中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

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第一章函数、极限与连续
内容概要

名称
邻域
主要内容（1.1、1.2）
Ua,xxa
（即Ua,
（U
0
xaxa）
a,xaxa,x0）
由此，两函数相等两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）
U0a,x0xa
两个要素：对应法则

f以及函数的定义域D
解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；
局部局部有界性
对集合
XD，若存在正数M
上有界，或
，使对所有xX
，恒有
fxM，称
函数
fx在Xfx是X
上的有界函数；反之无界，即任意正数
函数
函数
M
（无论M多大），总存在（能找到）x0
X，使得fx0M
区间I
D，对区间上任意两点x1x2，当x1x2时，恒有：
特单性调
性
fx1fx2，称函数在区间I
反之，若
上是单调增加函数；
上是单调减小函数；
fx1fx2，则称函数在区间I
奇偶性
设函数则称
fx的定义域D关于原点对称；若xD，恒有fxfx，
fx是偶函数；若xD，恒有fxfx，则称fx是奇
函数；周期性
若存在非零常数T，使得对xD，有
xTD，且
fxTfx，则称fx是周期函数；
初等函数

几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数

课后习题全解
习题1-1
★1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；思路：常见的表达式有①loga□,（□0）②N/□,（□0）③
④arcsin
（
(
0
1,1）等
x0x012
解：（1）y1xx1,00,1；
2
1x1x1x0
（2）
yarcsin
x1x1
111x3；22
（3）
3x0x31
y3xarctanx,00,3；
x0x0x
y
lg3x
03xx3
x,11,3；
0x11x,or,x1x1
（4）
0x1
2
x1,22,4；（5）ylogx1(16x1x1
016x2
★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？
（1）
（2）y2x1与x2y1f(xlgx2与g(x2lgx；
知识点：函数相等的条件；
思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则f相同（化简
后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；
2
解：（1）f(xlgx的定义域D=xx0,xR，g(xlgx的定义域Dxx0,xR}，

虽然作用法则相同lgx（2）
2
2lgx，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；
y2x1，以x为自变量，显然定义域为实数R；
x2y1，以x为自变量，显然定义域也为实数R；两者作用法则相同“2□1”
与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；

sinx,x3
★3．设(x
0,x3
y(x的图形
，求(

，(，(，(2，并做出函数
644


知识点：分段函数；
思路：注意自变量的不同范围；解：(sin

6
6

12
，sin2424
，
2
sin
244

20；如图：
3
2
y

0
3
3
x
图1-1-3
★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：
3

（1）
y
x
,1（2）y2xlnx，0,1x
知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的
某个子区间上函数的单调性的问题。
思路：利用单调性的定义即可。
解：（1）设x1，x2,1，当x1x2时，
y1y2
（2）设x1，x2
x1xx1x2
20，由单调性的定义知是单调增函数；
1x11x21x11x20,，x1x2，
y1y2(x1lnx1(x2lnx2(x1x2ln
0,，x1x2，知
x1x2

由x1，x2
x1x
，则有1，故ln10（对数函数的性质）
x2x2
y1y20，得结论是单调增函数；
★5．设
f(x为定义在l,l内的奇函数，若f(x在0,l内单调增加，证明：f(x在l,0

内也单调增加
知识点：单调性和奇偶性的定义。
思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：设x1,
由
x2l,0,
x1x2，则x1,x2(0,l,x2x1，
fx在0,l内单调增加得，fx2fx11，又fx为定义在l,l内的奇函
fx2fx1，即fx2fx1，则结论成立。
数，则（1）式变形为
★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：
（2）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（3）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。
本题可作为结论应用。
思路：按定义证明即可。证明：设函数fx,
（1）设F
当
；gx定义域分别是D1,D2（D1,D2是关于原点对称区间）
xfxgx，定义域为D1D2，显然D1D2也关于原点对称，
fx,gx均为偶函数时，FxfxgxfxgxFx，得
Fx为偶函数；
当
fx,gx均为奇函数时，FxfxgxfxgxFx，得
Fx为奇函数；
（2）令G当
xfxgx，定义域为D1D2，D1D2关于原点对称，
fx,gx均为奇函数时，Gxfxgxfx(gxGx，得
Fx为偶函数；
当
fx,gx均为偶函数时，GxfxgxfxgxGx，得Fx为
偶函数；
当
fx,gx为一奇一偶时，GxfxgxfxgxGx，得Gx
为奇函数；

★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？
exex
（1）ytanxsecx1；（2）y
2
（4）
；（3）
yxcosxecosx；
yxx2x2。
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；
思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；
解：（1）fxtanxsecx1tanxsecx1，显然既不等于fx，也不
等于
fx，故是非奇非偶函数；
下面三个函数的定义域为全体实数R，关于原点对称
（2）
exex
fxfx，故是偶函数；
2
（3）
fxxcosxecosxfx，故是偶函数；fxxx2x2fx，故是奇函数；
（4）
★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：
（1）
ycosx1；（2）yxtanx；（3）ysin2x。
知识点：函数周期性。
思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数yAcosxC，
则最小正周期T

2

，切函数也有类似结论）。
解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期T2；
（2）对正数T，不是周期函数；
（3）
fxTxTtanxT，而切函数周期是的整数倍，故本题函数
ysin2x
1cos2x2
，则最小正周期T22

★★9．证明：
fxxsinx在0,上是无界函数；
知识点：无界函数定义。

思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对M0（无论M有多大），x0(0,，使其
函数值|
fx0|M即可。
证明：对于任意正数M，要使|fx||xsinx|M，
考虑当x
2k

2
,
kZ，|fx||xsinx|2k
2

M212,(M）M，只要k∴要使2k，取k0
2222


∴M0（无论M有多大），x02k0，使得|fx0||x0sinx0|M，
2
M

∴
fxxsinx在0,上是无界函数
（注1：k0取值只要并且确保
M2f2kM即可，因此取k02也可；
22

注2：数学符号“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。）
★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重
部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费
fx（元）与行李重量xkg之间的函数关系式。
知识点：函数关系的建立。
思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：
330x50,xx,2020
fxfx
350x501,50x1x5,
4420
0x5050x
。
★11．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的，
每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元
a将每台的实际售价
p表示为订购量x的函数；
b将厂方所获得利润L表示成订购量x的函数；c某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？
知识点：函数关系的建立，以及经济函数；f(x0f(xc。

思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润L（总收入）R(总成本C。解：售价恰好降到75元时需订购的台数位
9075
1001600，则
001
90,0x1001
（1）：。p90(x100,100x1600
10075,x1600
（2）：
90x60x,0x100

1
LRCpx60x90x100x60x,100x1600100
75x60x,x1600
30x,0x1001x231x,100x1600100
15x,x1600
（3）L1000

1
1000231100021000100
（元）。
习题1-2
★1．求下列函数的反函数：
1x2x
;；（2）yx（1）y；1x21
知识点：反函数求法；
思路：解出x的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；解：（1）y
1x1y1x
1xy1xxy（习惯上自变量用字母x表示）1x1y1x
2xyy
（2）yxy2xy2x2xxlog2
1y1y21
ylog2
x
。1x
★2．设
,x01
fx0,x0，求fx1，fx21
1,0x
；

知识点：分段函数的定义；思路：代入即可；
1
解：fx10
1
,x10
1

,x10fx10
1,x10
,xx,
,x

111
2
11,x10,
fx210,x210fx210,
1,x2101,
x1x1x1
★3．设函数

fxx3x，xsin2x，求f，fff1
12
知识点：复合函数定义；思路：逐层代入即可：


3
13111
解：sin2，ff；
12281222212
f10，ff1f00300，fff1f00
★★4．设
fx
x
。，求ffx和fffx
1x
知识点：函数的复合；思路：同上题，逐层代入即可。
x
x1xx，（x1,x解：ffxf
12x1x1x
1x
x
x12xx，
fffxf
13x12x1x
12x
xx11,1D:x1,x,x定义域D:x1,1x12x2
x
x1cosx，xsin，求fx。★5．已知f
2
知识点：函数复合；
1）；2
1。3

