沈阳铁路实验中学2014~2015学年度下学期期中试题

高二数学（理）

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

复数word/media/image1_1.png等于（ ）

A．4i B.-4i C.4 D.-4

设word/media/image2_1.png，则word/media/image3_1.png

A.word/media/image4_1.png B.word/media/image5_1.png

C.word/media/image6_1.png D.word/media/image7_1.png

若word/media/image8_1.png（word/media/image9_1.png为虚数单位），则word/media/image10_1.png的共轭复数为（ ）

A.word/media/image11_1.png B.word/media/image12_1.png C.word/media/image13_1.png D.word/media/image14_1.png

曲线f(x)=x3－2x+1在点(1, 0)处的切线方程为（ ）

A．y=－x+1 B．y=x－1 C．y=2x－2 D．y=－2x+2

函数word/media/image15_1.png的图象如下图所示，则导函数word/media/image16_1.png的图象的大致形状是（ ）

word/media/image19_1.png在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

word/media/image20_1.png

word/media/image21_1.pngword/media/image22_1.png

word/media/image23_1.png

1 3 6 10 15

则第word/media/image24_1.png个三角形数为（ ）

A.word/media/image25_1.png Bword/media/image26_1.png C.word/media/image27_1.png D.word/media/image28_1.png

如图所示，由函数 word/media/image29_1.png与函数 word/media/image30_1.png在区间word/media/image31_1.png上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．word/media/image33_1.png B．word/media/image34_1.png C．word/media/image35_1.png D．word/media/image36_1.png

已知复数word/media/image37_1.png（word/media/image38_1.png为虚数单位）为纯虚数数，则word/media/image39_1.png的为

A．word/media/image40_1.png B．word/media/image41_1.png C．word/media/image42_1.png D．word/media/image43_1.png

已知函数f(x)=word/media/image44_1.png在[1,+∞]上为减函数，则a的取值范围是（ ）

A．word/media/image45_1.png　 B.word/media/image46_1.png C.word/media/image47_1.png　　 D.word/media/image48_1.png

己知函数word/media/image49_1.png是定义域为R的奇函数，且word/media/image50_1.png，word/media/image51_1.png的导函数word/media/image52_1.png的图象如图所示。若正数word/media/image53_1.png满足word/media/image54_1.png，则word/media/image55_1.png的取值范围是（ ）

A．word/media/image57_1.png B．word/media/image58_1.png C．word/media/image59_1.png D．word/media/image60_1.png

已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0) B.word/media/image61_1.png C．(0,1) D．(0，＋∞)

定义在word/media/image62_1.png上的函数word/media/image63_1.png，word/media/image64_1.png是它的导函数，且恒有word/media/image65_1.png成立，则 A．word/media/image66_1.png B．word/media/image67_1.png

C．word/media/image68_1.png D．word/media/image69_1.png

二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）

设word/media/image70_1.png是虚数单位，则word/media/image71_1.png等于

函数word/media/image72_1.png在word/media/image73_1.png上的单调递增区间为

设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝word/media/image74_1.png，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于

已知函数word/media/image75_1.png，则word/media/image76_1.png的极大值为 .

三、解答题（共6小题，共计60分）

（10分） (1) 设word/media/image77_1.png≥word/media/image78_1.png＞0,求证：word/media/image79_1.png≥word/media/image80_1.png

(2)已知word/media/image81_1.png中至少有一个小于2。

（12分）函数word/media/image82_1.png的图像在点P(1,0)处的切线斜率为2.

（1）求a,b的值；（2）证明：word/media/image83_1.png对任意正实数x恒成立。

（12分）设函数word/media/image84_1.png. (1) 求曲线word/media/image85_1.png在word/media/image86_1.png处的切线方程；

(2) 求word/media/image87_1.png的单调区间与极值. (3)若方程word/media/image88_1.png有实数解,求实数word/media/image89_1.png的范围。

（12分）已知函数word/media/image90_1.png

（Ⅰ）若word/media/image91_1.png在区间上word/media/image92_1.png是增函数，求实数word/media/image93_1.png的取值范围；

（Ⅱ）若word/media/image94_1.png是word/media/image95_1.png的极值点，求word/media/image95_1.png在word/media/image96_1.png上的最大值和最小值.

