961代數學(一) 課程計劃 （961al） 九十六學年度第一學期

詹勳國 五育樓四樓系辦公室, 電話：08 722 6141 轉6200

hchan@mail.npue.edu.tw

教材： 上學年95學年度代數的教科書使用第7版John B. Fraleigh 所寫的A first Course In Abstract Algebra。

這學年[96學年]的代數用書將試用一種新的趨勢，使用網路免費的、公開的PDF檔做為代數用書，感謝這些學者的用心，這是另一種網路免費分享的概念，對於冷門的理論領域與高價位的原文書，確實有存在的必要。經過搜尋，發現有2個網站整理相關資料：http://www.math.gatech.edu/~cain/textbooks/onlinebooks.html 、與 http://us.geocities.com/alex_stef/mylist.html ，同學可以上這2個網站搜尋自己需要的資料，例如，其他數學課的相關資料。

其中查到(1)Edwin H. Connell 教授, University of Miami, Department of Mathematics 所提供的Elements of Abstract and Linear Algebra、

http://www.math.miami.edu/~ec/book/ 與

(2) W. Edwin Clark 教授， Mathematics Department of the University of South Florida 所寫的 ELEMENTARY ABSTRACT ALGEBRA、 http://www.math.usf.edu/~eclark/

(3) Robert B. Ash 教授 Dept. of Mathematics, University of Illinois 所寫的 Abstract Algebra: The Basic Graduate Year http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ 。

這門課將利用以上3本作為主要教科書。請同學不要將整本書印出，等教到再印，或者以筆記代替。

老師當眼線 抓非法影印教科書　台科大二手書局 廉價交換課本　二手教科書平台 學子取所需

2007/09/17 報導記者：鍾玲芸

>>>台視網站「發掘網頁」首頁<<<

大學才開學，教育部立刻就下了通令，要求各大學要嚴格執行非法教科書影印，還要請老師在課堂上當眼線，適時的制止學生使用非法影印教科書，學校的執行績效也將正式列入評鑑的範圍.

原本大學開學第一週，根據以往的經驗，應該是影印店最忙碌的時候，但是這樣的情景已經沒了，老闆透露，因為檢察官抓得緊，現在生意已經大不如前. 抓學生非法影印教科書，不僅在學校外的影印店要嚴格執行，現在教育部更是明確下令，要請老師在課堂上適時的宣導或是制止學生使用影印教科書，推動情況，將列入學校評鑑項目．也就是說，要老師在課堂上扮演起眼線的角色. 事實上，非法影印教科書之所以這麼嚴重，實在也是因為原文書太貴了，如果不能影印，該如何花小錢買書呢？ 這一小小的房間， 就是台灣科技大學所謂的二手書交易集散地， 學生在這裡可以撿到便宜的教科書. 除了二手書店，也有學生在網路上買到舊書，為了遏止影印歪風，建立健全的二手書平台，似乎可說是最有效的方法之一．

禁印教科書　學生反彈唉唉叫　怒斥「怎麼不去抓盜版」

2007年 09月 17日 14:38 ╱ 壹蘋果網絡

針對教育部通令各大專院校，禁止學生影印教科書，否則還要記過，還要求各級學校老師做到監督的責任，學生對此感到相當不滿，還有人回嗆，怎麼不去抓盜版比較實在！

教科書上不了幾頁，原文書又太貴，不少大學生都會集資合買一本，再用影印的方式看書，但是現在這種方式可行不通了，因為教育部已經發函給各大專院校，要求教科書不能影印超過2/3，要用就得買一本！這樣的方式引發學生反彈，有學生認為，上課不會用到一整本，只挑幾個章節上，一門課就要參考好幾本書目，這樣買實在太浪費錢！也有大學生認為教育部這種做法很無聊，沒事做，還不如拿這些精力去抓盜版光碟和CD還比較實在！

教育部強調　影印2/3以下不算違法

雖然教育部強調，如果影印的內容，是在全書的三分之二以下不算違法，針對學生經濟壓力過重，目前也要求各學校訂定清寒學生的獎助辦法，以及二手書的交易平台，但大學才剛開學，教育部就丟出這個震撼彈，恐怕誰都還來不及反應。

非法影印教科書 小心被記過！

2007-09-17 11:06／陳映竹

開學了！大學生為了省下一本動輒上千元的原版原文教科書，幾乎人手一本非法影印課本，為了改善校園中非法影印教科書的猖獗現況，教育部首度行文各大學，老師有責任「制止」學生使用非法的影印教科書，如果屢勸不聽，還可能記過處分。