1
思路：换元法①令xtx1t（此种方法要求x易解），x、x分别用t、t代；
换元法②将
，再令xt代换；fx的表达式化成用x表达的式子（需要技巧）
解：用法②：fxfsin
令sin

x2x2x1cosx2cos22sin，222
xx
tft22t2tfx22x2（自变量与用何字母表示无关）。2
★6．设
fx的定义域是0,1，求：
2
（1）
fx2
;（2）fsinx；（3）fxafxa（0a）（4）f1x

知识点：复合函数的定义域；
思路：fx的定义域是0,1，表明若有fA，则A0,1；
2
解：（1）x0,1x1,1；
（2）sinx
0,1x02k,
2k12k,2k1
kZ
（3）
xa0,1xa,1a1
，当a1a时，即0a时，结果为
2xa0,1xa,1a
1
2
时，结果为；
a,1a；当a
21x0,1x1,1（4）
2
1x0
★7．设
fx
xx2
，求：（1）
fx的定义域；（2）
1
ffx22
知识点：函数定义域及函数复合；思路：略。解：（1）x
x20x2xxR，故定义域为全体实数R；
2
（2）
2222
ffxfxxxxxx2xx




1
ffx21(2xx22xx222
★8．
fxsinx，fx1x2，求x及其定义域；

知识点：函数的复合及定义域；
解：
fxsinx1x2xarcsin1x22k，
2x2

x的自然定义域为11x21，即
内容概要
名称1.3数列极限
主要内容（1.3，1.4，1.5）数列极限定义（
N）：任意给定正数（无论多小），总存在正整数N，使得对于nN

时的一切xn，总有数列极限的性质：
xna成立，则limxna；
n
极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性；子数列收敛性；
函数
1.4函数的极限


fx当x大于某正数时有定义，如果对任意给定正数（无论
X
，使对满足
limfxA
x
多小），总存在正数
xX的一切x，总有

fxA
函数
函数极限义
单侧极限
xx0
fx在x0的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数（无
limfxA
论多么小），总存在正数，使对满足0总有
xx0的一切x，
定
fxA

x
limfxlimfx
limfxAlimfxA且limfxA
x
x
x
x
单边极限
xx0
limfxlim
fx
xx0
limfxAlimfxA且limfxA
xx0
xx0
xx0
函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性；
1.5无穷小与无穷大（以
xx0
无穷
定义：极限为零的变量（函数）；

无穷小性质：
1.lim
xx0
fxA的充要条件是fxA，其中是当
定理：函数表示：定理
小
x
x0时的无穷小；
2.有限个无穷小的和仍是无穷小；3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

）为例
无穷大
定义：任意给定正数M(无论多大,当x时,总有
x0(即存在正数
,当0
xx0
fxM；
正无穷大，负无穷大统称为无穷大；
无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；

习题1-3
★1．观察一般项
xn如下的数列xn的变化趋势，写出它们的极限：
；（2）xn
n
（1）xn（5）xn

1
3n
1
n
1n
；（3）xn
2
1n3
；（4）xn

n2
；n2
1n
知识点：数列定义。
思路：写出前几项，观察规律。解：（1）,
1
31,9127,1
0；81
1111,,,,0；2345
1111
,2,2,2；（3）21,2,2
8276412544441
1,1,1,1,1（4）xn1
n2345100
（2）1,（5）1,
；
23,4,。
★★2．利用数列极限定义证明：
（1）lim
113n3n2
k0limlimsinn0。（为正常数）；（2）；（3）2nnkn4n1n4n2
知识点：极限定义。思路：按定义即可。
证明：（1）lim
110：对任意给定的正数，要使＊0nnknk
，即
1
n，只要取
1k

1
k11
N，则对任意给定的0，当nN时，就有k0
n
，即lim
1
0
nnk
1
k1
（注，只要保证N的取值能够让N以后的所有项的值满足＊式即可，因此N可取大于或等于

的整数）；（2）lim
13n33n137
：对任意给定的正数，要使＊，只要
n4n144n144(4n1
，∴取N
n
7416
3n1374
，则对任意给定的0，当nN时，就有164n14
，
∴lim
13n3

n4n14
n2
sinn0（3）lim2
nn2
证明：由于
n2n21
sinn0n22n22n2
，
因此对任意给定的正数，要使
（计算时为方便不妨设n取N
n2
sinn02
n2
，只要
11
，即n2
n2
2，因为前面的有限项对极限无影响）
时，就有
1
2，则对任意给定的0，当nNn2
sinn0
nn22
n2
sinn0n22
，
∴lim
★3．设数列
1ncos。问limxn?求出N
nn2
限之差的绝对值小于正数。当0001时，求出N。
xn的一般项xn
，使得当nN
时，xn与其极
知识点：数列极限定义思路：按极限定义即可解：观察可得：lim
1ncos0，证明该结果如下：
nn2
，因此对任意给定的正数，要使
由于
1n1
cos0n2n1n1
cos0，只要，即n2n

n
1

，取N
1（N
取大于或等于
1
的整数都可以）
，则对任意给定的0，当nN
时，就有当
1n1n
0。cos0，∴limcos
nn2n20001时，可取N1000。
★4．设an
n1
1sin
2n
，证明数列
an没有极限。
知识点：判定数列极限不存在的方法
思路：若某数列极限为A，则其任意子列的极限都为A，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列
极限不存在。
证明：令n2k,
12kkN，则得子列a2k1sin
22k
，当n时，k；
则lim
12k
0；1sink2k2
取另一个子列n4k1,kN，
得a4k1
1(4k11
11sinsin2k，
224k14k1
当n时，k
4k1lim111；1
，则lim1sinkk4k124k1
0，证明：limxnyn0。
n
综上，原极限不存在。
★5．设数列
ynxn有界，又lim
n
知识点：数列有界及数列极限定义
思路：有条件可知xnM；yn1，如何让两者结合，证明xnyn成立，是解决问题的关键。证明：①数列xn有界，则存在正常数M，使对任意n，都有xnM，则xnynMyn；
②lim
n
yn0，则对任意正数1，存在N
，当nN
时，有
yn1；
则对于任意正数，取1从而有：


M
,由②可知：存在自然数N，当nN时，有yn1

M
，
xnynM

M
，

∴limxnyn
n
0
a，证明limxna。
n
★6．对数列
x2k1a，limx2kxn，若limkk
知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；
思路：对0，根据条件，寻找使xna成立的n的范围。
证明：对于0，由limx2k1a，则存在N1，当2k-1N1时，x2k1a；
k
由limx2k
k
a，则存在N2，当2kN2时，x2k1a；
取N都有
（无论n2k1还是n2k）maxN1,N2，当nN时，
xna，即limxna。
n
习题1-4
★1．在某极限过程中，若
fx有极限，gx无极限，试判断：fxgx是否必无极限。
知识点：函数极限性质思路：举例说明即可
解：fxgx可能有极限，举例如下：
令
fxx，gxsin
11
0；，limx0，limgx不存在，但limxsin
x0x0xx0x
★★2．用函数的极限定义证明：
（1）
2x32sinx
；（2）lim0
xx3x3xlim
1x21
1；（4）lim22（3）lim
x2x1x1xx
知识点：函数极限定义
思路：对于0，找出符合要求（比如（1）中要求
2x32
）的x范围，即找到描述自3x3
变量范围的X或；为了找到X或，有时需要对不等式作适当的放缩。
证明：（1）任意正数，要使fxA
12x321
,即x；
3x3x