（12分）观察下列等式

word/media/image97_1.png 第一个式子

word/media/image98_1.png 第二个式子

word/media/image99_1.png 第三个式子

word/media/image100_1.png 第四个式子

照此规律下去

（Ⅰ）写出第word/media/image101_1.png个等式；

（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

（12分）已知函数word/media/image102_1.png.

（1）设函数word/media/image103_1.png，求函数word/media/image104_1.png的单调区间；

（2）若word/media/image105_1.png，在word/media/image106_1.png上存在一点word/media/image107_1.png，使得word/media/image108_1.png成立，求word/media/image109_1.png的取值范围.

2014-2015高二下学期期中考试答案

D

A

A

B

D

B

D

A

D

B

B

D

word/media/image110_1.png

word/media/image111_1.png

word/media/image112_1.png

word/media/image113_1.png

【解析】

试题分析：因word/media/image114_1.png，所以word/media/image115_1.pngword/media/image116_1.png故word/media/image117_1.png，易知当word/media/image118_1.png时word/media/image119_1.png，当word/media/image120_1.png时word/media/image121_1.png，所以word/media/image122_1.png是其极大值点，故word/media/image123_1.png

（10分） (1) 设word/media/image77_1.png≥word/media/image78_1.png＞0,求证：word/media/image79_1.png≥word/media/image80_1.png

(2)已知word/media/image81_1.png中至少有一个小于2。

【解析】

试题分析：【1】先作差然后利用综合法的思想证明即可。word/media/image124_1.png

因为word/media/image77_1.png≥word/media/image78_1.png＞0,所以word/media/image125_1.png≥0，word/media/image126_1.png＞0，从而word/media/image127_1.png≥0，

即word/media/image79_1.png≥word/media/image80_1.png

【2】证明：假设word/media/image128_1.png 都不小于2，则word/media/image129_1.png

因为word/media/image130_1.png，所以word/media/image131_1.png，word/media/image132_1.png即word/media/image133_1.png，

这与已知word/media/image134_1.png相矛盾，故假设不成立。综上word/media/image128_1.png中至少有一个小于2。

（12分）函数word/media/image82_1.png的图像在点P(1,0)处的切线斜率为2.

（1）求a,b的值；（2）证明：word/media/image83_1.png对任意正实数x恒成立。

【解析】

试题解析：由题设，y＝f（x）在点P（1，0）处切线的斜率为2．

∴word/media/image135_1.png解之得word/media/image136_1.png 6分

因此实数a，b的值分别为－1和3．

（2）证明 word/media/image137_1.png （x>0）．

设g（x）＝f（x）－（2x－2）＝2－x－word/media/image138_1.png＋3ln x，

则g′（x）＝－1－2x＋word/media/image139_1.png＝－word/media/image140_1.png．

当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．

∴g（x）在 （0，1）上单调递增；在（1，＋∞）上单调递减．

∴g（x）在x＝1处有最大值g（1）＝0，

∴f（x）-（2x-2）≤0，即f（x）≤2x-2，得证 12分

考点：利用导数研究函数切线及最值

（12分）设函数word/media/image84_1.png.

(1) 求曲线word/media/image85_1.png在word/media/image86_1.png处的切线方程；

(2) 求word/media/image87_1.png的单调区间与极值.

(3)若方程word/media/image88_1.png有实数解,求实数word/media/image89_1.png的范围。

【解析】

（1）2ex-y-e=0

(2)word/media/image141_1.png.令word/media/image142_1.png,得word/media/image143_1.png;

列表如下

word/media/image154_1.png的单调递减区间是word/media/image145_1.png,单调递增区间是word/media/image147_1.png

word/media/image155_1.png极小值=word/media/image156_1.png

(3) word/media/image157_1.png

（12分）已知函数word/media/image90_1.png

（Ⅰ）若word/media/image91_1.png在区间上word/media/image92_1.png是增函数，求实数word/media/image93_1.png的取值范围；

（Ⅱ）若word/media/image94_1.png是word/media/image95_1.png的极值点，求word/media/image95_1.png在word/media/image96_1.png上的最大值和最小值.

