2013年六年级尖子生综合训练数学试卷（4）

一、解答题

1．（1）n条直线，最多把平面分成几个部分？

（2）n个平面，最多把空间分成几个部分？

2．用n张2×1的纸片，去覆盖一张2×n的棋盘，有多少种不同的方法an？求a10的值．

3．从1、2、3、…、100这100个数中任意挑出51个数字，证明在这51个数中，一定：

（1）有2个数互质；

（2）有2个数的差为50；

（3）有8个数，它们的最大公约数大于1．

4．求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

5．有17个科学家，其中每一个人与其他所有人通信，他们的通信仅讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目．求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一问题．

6．线段AB上有2011个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色．这时，图中共有2010条互不重叠的线段．问：两个端点颜色相异的小线段的条数是（填奇数或偶数）　_________　．

7．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的．问：是否能够找到三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A？

8．有三堆石子，每堆分别有1998、998、98粒．现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中．

按上述方法进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如能，请设计一种取石子的方案；如不能，请说明理由．

9．在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，…，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？

10．如图，正方体的8个顶点处标注的数字为a、b、c、d、e、f、g、h，其中每个数都等于相邻3个顶点处的数的和的．求（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）的值．

2013年六年级尖子生综合训练数学试卷（4）

参考答案与试题解析

一、解答题

1．（1）n条直线，最多把平面分成几个部分？

（2）n个平面，最多把空间分成几个部分？

2．用n张2×1的纸片，去覆盖一张2×n的棋盘，有多少种不同的方法an？求a10的值．

3．从1、2、3、…、100这100个数中任意挑出51个数字，证明在这51个数中，一定：

（1）有2个数互质；

（2）有2个数的差为50；

（3）有8个数，它们的最大公约数大于1．

4．求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

5．有17个科学家，其中每一个人与其他所有人通信，他们的通信仅讨论三个题目，且每两个科学家之间只讨论一个题目．求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一问题．

6．线段AB上有2011个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色．这时，图中共有2010条互不重叠的线段．问：两个端点颜色相异的小线段的条数是（填奇数或偶数）　偶数　．

7．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的．问：是否能够找到三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A？

8．有三堆石子，每堆分别有1998、998、98粒．现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中．

按上述方法进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如能，请设计一种取石子的方案；如不能，请说明理由．

9．在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，…，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？

10．如图，正方体的8个顶点处标注的数字为a、b、c、d、e、f、g、h，其中每个数都等于相邻3个顶点处的数的和的．求（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）的值．

参与本试卷答题和审题的老师有：lbz；李斌；似水年华；齐敬孝；nywhr；彭京坡；WX321；zhuyum（排名不分先后）

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2013年12月26日

2013年六年级尖子生综合训练数学试卷(4)