但弱勢學生也別擔心，教育部將鼓勵學校建立「二手書平台」，各校的圖書館也會多添購基礎學科的書籍。

（陳映竹報導）

大學生可別再為了省錢，捨棄原版教科書轉而購買非法的影印教科書。

教育部在九十六學年新學期提出「遏止校園非法影印具體措施建議方案」，以保護教科書的智慧財產權。

未來老師的授課大綱上不只加註「不得非法影印的警語」，還身兼第一線的監察員，查看學生是否公開在課堂上大喇喇使用影印教科書，屢勸不聽，很可能送往獎懲委員會處分。

教育部高教司長何卓飛表示，各校的實行成績也將作為未來的評鑑指標，以及私立學校獎補助經費分配參考，他舉例，像是中原大學、元智大學、逢甲大學等校的實行成效就不錯。

為了考量經濟弱勢學生，教育部表示學校有責任辦理制度化的二手書平台，並且成立專責單位集體訂購書籍、讓學生用低價買書；學校的圖書館也應該整合各系所每學期的書單，添購一定數量的書籍。

另外，我們也準備了先備知識，做為這門課的預備知識與引起動機安排。

筆記：這門課另外一個不同的地方是要求每週交筆記與作業。

計分方式：筆記20%、作業20%、期中考30％、期末考30％。課堂參與：扣分（最多扣12分）。

1.課堂參與：我們將嚴格點名、並將點名單送至課務組，每節缺席扣1分，遲到扣0.5分，並以扣分的方式來處份影響他人上課情緒的行為（例如：大哥大。。。）。對於公假、病假、事假的同學，因為沒有來上課，所以必須在課餘之外努力讀書，最好驅策、與激勵的方法就是扣分的方式，讓他們在課外及活動之餘更加努力，這對全勤的同學也有所鼓勵。

對於遲到的學生，希望在平日就訓練你們注重準時、守時的習慣，零零落落的開始上課不但沒有效率，有時也會影響情緒，所以訂定此規則。

扣分（最多扣12分）是有上限的，對於自學型不大需要上課的學生，調高通過標準要求也是合理的。

2.公佈成績：網站上公開成積是有爭議的，所以在開學後我會要求，每一位修課同學寫一個密碼代號給我(如ABCD)，然後我會以這個秘密代碼在網頁上公佈出缺席,成績.. 例如：(樣本)。

4.數學筆記作業規範：

1. A4紙，只能寫單面。第一頁第一行寫下（1）繳交日期（2）姓名，學號。

2. 手寫（不可使用電腦打字），字大小適中，論證層次分明。

3. 要抄題目，把要做什麼寫清楚，紙張上不可以有草稿或無關內容。

4. 在左上角，使用釘書機裝訂，所以在每一頁左上角都要預留裝訂空間。

5. 不可抄襲，違反者與提供被抄者皆以零分或更嚴厲處分。

6. 若有須要討論或有疑義，歡迎到老師研究室或以電子郵件聯絡，與老師討論。

代數的先備知識：

為什麼有『代數』這一門課？為什麼大部分的數學相關係有列為必修？這可能要從數學是什麼說起：

數學是什麼？『基本的數學活動就是以數去描述量與形及其運算』，在描述的過程與紀錄中，逐漸呈現些可以覺察到的模式。模式和模式之間，有同構、轉換、變異等關係，透過待號的表現，這些關係就和原來它所表徵的，產生了具體和抽象的區別。

這些模式在覺察之後，也可以用符號和符號的組合加以表現，然後以符號的操算代替具體物的操算。在符號的層次上，利用關係改變符號表徵的形式，歸納成系統，再討論系統與系統之間的異同，及推廣到解決問題的目的。

之前大一已經修過『線性代數』6學分6小時，這門課事實上將專注在『抽象代數』上﹝例如：教科書書名：Abstract Algebra: The Basic Graduate Year﹞，它的目的之一就是要討論以上數學是什麼的最後一句話『系統與系統之間的異同』，例如，單從集合元素個數『自然數』集合和『有理數』集合是一樣多的，但是他們一定不同，哪裡不同？這門課將要回答這個問題。