【答案】（1）函数word/media/image90_1.png求导得word/media/image158_1.png，word/media/image91_1.png在区间上word/media/image92_1.png是增函数，则word/media/image159_1.png在word/media/image92_1.png恒成立，即word/media/image160_1.png在word/media/image92_1.png恒成立，word/media/image161_1.png，word/media/image162_1.png在word/media/image92_1.png为增函数，则word/media/image163_1.png，word/media/image164_1.png

（2）word/media/image158_1.png，word/media/image94_1.png是word/media/image95_1.png的极值点，则word/media/image165_1.png，解得word/media/image166_1.png，word/media/image167_1.png，word/media/image168_1.png，

word/media/image169_1.png，word/media/image170_1.png变化如下表：

所以word/media/image181_1.png，word/media/image182_1.png

【解析】word/media/image91_1.png在区间上word/media/image92_1.png是增函数，转化为导函数大于等于0在word/media/image92_1.png恒成立解；(2)根据word/media/image94_1.png是word/media/image95_1.png的极值点，求出a的值，然后求在word/media/image96_1.png上的最大值和最小值。

（12分）观察下列等式

word/media/image97_1.png 第一个式子

word/media/image98_1.png 第二个式子

word/media/image99_1.png 第三个式子

word/media/image100_1.png 第四个式子

照此规律下去

（Ⅰ）写出第word/media/image101_1.png个等式；

（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

【解析】

（Ⅰ）第word/media/image101_1.png个等式word/media/image183_1.png

（Ⅱ）猜测第word/media/image184_1.png个等式为word/media/image185_1.png

证明：（1）当word/media/image186_1.png时显然成立；

（2）假设word/media/image187_1.png时也成立，

即有word/media/image188_1.png

那么当word/media/image189_1.png时左边word/media/image190_1.png

word/media/image191_1.png

而右边word/media/image192_1.png

这就是说word/media/image189_1.png时等式也成立．

根据（1）（2）知，等式对任何word/media/image193_1.png都成立．

已知函数word/media/image102_1.png.

（1）设函数word/media/image103_1.png，求函数word/media/image104_1.png的单调区间；

（2）若word/media/image105_1.png，在word/media/image106_1.png上存在一点word/media/image107_1.png，使得word/media/image108_1.png成立，求word/media/image109_1.png的取值范围.

【解析】

（1）word/media/image194_1.png，定义域为word/media/image195_1.png，

word/media/image196_1.png 1分

①当word/media/image197_1.png，即word/media/image198_1.png时，令word/media/image199_1.png，word/media/image200_1.png

令word/media/image201_1.png，word/media/image202_1.png 2分

②当word/media/image203_1.png，即word/media/image204_1.png时，word/media/image199_1.png恒成立， 3分

综上：当word/media/image198_1.png时，word/media/image205_1.png在word/media/image206_1.png上单调递减，在word/media/image207_1.png上单调递增．

当word/media/image208_1.png时，word/media/image205_1.png在word/media/image209_1.png上单调递增． 4分

（2）由题意可知，在word/media/image210_1.png上存在一点word/media/image211_1.png，使得word/media/image108_1.png成立，

即在word/media/image210_1.png上存在一点word/media/image211_1.png，使得word/media/image212_1.png，

即函数word/media/image213_1.png在word/media/image210_1.png上的最小值word/media/image214_1.png． 5分

由第（2）问，①当word/media/image215_1.png，即word/media/image216_1.png时，word/media/image217_1.png在word/media/image210_1.png上单调递减，

word/media/image218_1.png，word/media/image219_1.png，

word/media/image220_1.png，word/media/image221_1.png； 7分

②当word/media/image222_1.png，即word/media/image223_1.png时，word/media/image224_1.png在word/media/image210_1.png上单调递增，

word/media/image225_1.png，word/media/image226_1.png 9分

③当word/media/image227_1.png，即word/media/image228_1.png时，

word/media/image229_1.png

word/media/image230_1.png ，word/media/image231_1.png，word/media/image232_1.png

此时不存在word/media/image233_1.png使word/media/image234_1.png成立． 11分

综上可得所求word/media/image235_1.png的范围是：word/media/image236_1.png或word/media/image237_1.png． 12分

辽宁省沈阳市铁路实验中学2014 - 2015学年高二数学下学期期中试题理