2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（　　）

A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3

2．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．（0，+∞）

3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱

4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（　　）

A．5 B．16 C．80 D．﹣80

5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（　　）

A．an=（﹣1）n﹣1+1 B．an=

C．an=2sin D．an=cos（n﹣1）π+1

6．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（　　）

A．10种 B．60种 C．125种 D．243种

7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

附表：

经计算K2=10，则下列选项正确的是：（　　）

A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（　　）

A．[﹣，] B．[﹣2π，﹣]

C．[，2π] D．[﹣2π，﹣]和[，2π]

9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（　　）

A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2

10．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（　　）

A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9

11．已知函数f（x）=ex，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（　　）

A．∀x∈R，f（x）＞g（x）

B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）

C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）

D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）

12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（　　）

A．2 B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13． =_______．

14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．

15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．

16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知数列{an}满足a1++…+=2n+1．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和．

18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．

（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）

（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．

（1）证明：面GEF⊥面AEF；

（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．

20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．

（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；

（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．

（1）求C1的直角坐标方程；

（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设α、β、γ均为实数．

（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．

（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（　　）

A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数==﹣3i+2的虚部是﹣3．

故选：D．

2．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．（0，+∞）

【考点】交集及其运算．

【分析】表示出A中不等式的解集确定出A，根据0属于A与B的交集，确定出a的范围即可．

【解答】解：由A中不等式解得：x＞a，即A=（a，+∞），

由B中y=sinx，得到﹣1≤y≤1，即B=[﹣1，1]，

由0∈A∩B，得到a＜0，

则a的范围是（﹣∞，0），

故选：A．

3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．

【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，

∴该空间几何体不可能是圆锥．

故选：B．

4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（　　）

A．5 B．16 C．80 D．﹣80

【考点】二项式系数的性质．

【分析】二项式（x﹣2）5展开式中x的项为，即可得出．

【解答】解：二项式（x﹣2）5展开式中x的项为=80x，

因此系数为80．

故选：C．

5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（　　）

A．an=（﹣1）n﹣1+1 B．an=

C．an=2sin D．an=cos（n﹣1）π+1

【考点】数列的概念及简单表示法．

【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．

【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=﹣2，因此不成立．

故选：C．

6．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（　　）

A．10种 B．60种 C．125种 D．243种

【考点】计数原理的应用．

【分析】从中选3个并分配到3个志愿中，问题得以解决．

【解答】解：从中选3个并分配到3个志愿中，故有A53=60种，

故选：B．

7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

附表：

经计算K2=10，则下列选项正确的是：（　　）

A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

【考点】独立性检验的应用．

【分析】根据观测值K2，对照数表，即可得出正确的结论．

【解答】解：因为7.879＜K2=10＜10.828，

对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．

故选：A．

8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（　　）

A．[﹣，] B．[﹣2π，﹣]

C．[，2π] D．[﹣2π，﹣]和[，2π]

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．

【解答】解：函数y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，

求得4kπ+≤x≤4kπ+，故函数y的增区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．

再结合x∈[﹣2π，2π]，可得函数的单调递增区间是：

[﹣2π，﹣]、[，2π]，

故选：D．

9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（　　）

A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣2

【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．

【解答】解：由题意得，

作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=x﹣y，由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，

平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，

最大为zmax=2﹣0=2

当直线经过点A（0，2）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．

此时zmin=0﹣2=﹣2．

故选：D．

10．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（　　）

A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．

【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，

求+的值S，并输出S，

由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，

令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．

故选：A．

11．已知函数f（x）=ex，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（　　）

A．∀x∈R，f（x）＞g（x）

B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）

C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）

D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可．

【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=ex﹣x﹣1，

则h′（x）=ex﹣1，

当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，

即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，

即h（x）≥0，即∀x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，

故选：A

12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（　　）

A．2 B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，可得p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