讓我們以問一些問題，與討論來開始：

數字

自然數 nature number N={ }

『5』 是什麼？

{◎◎◎} 集合為什麼是3個？

{㊣㊣㊣㊣㊣㊣㊣} 和{￥￥￥￥￥￥￥}兩個集合為什麼是一樣多？

什麼是一樣多？我們是如何比較2個集合的個數？

{㊣㊣㊣㊣㊣} 為什麼比{□□□}多2個？

5為什麼比4大？

運算

加法是什麼？

減法是什麼？

乘法是什麼？

除法是什麼？

請問除法中的包含除是什麼？

請問除法中的等分除是什麼？

請問除法中的隱含乘是什麼？

請利用線段圖以除法中的包含除的方式解釋 24÷6=

全數 whole number W={ }

「0」是什麼？

回憶一下什麼是一樣多的定義？

偶數是什麼？

偶數加偶數是不是偶數？ 證明：

自然數和偶數的集合哪一個比較多？

無窮大 可數的 Hibert Hotel

整數 integer I Z { }

回憶一下什麼是一樣多的定義？

自然數和整數的集合哪一個比較多？

既然一樣多，為什麼人類這般無聊，要另外發展不同的系統，或者是他們有什麼不同？

自然數的集合和整數的集合有何不同，請從以下兩個方面討論：

元素個數是否相同？為什麼？

假如元素個數相同，這2個集合有什麼不同？

再談無窮大

質數 prime number

【1】證明：若n為一合成數，則n必有一質因數p，使。

【2】利用的邏輯原則，改寫定理[若n為一合成數，則n必有一質因數p，使。]：

【3】利用你改寫的定理回答為什麼下列是對的：157是否為質數。只要檢查2，3，5，7，11 不是157的因數就可判定157是質數。

（a）[計算]　將2到43的所有質數相乘再加上1 等於13082761331670031，但是這個數不是一個質數，

2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43+1=13082761331670031

=(167)*(78339888213593)

（b） 質數有無窮多個　

〔證明〕利用反證法，假設質數只有有限個，

則所有的質數為A=｛2,3,5,7,…P｝。

令=2*3*…*P+1，

是一個質數， 因為

1. >1

2. 假如所有的質數為A=｛2,3,5,7,…P｝，

則的因數只有1與。

但並沒有在所有的質數集合A中，

矛盾，所以質數有無窮多個。

以上（a）（b）論證有無互相矛盾的地方， =2*3*…*P+1到底是不是一個質數，請說清楚。

分數 有理數 rational number Q

為什麼對於有理數，分母為零沒意義？那分子為零呢？

分數的意義

分數的加減乘法

分數的除法

有理數的集合和整數的集合有何不同，請從請從以下兩個方面討論：

元素個數是否相同？為什麼？

再談無窮大

〔第一題〕令A為由{0 , . , 1} 所組成的組合所成的集合，其中的任何一個元素可以被表示成0.abcdef…，a b c d e f … 是可能是0或1。

令B為由{1,0}所組合而成的自然數的一個子集合(所有的位數也是由0或1組成)。現在定義一個由A 到B的一個對應，將0.abcdef…對應至…fedcba 。因為自然數是可數的集合，它的子集B也是一個可數的集合，由以上定義的一對一對應，可以看出A也是一個可數無窮的集合。

（1） 什麼是可數的集合的定義？

（2） 請問集合A中的元素之一0.010101010100000….(以下皆為0)，對應至哪一個元素？

（3） 請問以上證明有無錯誤，哪裡錯？

〔第二題〕

根據上圖的對應，我們可以看出線段AB的點和線段CD的點成一對一的對應，所以點一樣多，但線段DE的點並沒有來自線段AB的點與之對應，所以線段CE的點比較多。

（1） 請問以上的論證有什麼錯誤？

（2） 對於無窮的集合，請重新考慮什麼是「一樣多」的定義，並描述清楚。

有理數是可數的證明

小數

為什麼有理數都可以化為有限小數或循環小數？

為什麼有限小數或循環小數都可以化為有理數？

請舉兩個小數的例子，他既不有限小數又不是循環小數？

什麼是無理數？

0、1之間的實數個數

再談無窮大 可數不可數

（1）請找出並描述以{ 0 1 . } 三個元素的組合方式，組合而成不可數的無窮的集合。

（2）證明這組合是不可數的無窮。

9月18日作業

1. 依照『5』 是什麼？的回答，說明{◎◎◎} 集合為什麼是3個？

2.

a.加法是什麼？

b.減法是什麼？

c.乘法是什麼？

d.除法是什麼？

e.請問除法中的包含除是什麼？

f.請問除法中的等分除是什麼？

g.請問除法中的隱含乘是什麼？

h.請利用線段圖以除法中的包含除的方式解釋 24÷6=

3.利用反證法證明不是有理數

10月2日作業

1. 以上（a）（b）論證有無互相矛盾的地方，為什麼在（a）中不是一個質數？為什麼在（b）中是一個質數？，請說清楚。

2. 【a】利用的邏輯原則，改寫定理[若n為一合成數，則n必有一質因數p，使。]：

【b】利用你改寫的定理回答為什麼下列是對的：157是否為質數。只要檢查2，3，5，7，11 不是157的因數就可判定157是質數。

3.

【a】說明分數除法口訣：『顛倒相乘』是什麼意思。

【b】使用除法中的等分除意義，證明【a】。

4.

根據上圖的對應，我們可以看出線段AB的點和線段CD的點成一對一的對應，所以點一樣多，但線段DE的點並沒有來自線段AB的點與之對應，所以線段CE的點比較多。

【a】請問以上的論證有什麼錯誤？

【b】對於無窮的集合，請重新考慮什麼是「一樣多」的定義，並描述清楚。

【c】請想出一個證明線段AB的點和線段CD的點一樣多(用畫圖的方式)。

961代数学（一）课程计划(961al)九十六学年度第一学期