2020届高考数学仿真模拟冲刺卷(二)

注意事项：

1.本卷仿真文科数学，题序与高考题目序号保持一致，考试时间为120分钟，满分为150分。

2.请将答案填写在答题卷上。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝(　　)

A．{x|－2<x<1} B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|x<1} D．∅

2．已知复数z满足(z－i)·(1＋i)＝2－i，则·z＝(　　)

A．1 B. C. D.

3．已知p：∃x0∈R, <x，那么綈p为(　　)

A．∀x∈R,3x<x3 B．∃x0∈R,>x

C．∀x∈R,3x≥x3 D．∃x0∈R,≥x

4．已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝(　　)

A．1 B．－1

C．3 D．－3

5．执行如图所示的程序框图，假如输入的S，k的值分别为1,2，那么输出的S＝(　　)

A．1＋ B. C．4 D.

6．某班全体学生某次测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若不低于80分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A．40 B．45

C．50 D．60

7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象(　　)

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝－对称

8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为(　　)

A．(0,4) B．[2,4)

C．[1,4) D．(2,4]

9．已知x，y满足约束条件若的最大值为2，则m的值为(　　)

A．4 B．5

C．8 D．9

10．已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－)2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为(　　)

A．(0,3] B．[1,3]

C．[2,3] D．[1,2]

11．如图，已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是(　　)

A. B. C. D.

12．已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.

C. D．(1，e)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________.

14．等差数列{an}中，a1＝1，a9＝21，则a3与a7等差中项的值为________．

15．已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足||＝||＝||，则|·|＝________.

16．在三棱锥P－ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥BC，则该三棱锥外接球的表面积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分．

17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．

18．(12分)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．

(1)求a的值，并计算完成年度任务的人数；

(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．

19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，∠PAB＝∠PAD＝120°，E为PD的中点，AE⊥EC.

(1)求证：PB∥平面EAC；

(2)求三棱锥B－ACE的体积．

20．(12分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.

(1)求椭圆C的方程．

(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

21．(12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋1)(e为自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若g(x)＝f(x)－ax，a∈R，试求函数g(x)极小值的最大值．

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)求C1，C2交点的直角坐标；

(2)设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．

23．[选修4－5：不等式选讲](10分)

设函数f(x)＝|x＋1|.

(1)若f(x)＋2x>2，求实数x的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a>1)，若g(x)的最小值为，求a的值．

仿真模拟冲刺卷(二)

1．答案：A

2．答案：B

3．答案：C

4．答案：D

5．答案：C

6．答案：C

7．答案：B

8．答案：B

9．答案：B

10．答案：B

11．答案：B

12．答案：C

13．答案：e－1

14．答案：11

15．答案：

16．答案：12π

17．解析：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sin B＝2sin Bcos A．(4分)

又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，

又A为三角形的内角，所以A＝.(6分)

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，

所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.(12分)

18．解析：(1)∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，

∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(4分)

(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，

第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，

第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，

第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，

第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3.(8分)

(3)在(2)中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，

获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个，

故所求概率P＝＝.(12分)

19．解析：(1)如图，连接BD，交AC于点O，连接EO.

∵E为PD的中点，O为BD的中点，(3分)

∴EO为△PBD的中位线，

∴PB∥EO，

又EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，

∴PB∥平面EAC.(5分)

(2)在△PAB中，PA＝AB＝2，∠PAB＝120°，

由PB2＝PA2＋AB2－2PA·ABcos 120°＝12，解得PB＝2.(6分)

∴EO＝.

∵AE⊥EC，且O为AC的中点，

∴AO＝OE＝，AC＝2EO＝2.

在△ABO中，BO＝＝1.(8分)

在平面PAD内，作PF⊥AD，交DA的延长线于F.

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PF⊥平面ABCD，即PF的长为点P到平面ABCD的距离．

∵点E为PD的中点，

∴三棱锥E－ABC的体积是三棱锥P－ABC体积的一半．(10分)

在△PFA中，PF＝PAsin 60°＝2×＝，

∴V三棱锥B－ACE＝V三棱锥E－ACB＝V三棱锥P－ABC＝×S△ABC×＝.(12分)

20．解析：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为知，b＝c，a＝b，

则椭圆的方程为＋＝1.

易求得A(，0)，则点(，)在椭圆上，所以＋＝1，

解得，所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)

(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝，由(1)知，M(，)，N(，－)，＝(，)，＝(，－)，·＝0，∴OM⊥ON.

当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则＝，即m2＝2(k2＋1)．

联立直线和椭圆的方程，得，消去y，得x2＋2(kx＋m)2＝6，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，则.

∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，

∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝

＝＝＝0，

∴OM⊥ON.

综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，都有OM⊥ON.

在Rt△OMN中，由△OMP与△NOP相似，可得|PM|·|PN|＝|OP|2＝2，为定值．(12分)

21．解析：(1)易知x>－1，且f′(x)＝ex－.令h(x)＝ex－，

则h′(x)＝ex＋>0，∴函数h(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，且h(0)＝f′(0)＝0.

可知，当x∈(－1,0)时，h(x)＝f′(x)<0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，h(x)＝f′(x)＞0，f(x)＝ex－ln(x＋1)单调递增．

∴函数f(x)的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(5分)

(2)∵g(x)＝f(x)－ax＝ex－ln(x＋1)－ax，∴g′(x)＝f′(x)－a.

由(1)知，g′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，

当x→－1时，g′(x)→－∞；当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，则g′(x)＝0有唯一解，记为x0.

可知，当x∈(－1，x0)时，g′(x)<0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax单调递减；

当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)＝ex－ln(x＋1)－ax单调递增．

∴函数g(x)在x＝x0处取得极小值，即g(x0)＝ex0－ln(x0＋1)－ax0，且x0满足ex0－＝a.

∴g(x0)＝(1－x0)ex0－ln(x0＋1)＋1－.

令φ(x)＝(1－x)ex－ln(x＋1)＋1－，则φ′(x)＝－x.

可知，当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，

∴φ(x)max＝φ(0)＝1.

∴函数g(x)极小值的最大值为1.(12分)

22．解析：(1)C1：x2＋y2＝1，C2：ρ＝2cos θ，则ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x.

联立，得解得

∴所求交点的坐标为，.(5分)

(2)设B(ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，

∴△AOB的面积S＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝·＝

＝，

∴当θ＝时，Smax＝2＋.(10分)

23．解析：(1)f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x⇔或⇔x>，

∴实数x的取值范围是.(5分)

(2)∵a>1，∴－1<－，

g(x)＝

易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，则g(x)min＝g＝1－.

∴1－＝，解得a＝2.(10分)

2020届江西省萍乡市重点中学高三高考数学仿真模拟冲刺卷（二）