴抛物线的对称轴为x=﹣=﹣2．

∵将x=﹣2代入y=x得：y==，

∴点C的坐标为（﹣2，）．

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，

∴点D的坐标为（﹣2，）．

∴CD=3．

设点A的横坐标为x，则点A到CD的距离=（x+2）．

∵△ACD的面积等于3，

∴=3．

解得：x=0．

将x=0代入y=﹣x得：y=0．

∴点A的坐标为（0，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，将（0，0）代入得；4a﹣=0，解得：a=．

∴抛物线的解析式为y=．

②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．

设点D的坐标为（﹣2，m），则CD=|m﹣|．

∵DC=AC，

∴AC=|m﹣|．

∵EA∥x轴，

∴∠COF=∠CAE．

∴AE=AC=||．

∵△ACD的面积为10，

∴=10，即=10．

解得：m=6.5或m=﹣3.5．

当m=6.5时，点D的坐标为（﹣2，6.5）．

AE=×（6.5﹣1.5）=4．

∴点A的横坐标为﹣2+4=2．

将x=2代入y=﹣得；y==﹣．

∴点A的坐标为（2，﹣）．

设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+6.5，将点A的坐标代入得：16a+6.5=﹣1.5．

解得：a=﹣．

∴抛物线的解析式为y=．

当m=﹣3.5时，点D的坐标为（﹣2，﹣3.5）．

AE==4．

∴点A的坐标为（2，﹣）．

设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣3.5，将点A的坐标代入得：16a﹣3.5=﹣1.5．

解得：a=．

∴抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3.5．

【点评】本题主要考查的是一次函数、二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象的性质、关于x轴对称点的坐标特点、三角形的面积公式，根据三角形的面积公式列出关于m的方程是解题的关键．

2019年山东省济宁市兖州市中考数学一模试卷（含答案）