只要取
X
1

，当
xX时，有fxA
1
2x322x32
；，即lim
x3x33x3
（2）任意正数，∵
sinxx
0
1x
，
∴当
1xX
1
，即x
2
时，
sinxx
0，
sinxx
sinxx
∴取

2
，当xX时（因为已知x0），有0，即lim
x
0
（3）由于
fxA
1x2
1,（为找到0x2x1x1
中的，不妨将x范围限制在
x2
不妨设
1
内，因为xx0时f(x的极限，只和x0附近的x所对应的函数值f(x有关）2
，
x22135x2
，则x，则x2
3222x132
23
x2，只要x2，对任意正数，要使32
x2
取
13
min,，当0x2
22fxA
时，
2x22
x2与x2
3x13
同时成立，
∴有
1x22
1x2,∴lim
x2x1x13
，不妨设
（4）
x21x1
fxA22
xxx
x1
113
，则x，则222
x1x1
2x1，
1x
2
对任意正数，要使2x1
，只要x1/2，
取
min,
21x1，当时，fxA2x1，0x12x
x21
2∴lim2
x1xx
★3．当
x2时，yx24，问等于多少，使得当0x2时，y40001？

知识点：函数极限定义
思路：由于考察的是x2时函数的极限，所以不妨在x21（即1x3）范围内讨论，这样
的方法在极限证明中经常用到。
解：（不妨设1x3），则

y4x24x2x25x2
∴取
，要使5x20001只要x2
时，
0001
5

0001
0.0002，则当0x25
y40001
（注：还可选取比0.0002小的数，只要保证
★4．求
y40001即可）
fxlim
nx

nnx22
知识点：数列极限；
0,x0
0,x0nxx解：fxlim（所用到的性质见第六节）；1lim,x0nnx22n2,x02xxn
★5．讨论函数
fx
xx
当x0时的极限。
知识点：左右极限；
思路：求分段函数在分段点处的极限，首先要分别求出左右极限；
又
xx0
limfxAlimfxA且limfxA
xx0
xx0
解：∵fx
∴
1,x0
，
x1x0x
x0
x0
x0
x0
limfxlim11；limfxlim11；_
f(x不存在
∴lim
x0
★6．证明：如果函数
fx当xx0时的极限存在，则函数fx在x0的某个去心邻域内有界。
知识点：函数极限和局部有界的定义
证明：设limA，则对于任意正数，存在正数，当0xx0时，有fxA，
xx0

即
AfxA
，取M
max|A|,|A|，则fxM；
∴当0
xx0时，fxM。
x
★7．判断
lime
1
x
是否存在，若将极限过程改为x0呢？
知识点：函数极限，以及指数函数性质（图像）解：x
11
0limex1；（严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同）
xx
11
limex；
xx
11
limex0，
xx
x0x0
故lime
x0
1x
不存在
习题1-5
★1．判断题：
（1）非常小的数是无穷小；（2）零是无穷小；（3）无穷小是一个函数；（4）两个无穷小的商是无穷小；（5）两个无穷大的和一定是无穷大；
知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；思路：略。
解：（1）错，因为无穷小是指极限为0的变量，而不是非常小的数。
（2）对，因为0的极限为0，所以0是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常数都
不可能是无穷小
（3）对
（4）错，两个无穷小的商未必是，例如limx
x0
0lim
x0
x
1x
（5）错，如：x时，x及x，2x都是无穷大，但x
穷大
★2．指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量
x是无穷小，而x2x是无
11n；（2）sinxx0；（3）x21x2（1）
1cosxx4n
n
知识点：无穷小，无穷大的定义；
思路：求出极限即可（并利用无穷小倒数是无穷大的结论）

x1x24
x2是无穷大量；0，则2解：（1）是无穷小量；（2）是无穷小量；（3）
x4x1
★3．根据极限定义证明：
yxsin
1
为x0时的无穷小；x
知识点：函数极限定义；思路：按定义证明；证明：即要证limxsin
x0
1
0：x
，∴对任意正数，当
由于
xsin
1
0xx
x时，就有xsin
1x
，则取
，
当0x时，xsin
1x
，证毕。
★4．求下列极限并说明理由：
3x21x24
（1）lim；（2）lim；（3）lim；
xx0x0x1cosxx2
知识点：无穷小和无穷大的关系；思路：先将函数作一定的化简；解：（1）lim
3x22
lim30（依据无穷大的倒数是无穷小）
xxxx
x2x2limx22x24
lim（2）lim
x0x2x0x0x2
（3）x
0cosx11cosx0，又无穷小的倒数是无穷大，故lim
1
。
x01cosx
★★5．函数
yxcosx在,内是否有界？当x时，函数是否为无穷大？为什么？
知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为无界变
量不是无穷大的典型例子。
思路：证明不是无穷大，只需要找到x时，函数yxcosx的一个无穷子列，其极限不是无穷
大即可。
解：∵对任意M1，总可以取x02M，有x0cosx02MM
∴
yxcosx在,上是无界的；

又因为当x∴
2k

2
时，k

x；此时lim2kcos2k0，
k22
yxcosx不是x时的无穷大
★★★6．设
xx0时，gx是有界量，fx是无穷大量，证明：fxgx是无穷大量。
知识点：函数局部有界和无穷大的定义。
思路：可利用不等式fxgxf(xg(x，及已知条件：gx是有界量，fx是无穷
大量，证明结论。
证明：xx0时，gx是有界量，知存在正常数1及M1，当0xx01时，gxM1；
对任意常数M（无论有多大），不妨设M∴对于M2
M1，∵xx0时，fx是无穷大量，
2M，存在正常数2，当0xx02时，fxM22M；
min1,2，当0xx0
时，
综上，无论M多大，总可以取
gxM1和fxM2同时成立；
则有
fxgxfxgxM2M1Mxx0时，gxM（M
成立，即
fxgx是无穷大量。
★7．设
是一个正的常数），
fx是无穷大量，证明：fxgx是无
穷大。
知识点：无穷大的定义；
证明：∵fx是无穷大量，则对任意M10，存在正常数，当0xx0时，fxM1，
又
gxM，∴这时fxgxMM1，由MM1的任意性，知fxgx是无穷大。


内容概要
名称1.6极限运算法则1.7极限存在准则，两个极限1.8无穷小的比较
几个等价无穷小公式：（当
1．极限四则运算性质；2．复合函数极限运算法则；
3．求极限的其他技巧：如约掉非零的无穷小或分子（分母）有理化；利用定理：有界量与无穷小的乘积为无穷小
1．夹逼准则
主要内容（1.6,1.7,1.8,1.9）
准则2．单调有界准则：单调有界数列必有极限；极限
lim
0
sin
1，lim1
0

1
1
；e（或lim1e）


柯西极限存在准则
无穷小的比较（定义）：高阶；低阶；同阶及等价；k阶无穷小。
内可填变量或函数，如：当x；tan；a
0时sinx2~x2~ln(1x2）
~
；ln
0时，sin~~；arcsin∼arctan
1~
；
e1~
1∼lna；1

1∼
；
定理：∼充要条件是1.9函数的连续与间断
右连续：左连续：
2．若有
xx0
o
定义
1．函数
fx在x0的某邻域有定义，若在x0处x取得微小增量x时，函数的增
x0
量y也很小，且
limy0，则称fx在x0连续；
limfxfx0，则称则称fx在x0连续；

xx0
limfxfx0limfxfx0
fx在x0连续当且仅当fx在x0既左连续又右连续
xx0
基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；