【解答】解：抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），

由题意可得a=，

双曲线C1：﹣=1的渐近线方程为y=±x，

抛物线的准线方程为x=﹣，

代入渐近线方程可得交点为（﹣a，b），（﹣a，﹣b），

由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，

可得边长为2b，高为a，

即有a=b，c==a，

即有e==．

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13． =　e﹣1　．

【考点】定积分．

【分析】由于=，即可得出答案．

【解答】解：∵（ex）′=ex，∴=e﹣1．

故答案为e﹣1．

14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于　1　．

【考点】正弦定理．

【分析】利用正弦定理得出a，b，c和外接圆半径R的关系，根据周长列出方程解出R．

【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，

由正弦定理得，

∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），

∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），

∴R=1．

故答案为：1．

15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为　4　．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可．

【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，

即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，

由双曲线的图象可知|•|的最小值为4，

故答案为：4

16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=　4028　．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】令g（x）=xf（x），则g（x）是奇函数，由等差数列得a﹣b=﹣（c﹣b），故而F（a）+F（c）=g（a﹣b）+g（c﹣b）+4028=4028．

【解答】解：F（a）+F（c）=（a﹣b）f（a﹣b）+2020+（c﹣b）f（c﹣b）+2020．

∵b是a、c的等差中项，∴a﹣b=﹣（c﹣b），

令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x）．

∴g（x）=xf（x）是奇函数，

∴（a﹣b）f（a﹣b）+（c﹣b）f（c﹣b）=0，

∴F（a）+F（b）=2020+2020=4028．

故答案为：4028．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知数列{an}满足a1++…+=2n+1．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）当n=1，a1=4，当n≥2，2a1++…+=2n+1，a1++…+=2n，两式相减得到（n≥2），写出通项公式an，

（2）是由等比数列和等差组成的数列，采用乘以公比错位相减法，求得前n项和．

【解答】当n=1时，由题意可知a1=4，

当n≥2，2a1++…+=2n+1，

a1++…+=2n，

两式相减： =2n+1﹣2n，

∴（n≥2），

故{an}的通项公式为{an}=，

（2）{an}的前n项和为Sn，

，

，

两式相减得：Sn═n×2n+1﹣（22+23+…+2n），

=n×2n+1﹣4（2n﹣1﹣1），

=（n﹣1）•2n+1+4，

{an}的前n项和Sn═（n﹣1）•2n+1+4．

18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．

（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）

（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．

（2）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．

【解答】解：（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，

空气质量良的天数为4，

∴该样本中空气质量优良的频率为，

从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18．

（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，

且ξ～B（3，），

P（ξ=0）=（）3=，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）=（）3=，

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=3×=1.8．

19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．

（1）证明：面GEF⊥面AEF；

（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）设EF中点为M，连结AM，GM，AG，AC，设CG=1，求出AG=3，FG=EG=，AF=AE=2，AM=，GM=，从而AM⊥GM，再求出AM⊥EF，由此能证明平面GEF⊥平面AEF．

（2）如图，延长EG、DC，设交点为H，作CN⊥GH，作CN⊥GH，垂足为N，连结BN，推导出∠BNC是二面角B﹣EG﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣EG﹣C的余弦值．

