4.5 相似三角形的性质及其应用(3)

(见A本47页)

A　练就好基础　基础达标

1．已知一棵树的影长是30 m，同一时刻一根长1.5 m的标杆的影长为3 m，则这棵树的高度是(　A　)

A．15 m B．60 m C．20 m D．10 m

2．如图所示，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度．设＝＝m，且量得CD＝b，则内槽的宽AB等于(　A　)

A．mb　　 B.　　 C.　　 D.

word/media/image8_1.png第2题图

　　　　　word/media/image9_1.png第3题图

3．2017·南岗一模如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为(　C　)

A．30 m B．35 m C．40 m D．50 m

4．如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球的击球的高度h为__1.4__ m.

word/media/image10_1.png第4题图

5．在一张比例尺是1∶500000的地图上，一三角形地块的周长是36 cm，面积是58 cm2，则这块地的实际周长是__180__km，实际面积是__1450__km2.

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第6题图

6．南州中考如图是小明设计用手电来测量古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是__8__m.

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第7题图

7．幼儿园购买了一个板长AB为4 m、支架OC高0.8 m的跷跷板(如图所示)，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4 m的车库里，准备改装. 现有几个小朋友把板的一端A按到地面上．

(1)板的另一端B会不会碰到车库的顶部？

(2)能否通过移动支架，使B点恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由．

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第7题答图

解：(1)过点B作BD⊥AC的延长线于点D.

∵OC⊥AC，∴OC∥BD，

∴△AOC∽△ABD，

∴＝，

∵AO＝OB＝2，OC＝0.8，

∴BD＝1.6 m＜2.4 m.

∴板的另一端B不会碰到车库顶部．

(2)能．

∵由已知得BD＝2.4 m，∴＝，即＝，

∴AO＝m.

即此时支点O距离A点m.

B　更上一层楼　能力提升

8．如图所示，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的两点，且BE＝2AE，FC＝2AF，若△AEF的面积为3，则四边形EBCF的面积为(　C　)

A．12 B．18 C．24 D．27

word/media/image19_1.png第8题图

　　　　　word/media/image20_1.png第9题图

9．舟山中考如图所示，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是__7__．

10．某校八(1)班的一节数学活动课安排同学们测量操场上悬挂国旗的旗杆高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中BO＝60 m，OD＝3.4 m，CD＝1.7 m；乙组测得图中CD＝1.5 m，同一时刻影长FD＝0.9 m，EB＝18 m；丙组测得图中EF∥AB，FH∥BD，BD＝90 m，EF＝0.2 m，人的臂长(FH)为0.6 m．请你任选一种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度．

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第10题图

解：选择甲组方案计算：

在△ABO和△CDO中，

∵∠ABO＝∠CDO＝90°，∠COD＝∠AOB，

∴△ABO∽△CDO，∴＝，∴AB＝，

又∵BO＝60 m，OD＝3.4 m，CD＝1.7 m，

∴AB＝30 m，即该校的旗杆高度为30 m.

选择乙组方案计算：

连结AE，CF，在△ABE和△CDF中，∵∠ABE＝∠CDF＝90°，∠AEB＝∠CFD，∴△ABE∽△CDF，∴＝，

又CD＝1.5 m，FD＝0.9 m，EB＝18 m，∴AB＝30 m，即该校的旗杆高度为30 m.

选择丙组方案计算：

由FH∥BD，可得∠CFH＝∠CBD，∠FCH＝∠BCD，∴△CFH∽△CBD，∴＝，又EF∥AB，可得∠FEC＝∠BAC，∠FCE＝∠BCA，∴△CFE∽△CBA，∴＝，∴＝，又BD＝90 m，EF＝0.2 m，FH＝0.6 m，∴AB＝30 m，即该校的旗杆高度为30 m.

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第11题图

11．如图所示，抛物线y＝－(x－1)2＋4与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线另一点D，连结AC，DE∥AC交边CB于点E.

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求△CDE与△BAC的面积之比．

解：(1)令y＝0，

则－(x－1)2＋4＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)．

(2)∵CD∥AB，DE∥AC，

∴△CDE∽△BAC.

∵当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴CD＝2.

∵AB＝4，∴＝，

∴＝＝.

C　开拓新思路　拓展创新

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第12题图

12．2017·黄石二模如图所示，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为__7＋__米．(结果保留根号)

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第13题图

13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连结PQ.

(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

(2)连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

解：根据勾股定理，得BA＝＝10 cm.

(1)分两种情况讨论：

①当△BPQ∽△BAC时，＝，

∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，

∴＝，解得t＝1.

②当△BPQ∽△BCA时，＝，

∴＝，解得t＝.

∴t＝1秒或秒时，△BPQ∽△BCA.

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第13题答图

(2)过P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于点N，如图所示，

则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，

∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

∵∠ACQ＝∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴＝，∴＝，解得t＝.

2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用(3)练习（新版）浙教版