第一类：
当
fx00fx00A，称为可去间断点，此时可重新补

间断点分类
左右极限都存在
充函数的定义：
fx0A，使之在x0连续；
当
第二类：左右极限至少有一个不存在
fx00fx00，称为跳跃间断点；
fx00或fx00，时，称为无穷间断点
x0的极限过程中，函数值不断震荡，称xx0为振荡间断
当
当x点
习题1-6
★1．计算下列极限：
x23x22x111
（1）lim2；（2）lim；（3）lim22；x1xx3x1xx21xx2xx26x84x32x2x（4）lim4；（5）lim2;（6）lim；
xx3x21x4x5x4x03x22x
2
xhx2
（7）lim
h0
h
；（8）lim1
x
cosx11
22；（9）xlimexexxx
；（12）
；
（10）
x8
lim
1x32x
3
；（11）lim
x2
x32x2
x2
2
x
limx1x2x
30

；
arctanx32x13x21
（13）lim；（14）lim；（15）limxx11xxx1x32x150
（16）lim
x
20
；
x
2
x1x2x1

；
知识点：极限求法
思路：参照本节例题给出的几种极限的求法
x23
0解：（1）∵lim(x30,lim(x14，∴lim2
x3x3x3x1
2
2
x1limx10；x22x1
（2）limlim
x1x1x1x1x1x1x21
2
（3）lim2
x
1111
2lim2limlim22；
xxxxxxx

1123x2xxx（4）lim4lim0；
xx3x21x31
124
xx
x2x4limx22；x26x8
（5）lim2lim
x4x1x4x5x4x4x1x43
4x32x2xx4x22x14x22x11
lim（6）limlim；
x0x0x03x23x22xx3x22
2
xhx2
（7）lim
h0

h
lim
h0
xhxxhxlim(2xh2x；
h
h0
（8）lim1
x
1111
221lim2lim22
xxxxxx
x
（9）∵说明
x
limex0,limex，∴lim
1
0，
xexex
1
是无穷小，而cosx是有界量，
exex
1
cosx0∴limx
xeex
（10）
x8
lim
1x32x
3
lim
(1x31x3(2x1x3
3
x8



lim
x8
3
x8
(2x1x3


21
1333
x2x2x41
21133limlimx2x421
6x86x83
2x
（11）∵lim(x
x2
3
2x16,limx20，∴lim
2
x2
2
x32x2
x2
x2
2
2
；
（12）
x
limx1xxlimx1x
x

2


2
1x
x
x
1x2x
lim
xx21x
x

1；2
（13）x，
1arctanx0，而arctanx是有界量，故lim0；
xxx
x1x211xx2331
limlim（14）lim；332x1x1x11x1x1xx1xx1
3020
2x13x2（15）limx2x150
230320320
20
2502
，本题利用本节有理分式的极限规律，只要找到

分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由2x的30次方与3x的20次方乘积所得，即
2x303x20，而分母的最高次项由2x的50次方所得，即2x50；无需确切计算分子分母；
（16）lim
x
x
2
2
x1x2x1
2
limxx1x
x

x
x1
，
22
x1x2x1
2
xx1xx1


lim
x
2x
xx1xx1
2x
2
2
当x时，
xx1xx1
2x
xx1xx1
2
2
22
1；
当x时，1；
故lim
x
x
2
x1x2x1

不存在
★2．计算下列极限：
（1）lim1
n

123n1111
；2n；（2）lim2nn222
33
n22n3。lim
nn12n13n2
n1n2n3；（4）
（3）lim
n
5n3
知识点：数列极限求法；
思路：（1）（2）需要先化简被求极限的式子，（3）（4）则利用有理分式极限的求法；
1
1
1112解：（1）lim12nlim
n2n1122
2
n1
2；
(1n1
n11
123n12lim（2）lim；2nnn22nn1n2n31；
（3）lim
n55n3
33
n22n393
（4）lim；
nn12n13n262

★3．设
3x2,x0
fxx21,0x1，分别讨论x0及x1时fx的极限是否存在？
21x,x
知识点：分段点处函数的极限；左右极限；思路：分段点函数的极限要左右极限分别求；
(x11，lim(3x22；故limfx不存在；解：当x0时，lim
2
x0
x0
x0
当x
1时，lim
x1
xc
22
x12，故limfx2；2，lim(
x1x1x
xc
xc
★4．已知lim
fx4及limgx1，limhx0，求：
（1）lim
xc
gxhx；（2）lim；（3）limfxgx；（4）limfxhxxcxcxcfxgxfxgx
hx
（5）lim
xc
知识点：函数极限四则运算性质；思路：按性质求；
gxgxlimxc
解：（1）lim1；
4xcfxlimfx
xc
limhxhxxc
（2）lim0；
xcfxgxlimfxlimgx
xc
xc
（3）lim
xc
fxgxlimfxlimgx4；
xcxc
（4）lim
xc
fxhxlimfxlimhx0；xcxc
hxgxhxlimxc
；（5）lim0，而无穷小的倒数是无穷大，故
xcgxhxlimgx
xc
x22xk
4，求k的值；★5．若lim
x3x3
知识点：函数极限；
思路：分析求极限的过程，求出k的值；

x22xkx23xx3k3k3
limlim(x1解：lim
x3x3x3x3x3x3lim(x1
x3
k3
4，故必有k30，即k3；x3
2
方法二：可由§1-8节无穷小比较来解：当x3时，x30；故此时必有x2xk0，
故k
3；
x21
★6．若limaxb0，求a，及b的值；xx1
知识点：同上；
x12xaxbx12xaxbx21
解：axb
x1x1x1
2

1ax2
x
1b，x1
x21x
lim[1ax21b]0知，必有则由limaxbxxx1x11a0,21b0，解得：a1,b1
习题1-7
★1．计算下列极限：
（1）lim
x0
1cos2xtan5xtanxsinx
；（2）limxcotx；（3）lim；（4）lim；
x0x0x0xsinxxx
（5）
x0
lim
x1cosx
；（6）lim
sinx2arcsinxxsinx
；（7）lim；（8）lim；
xxx0x0xsinx3x
知识点：两个重要极限；
思路：当函数用三角函数和幂函数表达时，可考虑变形成
的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易；
sin
，其中
0；但本题解法不是唯一
解：（1）lim
x0
tan5xsin5x1x
lim55；（2）limxcotxlimcosx1；x0x0x0x5xcos5xsinx
1
sinx1
tanxsinxcosxlimsinxlim11100
（3）limlimx0x0x0xxxx0cosx
1cos2x2sin2xsinx
limlim22；（4）lim
x0x0xsinxx0xsinxx

（5）
x0
lim
x1cosx
lim
x0
x
x
lim222；
x0x2xsin2sin
22
sinxsintsint
xtlimlim1；
xxt0t0tt
2arcsinx2t2
arcsinxtlim；（7）x0arcsinx0，则lim
x0t03sint3x3sinxx11lim
xsinx11x0sinxx（8）limlim0；x0xsinxx0sinxx1111lim
x0sinxx
（6）lim
★2．计算下列极限：
1x
（1）lim1x；（2）lim12x；（3）limx0x0x
x
1x
1x
3x
1
；（4）lim1
x
x
1x
kx
kN

x
（5）lim
xx1
x3
xa
；（6）lim
xxa
1
x
x0
；（7）lim1

xe
x

；（8）lim
11x
lnx0x1x
知识点：重要极限：lim1
0

1
e（或lim1e）


1
思路：将函数表达式化成lim1
0

1
e（或lim1e），并利用指数函数运算性质


（e
mn
emen,emnem
1
x
）得出结果
n
1
解：（1）lim1x
x0
11
(1xx
lim1xe1；lim1xx0x0

（2）lim
x0
12x
3x
1
x
1
22x
lim12xe2；
x0
x3
（3）lim
1x1lim1xxxx
kx
1x
lim1e3；
x0x
xk
3
1
（4）lim1
xx1
lim1xx
ek；
x3
x
（5）limxx1
x3
x11
limxx11
lim1x1x
1xx3
x1


