大一下高数论文

大一下学期，我们主要学了微分方程，微分方程是数学的重要分支.在这里我重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤.

应用微分方程解决具体问题的主要步骤:

(1)分析问题,将实际问题抽象,设出未知函数，建立微分方程,并给出合理的解;

(2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质;

(3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律.

微分方程的应用举例

几何问题

1.等角轨线

我们来求这样的曲线或曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线轨线已知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时,等角轨线就轨线正交轨线.等角轨线在很多学科（如天文,气象等）中都有应用.下面就来介绍等角轨线的方法.

首先把问题进一步提明确一些.

设在（x,y）平面上,给定一个单参数曲线族（C）:求这样的曲线,使得与(C)中每一条曲线的交角都是定角.

设的方程为=.为了求,我们先来求出所对应满足的微分方程,也就是要求先求得, ,的关系式.条件告诉我们与（C）的曲线相交成定角,于是,可以想象,和必然应当与（C）中的曲线=及其切线的斜率有一个关系.事实上,当≠时,有

或

当=时,有

又因为在交点处, =,于是,如果我们能求得, ,的关系

采用分析法.

设=为（C）中任一条曲线,于是存在相应的C,使得

因为要求,y,的关系,将上式对x求导,得

这样,将上两式联立,即由

消去C,就得到所应当满足的关系

这个关系称为曲线族（C）的微分方程.

于是,等角轨线（≠）的微分方程就是

而正交轨线的微分方程为

为了避免符号的繁琐,以上两个方程可以不用,而仍用y,只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.

为了求得等角轨线或正交轨线,我们只需求上述两个方程即可.

例1 求直线束的等角轨线和正交轨线.

解 首先求直线束的微分方程.

将对求导,得=C,由

消去C,就得到的微分方程

当≠时,由（2.16）知道,等角轨线的微分方程为

或

及

即

积分后得到

或

如果=,由（2.17）可知,正交轨线的微分方程为

即

或

故正交轨线为同心圆族.

例2 抛物线的光学问题

在中学平面解析几何中已经指出,汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物面,就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面.将光源安置在抛物线的焦点处,光线经镜面反射,就成为平行光线了.这个问题在平面解析几何中已经作了证明,现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线,

由于对称性,只有考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线,如图,

以旋转轴为Ox轴,光源放在原点O(0,0).设的方程为y=y(x,y).由O点发出的光线经镜面反射后平行于Ox轴.设M(x,y)为上任一点,光线OM经反射后为MR.MT为在M点的切线,MN为在M点的法线,根据光线的反射定律,有

∠OMN=∠NMR

从而

tan∠OMN=tan∠NMR

因为MT的斜率为,MN的斜率为-,所以由正切公式,有

tan∠OMN=, tan∠NMR=

从而

=-

即得到微分方程

+2x-y=0

由这方程中解出,得到齐次方程

=-

令=u,即y=xu,有

=u+

代入上式得到

=

分离变量后得

令1+上式变为.积分后得

ln

或.两端平方得

化简后得

以.这是一族以原点为焦点的抛物线.

2．动力学问题

动力学是微分方程最早期的源泉之一.我们都知道动力学的基本定律是牛顿第二定律

这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a,a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移对时间的导数－速度的关系.只要找到这个关系,就可以由列出微分方程了.

在求解动力学问题时,要特别注意力学问题中的定解条件,如初值条件等.

例：物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,在速度不太大的情况下,空气阻力可看做与速度的平方成正比试证明在这种情况下,落体存在极限速度.

解 设物体质量为m,空气阻力系数为k,又设在时刻t物体下落的速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为

（重力-空气阻力）

从而,根据牛顿第二定律可得出微分方程

因为是自由落体,所以有

积分得

或

解出v,得

当时,有

据测定, ,其中为与物体形状有关的常数,为介质密度,s为物体在地面上的投影面积.

人们正是根据公式 ,来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的.在落地速度,m, ,与 一定时,可定出s来.

例: 某厂房容积为45m×15m×6m,经测定,空气中含有0.2﹪的.开通通风设备,以360的速度输入含有0.05﹪的的新鲜空气,同时又排出同等数量的室内空气.问30min后室内所含的百分比.

解 设在时刻t,车间内的百分比为x(t) ﹪,当时间经过dt后,室内的该变量为

45×15×6×dx﹪=360×0.05﹪×dt-360×x﹪×dt

于是有关系式

4050dx=360(0.05-x)dt

或

初值条件为x(0)=0.2.

将方程分离变量并积分,初值解满足

求出x,有

X=0.05+0.15

以t=30min=1800s代入,得x≈0.05.即开动通风设备30min后,室内的含量接近0.05﹪,基本上已是新鲜空气了.

4.变化率问题

若某未知函数的变化率的表达式为已知,那么据此列出的方程常常是一阶微分方程.

例：在某一个人群中推广技术是通过其中已掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例系数k＞0,求x(t).

解 由题意立即有

按分离变量法解之, ,即

积分并化简的通解

由初值条件得特解

通过以上几个简单的例子，我们发现用微分方程解决一些实际问题其实很方便，也很普遍，所以在以后的学习中，除了学习必须的理论与方法外，更应该加强理论与实际的联系，将学习的知识更好的用于解决实际问题中.通过大一下学期的高数学习，让我的知识更进了一步。

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