北京市101中学2011-2012学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）

一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若是虚数单位，且，则的值为（ ）

A. －2 B. －4 C. 2 D. 4

2. 在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为（ ）

A. B. 1 C. D. 2

3. 等于（ ）

A. B. 2 C. D.

4. 从圆O外一点P作圆O的割线PAB和PCD，AB是圆O的直径，若，则（ ）

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

5. 若～～，则（ ）

A. 2.5 B. 2.05 C. 6 D. 9

6. 现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（ ）

A. 16 B. 18 C. 24 D. 32

7. 从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则（ ）

A. B. C. D.

8. 1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（ ）

A. 0.01 B. 0.19 C. 0.1 D. 0.2

二、填空题共6小题。

9. 若展开式中第二项与第六项的系数相等，则 ；展开式中间一项的系数为 。

10. 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为

。

11. 复数满足，则的最小值是 。

12. 将5位志愿者分成3组，分赴三个不同的地区服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。

13. 在极坐标系中，曲线和相交于点A，B，则线段AB的中点E到极点的距离是 。

14. 已知中，，一个圆心为M，半径为的圆在内，沿着的边滚动一周回到原位。在滚动过程中，圆M至少与的一边相切，则点M到顶点的最短距离是 ，点M的运动轨迹的周长是 。

三、解答题共5小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 已知复数。

（1）求；

（2）求的最大值。

16. 已知，求（请写出最后结果）：

（1）；

（2）；

（3）。

17. 将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5）和一个正四面体（四个面分别标有数字1，2，3，4）同时抛掷一次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”。设复数。

（1）若集合{为纯虚数}，用列举法表示集合A；

（2）求事件“复数在复平面内对应的点（a，b）满足”的概率。

18. 某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，决出胜负即停止比赛。按以往的比赛经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为。

（1）求比赛三局甲获胜的概率；

（2）求甲获胜的概率；

（3）设比赛的局数为X，求X的分布列和数学期望。

19. 在数列中，，且成等差数列，成等比数列。

（1）求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：。

【试题答案】

1. A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B 9. 6；20

10.

11. 1

12. 150

13. 2

14.

15. （1）化简，所以；

（2）表示复数和对应的点之间的距离，所以。

16. （1）由已知得，所以

；

（2）另原式中的，得，所以

，所以；

（3）依题意得展开式中偶数项的系数都小于零，所以

。

17. （1）；

（2）基本事件空间中基本事件的个数为24。

设满足“复数在复平面内对应的点（）满足”为事件B。

当时，满足；

当时，满足；

当时，满足；

当时，满足

即B包含的基本事件为：

共11个。所以。

18. （1）；

（2）；

（3）X的分布列如下：

。

19. （1），

猜想，

用数学归纳法证明：

①当时，由上述可得结论成立；

②假设当时，结论成立，即，

当时，

。

所以当时，结论也成立。

由①②，可知对一切正整数都成立。

（2）当时，

当时，由（1）知，所以

，综上，原不等式成立。

北京市101中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）