1
lim1x1x
x
1x


13/x11/x
e1；
2a1a/x
2axa
lim1（6）limxxxaxa
xa2ax
2axa

2a
lim1
xxa
xa2a

e2a；
（7）lim1
x0

xe
x

1x
lim1xe
x0

x

1xe
x
ex
e1e
2x
limln1x0
1x
1x1
2x1x
（8）lim
11x1xlnlimlnx0x1xx01x
1
2x
lne1；
★★3．设
sinx
x,x0
fx12,x0，求limfx。
x0
x1,x0
知识点：分段函数的极限
思路：可以先将fx化成fx1或ft1，以利用已知的函数表达式；或者，由已知fx1，
求出
fx的表达式，再求limfx。
x0
解：方法一：换元：limfxt1x
x0
limft1，由已知
t1
lim
t1
ft1lim(
t1
sint
sin1，则limfxsin1；
x0t
t1，代入已知得
方法二：令x1t，则x
sint1sint1
,t10t1t1t1
ft2,t10ft2,t1
t,tt10t1
sinx1
,x1x1sinx1
sin1；fx2,x1，则limfxlim
x0x0x1x,x1


★4．已知lim
xc
3，求c。
xxc
x
2
知识点：同题2思路：同题2
解：lim
2cxc
lim1xxcx
xc
x
2xccx
2cxc
ec3cln3；
★★5．利用极限存在准则定理证明：
（1）limn
n
111n
1x11；（2）lim222x0nn2nn
知识点：夹逼准则
思路：关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限易求解：（1）n
111111
nn222222nnnnnnnnn
n21n211
limlim1，，而n122nn2nnn2nnnn1
n
由夹逼准则，知limn
n
1111222
nn2nn
1n
（2）Ⅰ：当0
n
1x1x
，在求x0时的极限时，不妨设1x1，
x0
n
x1，有1n1x1x，且lim1x1，由夹逼准则，知lim1x1；

x0
n
x0，有1xn1x1，且lim1x1，由夹逼准则，知lim1x1；
x0
Ⅱ：当1综上，lim
x0
n
x0
1x1；
★★6．利用极限存在准则证明数列
2，22，222的极限存在，并求出该极
限。
知识点：单调有界数列必有极限。思路：先证单调有界，再求极限。

解：数列通项满足xn2xn1，x122，x1x2222，不妨设
xk1xk2，则2xk12xk222，即xkxk12；由归纳法知，此数
列单调增加，且xn将xn
2；由单调有界数列必有极限知，此数列极限存在，设为A；
左右两边取极限：limxn
n
2xn1lim2xn12limxn1A2A，
n
n
n
解得，
A2或A1，显然xn0，由极限的保号性，知极限A0，故limxn2；
★★7．设
xn。xn满足：1x00，xn1xn22xnn0,1,2,，证明xn收敛，求lim
n
知识点：同上；思路：同上；
2
解：x1x02x0，当1x00时，∵x1x02x0(x011，∴1x10，
2
2
设1
xk10，则xkxk12xk1(xk1121，得：1xk0；
xn0；
2
2
由数学归纳法知，此数列有界且1此时，0
xn11，则有xn1xnxn2xnxnxnxn10，即xn1xn，
2
知数列单调减小，且有下界，故必有极限。设limxn
n
A，则有limxn1lim(xn2xn，解得AA22AA0或A1；
n
n
因数列单调减，且1
xnxn1x00，故limxn1；
n
习题1-8
★1．当
x0时，xx2与x2x3相比，哪一个是高阶无穷小？
知识点：无穷小的比较
思路：关键是求两个无穷小商的极限，然后根据无穷小比较的定义作出判断
x2x3232
limx0xxxx解：lim；故是的高阶无穷小；
x0xx2x0
★★2．当
1
x0时，sinxx2cos与1cosxln1x是否为同阶无穷小？
x
知识点：无穷小的比较

思路：可先利用等价无穷小代换化简，然后再作判断。
解：当x0时，(1cosx2,ln(1x~x∴1cosxln1x～2x
11sinx2
xcos，sinxxcosx
xxx
由于lim
sinx1
1,limxcos0（有界量乘无穷小量为无穷小）
x0x0xx
∴lim
11sinxsinx
xcos1xxcos~x，
x0xxxx
显然2x与x同阶但不等价，由等价关系及同阶关系的传递性可得：
121cosxln1x与sinxxcos同阶，但不等价；

x
★★3．当
x0时，ax3a
a0与x相比是几阶无穷小？
知识点：无穷小比较
思路：对ax3a作适当的变形，使之可以套用常用的等价无穷小。
3x1，解：axaa1
a
3
333x3x3xxax0，故11～1~当x0时，，∴a1
aaa2a2a

显然
ax3a是x的三阶无穷小；
x0时，若1cosx与mxn等价，求m和n的值。
★4．当
知识点：无穷小比较；
思路：注意利用书中所给的等价无穷小公式，及等价关系的传递性；解：当x0时，1cosx～
121
x～mxn，显然m,n2；22
3
★5．利用等价无穷小性质求下列极限：
arctan3x
（1）lim
x05x
sinxtanx；（3）limln13xsinx；
；（2）lim
x0
1cosx2
x0
tanx2
5xsin2x2x31xsinx1
（4）lim；（5）lim
x0x0xarctanxtanx4x2e5x1
（6）lim
x0x

知识点：等价无穷小代换求极限；
思路：要活用等价无穷小公式，如当x0，有x0，故sinx～x，以及有关定理。
3
3
3
sinx3tanxx3xarctan3x3x3
lim；（2）limlim2；解：（1）lim2x0x0x0x0215x5x51cosx
x22


（3）当x
0时，3xsinx0，故ln13xsinx～3xsinx，
ln13xsinx3xsinx
lim3；22x0x0tanxx1
xsinx
1xsinx11
（4）limlim2；
x0x0xarctanxxx2
sinx2sinx2252x5limlim2x223
5xsinx2xx0x0xx（5）方法一：limlim52x0x0tanxtanxtanx4x4xlimlim4x
x0x0xx
lim
ox2
5x2x223223
5xsinx2x5xxox2xx方法二：limlimlim22x0x0x0oxtanx4xxox4x
14x
x



ox2
lim5limxlimlim2x2x0x0x0x0x5
oxlim1limlim4x
x0x0xx0
（其中，o

x表示x
2
2
的高阶无穷小，o
x则表示x的高阶无穷小，自然由ox，ox2的定义有
与是等价无穷小的充分必要条件是：
oxox2
0；lim0，lim又由定理：
x0x0xx
所以sinx
2

o(
x2o(x2，tanxxo(x）
e5x15xlim5（6）lim
x0x0xx
习题1-9
★★1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。
（1）
0x1x2,x,1x1
；（2）fxfx
x1或1x2x,1x21,

知识点：函数连续定义；分段点处的连续性
思路：初等函数在定义域上连续，而在函数的分段点处要分别验证左右连续性。解：（1）显然函数在定义区间0,11,
在分段点x
2上连续，且在x0处右连续，在x2处左连续；
2
1处，∵f10limx1，f10lim2x1，
x1
x1
则
f10f10f1，∴函数在x1处连续；故函数在0,2上连续；
（2）显然函数在在分段点x
,11,1,1上连续；
x1
x1
x1，f10lim11，1处，∵f10lim
则
f10f10f1，∴函数在x1处连续；
11；f10limx1，极限不存在，故不连续；1处：f10lim
x1
x1
在分段点x
综上，函数在
,（见下图）11,上连续。
y
yx
1
2
yy1
y2x
1
图1-9-1-1

