选修2-3 1.2.1.1 排列1

一、选择题

1．某班从8名运动员中选取4个参加4×100接力赛，有________种不同的参赛方案．

A．1680　　 　 B．24　　 　

C．1681　　 　 D．25

[答案]　A

[解析]　由题意得，共有A＝1680种不同的参赛方案．

2．设m∈N*，且m＜15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于(　　)

A．A B．A

C．A D．A

[答案]　C

[解析]　解法1：(15－m)(16－m)…(20－m)＝(20－m)(19－m)……[(20－m)－6＋1]＝A.

解法2：特值法．令m＝14得1×2×3×4×5×6＝A.∴选C.

3．A、B、C、D、E五人站成一排，如果A必须站在B的左边(A、B可以不相邻)，则不同排法有(　　)

A．24种 B．60种

C．90种 D．120种

[答案]　B

[解析]　5个人全排列有5！＝120种、A在B左边和A在B右边的情形一样多，∴不同排法有×120＝60种．

4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有(　　)

A．108种 B．186种

C．216种 D．270种

[答案]　B

[解析]　从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A－A＝186(种)，选B.

5．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有(　　)

A．A B．A

C．AA D．2A

[答案]　C

[解析]　安排4名司机有A种方案，安排4名售票员有A种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有AA种方案．

6．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)______种不同的火车票？

A．30 B．15

C．81 D．36

[答案]　A

[解析]　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30种．故选A.

7．(2009·湖南)摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有(　　)

A．1440种 B．960种

C．720种 D．480种

[答案]　B

[解析]　2位老师作为一个整体与5名学生排队，相当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有4A＝8种排法，5名学生排在剩下的5个位置，有A＝120种，由分步乘法计数原理得4A×A＝960种排法．

8．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为(　　)

A．43 B．72

C．86 D．90

[答案]　B

[解析]　可在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m、n，共有A＝96种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有AA＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A＋AA＝72.

9．书架上原来摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为(　　)

A．A B．A

C．9×8×7 D．2A

[答案]　C

[解析]　三本书逐本插入书架上，第1本可插放在原来6本书之间和两端的7个位置之一处，有7种插法．第1本书插入后，书架上有7本书，所以第二本书有8种插法．同样，第3本书有9种插法．所以插法总数为9×8×7.故选C.

10．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(　　)

A．A种 B．2AA种

C．8A种 D．9A种

[答案]　D

[解析]　将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A种．

二、填空题

11．1！＋2！＋3！＋…＋100！的个位数字为________．

[答案]　3

[解析]　k≥5时，k！的个位数字都是0.故只须考察1！＋2！＋3！＋4！的个位数字即可．∵1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33.∴个位数字为3.

12．方程组有________组解．

[答案]　8

[解析]　由方程组可得

因此在{，－ }，{1，－1}，{，－ }中各取一个即可构成方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有2×2×2＝8组解．

13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．

[答案]　252

[解析]　分两步完成：第一步安排三名主力队员有A种，第二步安排另2名队员，有A种，所以共有A·A＝252(种)．

14．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．

[答案]　5 760

[解析]　第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；

第二步，油画内部排列，有A种；

第三步，国画内部排列，有A种．

由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5 760(种)．

三、解答题

15．求和：＋＋＋…＋.

[解析]　∵＝＝－＝－，

∴原式＝＋＋＋…＋＝1－.

16．从2、3、5、7四个数中任取两个数作为对数的底数和真数，可得多少个不同的对数？将它们列举出来，其中有几个大于1?

[解析]　有A＝12个不同对数，它们是log23，log25，log27，log35，log37，log32，log57，log52，log53，log72，log73，log75其中大于1的有6个．

17．(1)有3名大学毕业生，到5个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？

(2)有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这3个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？

[解析]　(1)将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．

(2)将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，则本题仍为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60(种)．

18．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数．

(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？

(2)这些四位数中大于6500的有多少个？

[解析]　(1)偶数的个位数只能是2、4、6有A种排法，其它位上有A种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数A·A＝360个；能被5整除的数个位必须是5，故有A＝120个．

(2)最高位上是7时大于6500，有A种，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A种．∴由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A＋2A＝160个．

11-12学年高中数学 1.2.1.1 排列1同步练习 新人教A版选修2-3