15.1轴对称图形

第2课时 平面直角坐标系中的轴对称

教学目标

【知识与能力】

1. 能够作轴对称图形；

2. 能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

3. 能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。

【过程与方法】

在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受平面直角坐标系与生活的联系。

【情感态度价值观】

培养学生的应用意 识和探究精神。

教学重难点

【教学重点】

1. 能够作轴对称图形；

2. 能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

3. 能够用轴对称的知识解决相应的 数学问题。

【教学难点】

用轴对称知识解决相应的数学问题。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他．你知道为什么吗？

结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．

提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：关于坐标轴对称的点的坐标特点

【类型一】 求已知点关于x轴(或y轴)对称的点的坐标

例1 如图，点A关于y轴的对称点的坐标是(　　)

A．(5，3) B．(3，5) C．(5，－3) D．(3，－5)

解析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．由图可知，点A的坐标是(－5，3)，所以，点A关于y轴的对称点的坐标是(5，3)．故选A.

方法总结：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【类型二】 利用两点成轴对称的性质求整式或字母的值

例2 在平面直角坐标系中，点A关于x轴对称的点的坐标为(7x＋6y－13，y＋x－4)，点A关于y轴对称的点的坐标为(4y－2x－2，－6x－4y＋5)，求点A的坐标．

解析：设点A的坐标为(a，b)，则它关于x轴的对称点为A′(a，－b)，关于y轴的对称点为A″(－a，b)，即A′与A″的横、纵坐标分别互为相反数．据此可列方程组求出x，y的值．

解：由题意，得解得所以点A的坐标为(－8，3)．

方法总结：解答这类题的关键是弄清同一点关于两坐标轴对称的点的横、纵坐标之间的关系，再据此列方程或方程组求解．

探究点二：作关于x轴(或y轴)对称的图形

例3 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－4，1)、B(－2，4)、C(－1，2)．

(1)△ABC关于y轴的对称图形是△A′B′C′，请写出点A′，B′，C′的坐标并作出对称图；

(2)△A′B′C′关于x轴的对称图形是△A″B″C″，请写出点A″，B″，C″的坐标并作出对称图；

(3)△A″B″C″关于y轴的对称图形是△A B C ，请写出点A ，B ，C 的坐标并作出对称图；

(4)若以x轴为对称轴作△A B C 的对称图，会和△ABC重合吗？请总结这四次对称的坐标变化规律．

解析：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)．根据图形在平面直角坐标系中关于x，y轴对称的规律，很容易找到对称点．

解：(1)点A′，B′，C′的坐标分别是(4，1)、(2，4)、(1，2)，对称图如下图△A′B′C′；

(2)点A″，B″，C″的坐标分别是(4，－1)、(2，－4)、(1，－2)，对称图如下图△A″B″C″；

(3)点A ，B ，C 的坐标分别是(－4，－1)、(－2，－4)、(－1，－2)对称图如下图△A B C ；

(4)以x轴为对称轴作△A B C 的对称图，得到三角形的坐标分别是(－4，1)、(－2，4)、(－1，2)，正好是△ABC的三个顶点的坐标，规律列表如下：

发现经过这四次对称变化，图形又“转”回原处．

方法总结：在平面直角坐标系中，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形对称点的横坐标互为相反数、纵坐标相等；如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数；“成轴对称的两个图形的对称点的连线段被对称轴垂直平分”是轴对称作图的依据．作轴对称图形，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标，描出并连接即可得到对称图；研究规律问题时，要从特殊到一般，要逐步推导；感受图形的对称变化带来的坐标变化．

三、板书设计

教学反思

本节课采用探究、发现式教学法，通过找具有一定代表性，分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力，并通过研究线段之间的关系发现点的坐标之间的关系，使学生体验数形结合思想．然后通过把对称轴是坐标轴变成了直线x＝1和y＝－1的变式探究，使学生再次体验数形结合的思想，并拓展到直线x＝m和y＝n，使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标并形成方法．

初中数学教程平面直角坐标系中的轴对称