-1
10
1
02
x
x
yx
图1-9-2-2
★2．下列函数
fx在x0处是否连续？为什么？
（1）
1ex,2
x0xsin,x0
；（2）fxfxxsinxx0,0x0,x
知识点：函数连续定义；思路：左右连续分别验证；解：（1）limxsin
x0
2
1
0f0，则函数在x0处连续；x

（2）
x0
x
lime1,
sinx1f0，则函数在x0处连续；limxx0
★3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连
续。（1）
y
1
x2
2
,
x21
,x1,x2;x2；（2）y2
x3x2
x0；
（3）
y
11ln1x,x0；（4）ycos2,xx
知识点：间断点类型及判定；
思路：间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；解：（1）lim
1
x2
x2
2
，∴x2是第二类的无穷间断点；
x1x1limx12，左右极限相等，x21
（2）x1时，lim2lim
x1x3x2x1x2x1x1x2
∴是第一类中的可去间断点，补充定义
y12可使函数在该点处连续；
x21x1
lim，∴是第二类无穷间断点；x2时，lim2
x2x3x2x2x2
（3）lim
ln1xxlim1，∴x0为第一类可去间断点，补充y01可使函数
x0x0xx0时，cos2
在该点处连续。（4）x
1
的值在0到1之间来回变动，故x0是第二类震荡间断点x
★★★4．证明：若
fx在点x0连续且fx00，则存在x0的某一邻域Ux0，当xUx0时，
fx0。
知识点：连续的定义以及极限的保号性证明：由于fx00，不妨设fx00，
∵
fx在点x0连续，即limfxfx0，
xx0
01
∴对fx00，存在正数，当xUx0,时，fxfx0，
2
131
fx0fxfx00，故fx0；即fxfx0fx0
222
而已知
fx00，故当xUx0,时，fx0。

同理可证，当
fx00时，存在x0的某一邻域Ux0,，当xUx0,时，fx0。
x0ex,
★5．设fx，应当如何选择数a，使得fx成为,内的连续函数。
ax,x0
知识点：函数在区间上的连续性思路：关键是分段点处的连续问题
解：由初等函数的连续性，显然fx在,
处连续即可；故只需在x
x0
00,上是连续的；故只要在分段点x0
x0
fxlimfxf0，0处有lim
代入
x0
x
limaxlimea，解得a1；
x0
★6．设
ax2,x0
fx1,x0，已知fx在x0处连续，试确定a及b的值。
lnbxx2,0x

知识点：左右连续；
思路：在x0处连续，有f00f00f0，并据此列式求解；解：fx在x0处连续当且仅当fx在x0处既左连续又右连续；
由
x0
limlnbxx

2

a1
；limaxf01lnba1
x0be
2
★7．研究
1,1
fx1exx0在x0处的左右连续性。
0,x0
知识点：左右连续；
思路：由于当x时，e；当x时，e0，故在求涉及到e当x0时的
极限时一定要左右极限分别求。
x
x
1
x
解：lim
x0
11e
1
x
1，lim
x0
11e
1
x
0，而f00，显然f(x在x0处是右连续但不左连续。
★★8．设函数
gx在x0处连续，且g00，已知fxgx，试证函数fx在x0处
也连续。
知识点：连续定义；

证明：fxgx，故0f0g00f00；
由函数g
x在x0处连续，则对任意正数，存在正数，当0
x0时
gxg0，即gx；而fxf0fxgx，所以
limfxf0，即fx在x0处也连续。
x0
证法二：fxgx，故0f0g00f00；
又0
fxgx
x0
，∵g
g(xg(00x在x0处连续，∴limx0
x0
∴由夹逼定理：limf(x0limf(x0
★★★9．设
x2n1ax2bx
fxlim，当a，b取何值时，fx在,上连续。
nx2n1
知识点：极限求法和连续定义；
思路：先将fx化成初等函数，才方便考察其连续性；化简过程即是计算极限的过程，在计算极限过
程中，当n时，x
2n
的极限与
x的范围有关：当x1，x2n0；当x1时，x2n；
故要分类讨论，以数1为分段点
1ab1abx2n1ax2bx
lim解：当x1，lim；2nnn22x11ab1abx2n1ax2bx
lim当x1，lim
nn22x2n1
当
；
x2n1ax2bx2axbx；x1，lim2nnx1x2n1ax2bx
limx1，lim2nnnx1
1a
1
当
x2n1
112n1xx
b
1
x2nx；
则
1ab
,x12

1ab,x1fx，显然fx在，11，11，上连续，
22
axbx,1x1x,x1

故
fx在,上连续，只需要求在x1，x1处连续，
x1
而lim
fxlimx1，limfxlimax2bxab，知ab1①；
x1
x1x1
x1
limfxlimax2bxab，limfxlimx1，知ab1②；
x1
x1
x1
由①②解得：a0,b1；
内容概要名称1.10连续函数运算与性质
闭区间连续函数性质
少存在一点
（
，则在开区间a,b内至少有函数fx的一个零点，即至fafb0）零点定理：闭区间
最值定理：闭区间连续函数一定有最大最小值；有界性定理：闭区间连续函数一定在该区间上有界；
主要内容连续函数的四则运算性质；
反函数与复合函数的连续性；初等函数在定义区间内是连续的；
a,b上的连续函数fx，若fa与fb异号
ab，使得f0。
介值定理：闭区间对任意C
a,b上的连续函数fx，若faA，fbB，则
A,B，至少存在一点ab，使得fC
一致连续性定理（了解）；

习题1-10
x33x2x3★1．求函数y的连续区间，并求limfx，limfx，limfx。
x3x0x2x2x6
知识点：初等函数连续性及连续函数的性质
思路：初等函数在定义域上连续，函数在连续点处的极限值等于该点的函数值
2
解：本函数的定义域为：xx60，解得x2或x3；
则本函数的连续区间为
,33,22,；
limfxf0
x0
1，2

x33x2x3x3x21x218
；limfxlimlimlim
x3x3x3x3x2x3x25x2x6
x21limfxlim；x2x2x2
★2．求下列极限：

（1）lim
x0
sin2x22x5；（2）lim

4
3
；（3）limln
x

2cos2x；（4）lim
x0
6
x11
；
x
sinxln1x2
（5）limln；（6）lim
x0x0sin1x2x
知识点：连续函数的定义及性质；解：（1）limx2x5
x0
2



sin21；
4
3
（2）limsin2022055；


4
3
1
x
x1112（3）limln2cos2xln2cos20；（4）lim；limx0x06xx2x
6
sinxsinxln1x2ln102
lnlimln10；（6）lim（5）limln0；22x0x0x0xxsin1xsin10
★3．证明方程


x53x1至少有一个根介于1和2之间。
知识点：零点定理；
思路：若令fxx53x1，则方程x3x1在某区间上是否有根的问题，化为函数fx在
5
该区间是否有零点的问题。
证明：设fxx53x1，显然f(x在区间1,
由零点定理：存在
★★4．证明方程
2上连续，f11,f225，
1,2，f0，即是x53x1的根，介于1和2之间。
xasinxb0a,0b至少有一个正根，并且它不超过ab。
知识点：同题3；思路：同题3；
证明：设fxxasinxb，显然f(x在区间0,
ab上连续；

f0b,
Ⅰ：若sinⅡ：若sin使得
fababasinabba1sinab；
ab1，则fab0，此时ab即是xasinxb的根；ab1，则0fab，f0b0，由零点定理，存在0,
ab，
f0，即是方程xasinxb的根；综上，结论成立。
★5．证明曲线
yx43x27x10在x1与x2之间至少与x轴有一个交点。
知识点：零点定理；
证明：设fxx43x27x10，显然fx在1,
由零点定理：存在则结论成立。
★6．设
2上连续；f13,f28；
1,2，使得f0，即点,0在曲线yx43x27x10上，
fxex2，求证在区间0,2内至少有一点x0，使得ex02x0。
知识点：同题3；思路：同题3；
证明：设Fxex2x，显然Fx在0,
则F
2上连续，F01，F2e24，
0F20，由零点定理，存在0,2，使得F0，即e2。
★★7．设函数
，且fx对a,b上任意两点x，y，恒有fxfyLxy（L为常数）
fafb0，试证在a,b内至少有一点，使得f0。
知识点：极限的夹逼准则，连续的定义及零点定理；
思路：先利用定义证明函数fx连续，再利用零点定理证明结论。证明：设任意点x0a,
先用定义证fx在x0点连续：设x0xa,b，由任意两点x，b，
得：
y，恒有fxfyLxy
fx0xfx0Lx，即Lxfx0xfx0Lx，而当
x0时，Lx0，故由夹逼准则，知lim[fx0xfx0]0，
x0
即
fx在x0上连续，由x0的任意性知，fx在a,b上连续；