【解答】证明：（1）如图，设EF中点为M，连结AM，GM，AG，AC，设CG=1，

∵CG⊥面ABCD，∴CG⊥AG，

在Rt△ACG中，AG===3，

在直角梯形FBCG和EDCG中，FG=EG==，

在Rt△ABF和Rt△GEF中，AF=AE==2，

在等腰△AEF中，AM==，

在等腰△GEF中，GM==，

∴在△AMG中，AM2+GM2=AG2，∴AM⊥GM，

∵M是等腰△AEF底边中点，∴AM⊥EF，

∵GM∩EF=M，∴AM⊥平面GEF，

∵AM⊂平面GEF，∴平面GEF⊥平面AEF．

解：（2）如图，延长EG、DC，设交点为H，

作CN⊥GH，作CN⊥GH，垂足为N，连结BN，

∵BC⊥CG，BC⊥DC，CG∩DC=C，∴BC⊥面EDH，

∵BC⊥EH，又CN⊥GH，即CN⊥EH，

∵BC∩CN=C，∴EH⊥平面BCN，

∵BC⊥DH，BC⊥EH，DH∩EH=H，∴BC⊥平面EDH，

∴BC⊥EH，又EG⊥GH，∴EG⊥平面BCN，∴EG⊥BN，

∴∠BNC是二面角B﹣EG﹣C的平面角，

∵CG=1，∴CN===，

∴在Rt△BCN中，BN===，

∴cos∠CNB===，

∴二面角B﹣EG﹣C的余弦值为．

20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．

【解答】解：（1）由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，

将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得+=1，

解得a=2，b=，c=，

即有椭圆方程为+=1；

（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，

可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），

直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，

代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），

即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，

x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，

设直线PD，PE的斜率为k1，k2，

则k1+k2=+=，

要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，

只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，

由y1=x1+t，y2=x2+t，

可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4

=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4

=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，

则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）f′（x）=且f′（x）=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；

（2）利用韦达定理，可得=lna﹣a﹣1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求λ的最小值．

【解答】解：（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=且f′（x）=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根x1，x2，（x1＜x2）

则，∴a＞4，

（0，x1），f′（x）＞0，（x1，x2），f′（x）＜0，（x2，+∞），f′（x）＞0，

∴x1，x2是f（x）的两个极值点，符合题意，

∴a＞4；

（2）f（x1）+f（x2）=alnx1+x12﹣ax1+alnx2+x22﹣ax2=a（lna﹣a﹣1），

∴=lna﹣a﹣1，

令y=lna﹣a﹣1，则y′=﹣，

∵a＞4，

∴y′＜0，

∴y=lna﹣a﹣1在（4，+∞）上单调递减，

∴y＜ln4﹣3，

∵不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，x1+x2＞0，

∴是λ的最小值ln4﹣3．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且=．

（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；

（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE•AC．

【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．

【分析】（1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；

（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD2=AE•AC．

【解答】证明：（1）∵CD∥AB，

∴∠DCA=∠BAC，

∵=，

∴∠DAC=∠DCA，

∴∠DAC=∠BAC，

∴直线AC平分∠DAB；

（2）∵DE⊥AB，

∴∠ADE+∠DAB=90°，

∵AB为直径，

∴∠DBA+∠DAB=90°，

∴∠ADE=∠ABD，

∵∠ABD=∠DCA，

∴∠ADE=∠ACD，

∴△ADE∽△ACD，

∴AD2=AE•AC，

∵AD=DC，

∴CD2=AE•AC．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]．

（1）求C1的直角坐标方程；

（2）曲线C2的参数方程为（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程可得直角坐标方程．

（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．分别代入C1的极坐标方程即可得出．

【解答】解：（1）把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入曲线C1的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，

可得：x2+y2﹣4x+3=0，配方为：（x﹣2）2+y2=1．

（2）由曲线C2的参数方程为（t为参数），可知：此条直线经过原点，倾斜角为．因此C1的极坐标方程为：，或（ρ＞0）．

将代入C1可得：ρ2﹣2ρ+3=0，解得ρ=．

将代入C1可得：ρ2+2ρ+3=0，解得ρ=﹣，舍去．

故C1与C2的公共点的极坐标为．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设α、β、γ均为实数．

（1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．

（2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

【考点】绝对值三角不等式．

【分析】（1）利用和的余弦、正弦公式，结合三角不等式，即可证明结论；

（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可证明结论．

【解答】证明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ﹣sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|；

|sin（α+β）|=|sinαcosβ﹣cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．

（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，

∵α+β+γ=0，

∴|cos[α+β+γ]=1

∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

2020年9月12日

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）含答案解析