又
fafb0，则由零点定理，在a,b内至少有一点，使得f0。
★8．若
fx在a,b上连续，ax1x2xnb，则在x1,xn上必有，使
fx1fx2fxn
。
n

f
知识点：闭区间上连续函数的最值定理与介值定理；
思路：先证明
fx1fx2fxn
是最小值与最大值之间的某个值；再用介值定理；
n
则fx必在x1,xn上连续，且在a,bb上连续且x1,xna,b，
证明：fx在a,
必有最值，设为M1，最小值m1；设M
maxfx1,fx2,,fxnM1，mminfx1,fx2fxnm1，
则m
mmfx1fx2fxnMM
M，即
nnn
fx1fx2fxn
m,Mm1,M1，由介值定理，必存在a,b，使
n
得
f
fx1fx2fxn
。
n
★★9．设
fx在0,2a上连续，且f0f2a，证明：在0,a上至少存在一点，使ffa。

知识点：零点定理。
思路：从结论的形式中分析找到对应的函数：fxfxa，以及对应的闭区间0,
个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。
a，然后逐
证明：令Fxfxfxa，当x0,a时，xaa,2a，由函数fx在
0,2a上连续，故fx在0,a上连续，fxa在0,a上连续，故Fx在0,a上连
续，且FⅠ：当
0f0f0af2afa，Fafaf2a，
faf2a时，取a，则ffa，0,a，此时结论成立；

Ⅱ：当使得F
则由零点定理得，存在0,afaf2a时，F0Fafaf2a0，
2
0，即ffa；此时结论成立；
综上，结论成立。
总习题一
★1．求函数
y3xarcsin
32x
的定义域：5
知识点：函数定义域。
3x0,x3,
32x解：由其表达式有1x3111x45
★2．设函数
xf(x的定义域是0,1，求f的定义域。
x1
知识点：复合函数的定义域。
解：由已知f(x的定义域是0,1，故对f
xxx
0,1，即01，解得有：
x11xx1
x
x0,，所以f的定义域为0,
x1
★3．设
yx2，要使当xU0,时，yU0,2，应如何选择邻域U0,的半径
。
知识点：函数及邻域定义。思路：由函数值范围yU0,
围。
2，解出x的最大范围；
取值使U
0,不超过这个最大范
解：要使yU0,
须取
2，即x2U0,2，即2x22，只须2x2，此时只
选取不是唯一的，只要选比
2即可（
fx
2小的正数保证x2U0,2即可）
★4．证明
1x2x11xx1
2
是奇函数
xR。
知识点：函数奇偶性；
思路：按定义只需证fxfx0即可；

解：函数定义域为R，fxfx

1x2x11xx1
22

1x2x11xx1
2


(1x2x11x2x1
(1x
2

1x1x1x
x11x2x11x
2



0，故fxfx，是奇函数；
★★5．设函数
试证：yf(xf(x，x,的图形关于xa，xb均对称ab，
是周期函数，并求其周期。
知识点：周期函数定义，及对称图形的性质
思路：如若函数图形关于xa对称，则fxafxa解：fxfaxa，由函数图形关于xa对称知，
faxafaxaf2ax，而f2axfb2axb，由函数图
形关于x
b对称，则fb2axbfb2axbf2b2ax，
fxfx2b2a；则yf(x是周期函数，且其周期T2b2a；
★★6．设
f(x在0,上有意义，0x1，0x2，求证：
（1）若（2）若
fx单调减少，则fx1x2fx1fx2；
xfx单调增加，则fx1fx2fx1x2。x
知识点：单调性思路：因为题中涉及x1,
x2,x2x1三者对应函数值的关系，故可按单调性比较它们的大小
x2x1x2；又
fx单调减少，x
解：（1）0x1，0x2，∴x1x1x2,
∴
fx1x2fx1fx1x2fx2fx1x2，，∴x2fx2，
x1x2x1x1x2x2x1x2fx1x2x1fx1，两式相加化简得：fx1x2fx1fx2；x1x2

（2）同理可证。
★★7．求下列函数的反函数：

x,x1
112
（1）yx，x1；（2）yx,1x2。
2x3x,2x

知识点：求分段函数的反函数
思路：从函数中解出x即可，需注意范围的对应解：（1）y
112
xx2xy10，2x
由韦达定理，上式有实解当且仅当当
y21，且xyy21。
y1时，0yy211，与x范围不符，故xyy21舍掉；y1，1y
y210（可分别验证），故xy
y21舍掉；
当
2yy1,y1
综上，x，按习惯将自变量用x来记，所求函数的反函数为
2y1yy1,2xx1,x1
。y
2x1xx1,
x,x1y,y12
（2）yx,1x2xy,1y4，则所求函数的反函数为
3x,2xlogy,9y
3
x,x1yx,1x4
logx,9x3
★8．求函数
f(x的表达式：fsin2xcos2xtan2x，0x1。

2
知识点：复合函数定义
思路：用三角公式将等式右端表达为sinx的函数，即可求得f(x
sin2x
解：fsinxcos2xtanxfsinx12sinx2
cosx

2

2

2

2
sin2x
12sinx2
1sinx
2

2
令sinxt，得ft12t
t12t,0t1；1t1t
故fx2x
★★9．设
1
,0x1；1x
1
fx满足方程：afxbfsinx，ab，求f(x。
x
知识点：函数定义
思路：已知等式对任意x成立，自然对x也成立解：令x，则afxbf
1t
1t
111
sinxafbftsin
txt
①，由函数自变量与
用何字母表示无关，①可化为af
11
，则解方程组bfxsin
xx
1
afxbfsinx
11x
得：fxasinxbsin22
xabaf1bfxsin1
xx
★10．设函数
f(xex
2
，
。fx1x，且x0，求x及其定义域；
知识点：函数的复合；
2xx22x解：f(xefxe，则e解得：由x0，1x，2xln1x，
知，
x
ln1x0
1x1x0；ln1x；显然x的定义域为
1x0
★11．设
1,x1fx0,x1，gxex,求fgx，gfx，并做出图形：
1,
1x
知识点：分段函数的复合；思路：在对应的范围内代入即可；

解：
fgxfex

x
e11,x01,0ex1fgx0,x01,1,0x，x
1e

y
1
1
0
图1-11（1）
x
y
e,x1

gfx1,x1，
e1,
1x

e
1
e1
1
01
图1-11（2）
x
★★12．设
x00,0,x0
，gx，求ffx，ggx，fgx，fx2
x,x0x0x,
gfx。
解：当x0时，f00,
gx0，则ffxf00,fgxf00，
g当x
fxg00,ggxg00；
0时，fxx,gxx2，则ffxfxx,fgxfx20ggxgx20；

g
fxgxx2,

故
x00,0,x0
，fgx0，gfx；ggx0；ffx2
x,x0x0x,
xn
1112，求limxn。
n3154n1
★★13．
知识点：数列极限；

思路：多项和时，先化简xn。解：∵xn
11111[(1(232351
2
11111]122n12n122n1
∴limxn
n
2e1xx★★14．求极限lim。1x0xx1e
知识点：左右极限的求法；
思路：求有绝对值的函数极限要先去绝对值，另外因e在x0处的左右极限值不同，所以需通过左右
极限讨论上述极限
1
x
解：x0时，e
1
x
0,e
2
x
0；
x
1，x
∴
2e1xx211f00lim2x0xx1e
1x
x0时，e,e
2
x
；
x
1，x
∴
21/x12e1xx
ef00limlim11f00，21/xx0x01xxe1ee1/x
2e1xx
∴lim11x0xx
1e
★15．用定义证明函数
fxx
当x0时极限为0。
知识点：函数极限定义
证明：0，要使x0x，只须取，则当0x0时，总有x0，
故limx
x0
0
fxA。x及x时，函数fx的极限都存在且都等于A，则lim
x
★16．证明：若
知识点：函数极限定义

证明：对0，因limfxA，∴X10X1，当xX1时，总有fxA，
x
又因现取
x
limfxA，∴对上述0，X20，当xX2时，总有fxA，
x
XmaxX1,X2，当xX时，总有fxA，故limfxA；
fx当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在
★17．利用极限定义证明：函数
并且相等。
知识点：数列极限定义
证明：必要性：设limfxA，于是0，0，
xx0
当0
，有fxA，xx0时（即0xx0和xx00）
所以
fx00A,fx00A
充分性：当当1有
fx00A,fx00A，则0，110，
xx00时，有fxA；220，当0xx02时，
fxA；取min1,2，则当0xx0及xx00，
xx0时，亦有fxA，
即0∴
xx0
limfxA
x29★18．根据定义证明：y为x3时的无穷小。
x3
知识点：函数极限定义；证明：0，要使
x29
0x3，只须取x3
，
于是对于
0，存在，当x3，总有
x29x29
00，∴lim
x3x3x3
★19．已知
px22
fx23qx5，当x时，p、q取何值时fx为无穷小量？p、q
x1
取何值时
fx为无穷大量？
知识点：无穷小与无穷大的定义

思路：分析p、q取值对极限的影响
px22px22
解：（1）limfxlim3qx5lim3qxlim5
limxxx21xx21xx

p5lim3qx0
x
则必有q0,p50，故当q0,
p5时，fx为无穷小量；
px22
（2）若limfxlim3qx53qx，必有q0，p为p5limxxx21x

任意常数，故当q
0，p为任意常数时，fx为无穷大量；
★20．计算下列极限：
xn12x13
（1）lim（n为正整数）；（2）lim
x1x1x4
x22
；（3）
x
lim
xpxqx；
3
x212xsinx1x223x1
3cosx；（5）xlim（4）lim3arctan；（6）lim22xxxx1xx11x
知识点：极限求法；
xn1x1xn1xn2xn3x1
解：（1）limlimn；
x1x1x1x1

2x132x13x22
x22x222x13x22
2x8x2222
lim
3x42x13
（2）lim
x4
2x13
lim
x4
x4
（3）
x
lim

xpxqx2(pqxpq
xpxqxxlimlim
xxpxqxxpxqx

pq
2
x21x21
3cosx00，而3cosx是有界量，故lim3（4）因为lim3
xxxxxx
（5）
x
lim
2xsinx
1
arctanlim
xx1x2
2xx1
1x2
1
sinxarctan0；
x

3
（6）lim
x1
x223x1
x12
x1lim
x1x
3
x1
3
3
2
2
3
x1
2
lim
x13
x
1
2

3
x1
2

19
★21．设
12,xfx0,
x22x,
3x6,
x
x0x00x22x
，讨论x
0及x2时，fx的极限是否存在，并且
求
x
limfx及limfx。
知识点：左右极限与原极限关系思路：分段点极限要左右极限分别求
fxlim证明：lim
x0
x0
12
limfxlimx2x0，故limfx不存在；，2x0x0x0x
x2
x2
x2

x2
2
fxlim3x60，故limfx0；limfxlimx2x0，lim
x2

x
limfxlim
x
1
0，limfxlim3x6；
xxx2
★22．计算下列极限：
x3x2521tanx1sinx
sin；（1）lim2sinnx0；（2）lim（3）lim
nx5x3x02xx1cosx
n

知识点：极限求法；
思路：求极限时，当某一因式是有根号差的形式时，注意分式有理化；用等价代换求极限。
x
nxn2x1xx；解：（1）lim2sinnlimsin
xnn2n2
25sin3
3x2523x25x2limx2126
sinlim2（2）lim
x5x3x3xx5x3x255
xx
（3）lim
x0
1tanx1sinx
x1cosx
x1cosx

lim
x0
tanxsinx

1tanx1sinx

（分子有理化）


tanx1cosx11tanx1limlimx0x02x1cosx2x2
1
★★23．计算下列极限：
lnaxlnax2lna1tanxx2
（1）lim；（2）lim2x0x0x1sinx
知识点：重要极限lim1xe。
x0
1
x

思路：利用已知极限lim1xe求解。
x0
a1222x2(a2
1axlnaxlnax2lna1xlimlnlimln解：（1）lim=x022x0x2x0aax2
2
1
x

2
1xlim2ln1a2x0a

x2a2

1x3
11
lnea2a2

1
1tanx
（2）原式lim11
x0
1sinx

tanxsinxx3
lim1x01sinx
，
tanxsinx
lim1x01sinx
1sinxtanxsinx1

tanxsinx1sinxx3
因为
lim
tanxsinx1sinx1cosx1
3lim
x0x01sinx1sinxcosxx3x


sinx1cosxx2/21limlim2，x0x0xx2x2
所以原式
★★★24．设x1
e
12

1，xn11
xn
xn。n1,2,，求limn1xn
知识点：单调有界数列必有极限。
思路：先证明数列单调（可用归纳法），且有界，然后知必有极限，可设极限为A，再求出A。解：x21
13
，则0x1x2，假设0xn1xn，则22
xn1xn
xnxn1111x1xn1nxn1xn
1x1x0，即0xnxn1，
nn1

由数学归纳法，任意nN，有xnxn1，可知本数列是单调增加的；
又由xn1
1
xn1
22，知本数列有界，所以极限必存在，设limxna
n1xn1xn
两边取极限得：limxn1
n
等式xn1
1
xn
1xn
lim(1
n
xna
，解得a1
1xn1a
15
2
；
a
1
152

，而0x，故a115，即limx
2
n
n
n
x2
★25．证明：当x0时，有：（1）arctanx～x；（2）secx1～
2
知识点：等价无穷小的定义；
思路：按等价定义，即要证明两者商的极限是1；证明：（1）lim
。
arctanxtt
arctanxtlimlimcost1，故arctanx～x；
x0t0tantt0sintx
1
1x2
secx11cosxcosx2lim11，
（2）limlimlimlim
x0x0x0x2x0x2x0cosxx2x2cosxcosx222
2
x2
故secx1～
2
。
★26．利用等价无穷小性质求下列极限：
（1）lim
x0
sinxn
sinxm
n,
sin23x
；mN（2）lim2
x0ln12x
（3）lim
x0
sinxtanx
(31x211sinx1

1axn1；（4）lim；（5）lim
x0
1
x
x0
1xsinxcosx
；
2xsin2
知识点：等价无穷小代换。
思路：关键是等价无穷小公式的记忆和灵活运用，如当0，n11~
。
n
解：（1）lim
x0
sinxn
sinxm
limx
x0
n
xm
1,nm

0,mn；,nm

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

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