概率论与数理统计第四版课后习题答案

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概率论与数理统计课后习题答案

第七章参数估计
1．[一]随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）
74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002
求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。
解：μ，σ2的矩估计是



。
2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）

其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）

其中θ>0，θ为未知参数。
（5）

为未知参数。

解：（1）

，得


（2）


（5）E(X=mp令mp=

，解得


3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数




（解唯一故为极大似然估计量）
（2）




。(解唯一故为极大似然估计量。
（5）
，





解得

，（解唯一）故为极大似然估计量。
4．[四(2]设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计X~π(λ，E(X=λ，故=

为矩估计量。
（2）极大似然估计


，




为极大似然估计量。
（其中


5．[六]一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数观察到石灰石的样品个数
解：λ的极大似然估计值为

=

=0.499
[四(1]设总体X具有分布律XPk
1θ2
2
2θ(1－θ
3(1－θ2
012345678910016723262112310
其中θ(0<θ<1为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。


解：（1）求θ的矩估计值


则得到θ的矩估计值为



（2）求θ的最大似然估计值
似然函数




lnL(θ=ln2+5lnθ+ln(1－θ
求导


得到唯一解为


8．[九(1]设总体X~N（μ，σ2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使

的无偏估计。


解：由于


=


当

。
[十]设X1，X2，X3，X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量






（1）指出T1，T2，T3哪几个是θ的无偏估计量；
（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以
E(Xi=θ,D(Xi=θ2,i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°，3°有







即T1，T2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4独立，知




D(T1>D(T2
所以T2较为有效。
14.[十四]设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。
解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（

），
计算得


（2）μ的置信度为0.95的置信区间为（


），计算得

，查表t0.025(8=2.3060.


16.[十六]随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
解：σ的置信度为0.95的置信区间为

其中α=0.05,n=9
查表知


19.[十九]研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为

设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。
解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为


其中α=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20,




20.[二十]设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为

分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比

的置信度为0.95的置信区间。
解：

的置信度为0.95的置信区间



=(0.222,3.601.
其中n1=n2=10，α=0.05，F0.025(9,9=4.03,

。
第八章假设检验
1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.253.273.243.263.24。设测定值总体服从正态分布，问在0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
解：设测定值总体X～N（μ，σ2），μ，σ2均未知
步骤：（1）提出假设检验H

：μ=3.25;H1：μ≠3.25
α=
（2）选取检验统计量为


（3）H

的拒绝域为|t|≥


（4）n=5,α=0.01，由计算知


查表t0.005(4=4.6041,


（5）故在α=0.01下，接受假设H0
2．[二]如果一个矩形的宽度ω与长度l的比

，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、
工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α=0.05）
H0：μ=0.618H1：μ≠0.618

0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.668
0.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.
解：步骤：（1）H0：μ=0.618；H1：μ≠0.618
（2）选取检验统计量为


（3）H0的拒绝域为|t|≥


（4）n=20α=0.05，计算知

，


（5）故在α=0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.618
3.[三]要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ<1000。

解：步骤：（1）

μ≥1000；H1：μ<1000；（σ=100已知）
（2）H0的拒绝域为


（3）n=25，α=0.05，

，
计算知


（4）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
12.[十一]一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间

小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α=0.05。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分
大时

近似地服从正态分布。）
解：（1）提出假设H0：μ≤8；H1：μ>8
（2）当n充分大时，

近似地服从N（0，1）分布
（3）H0的拒绝域近似为

≥zα
（4）n=100，α=0.05，，S=2，由计算知




（5）故在α=0.05下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。
14.[十三]某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆，设总体为正态分布。问在水平α=0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
解：（1）提出H0：σ≤0.005；H1：σ>0.005
（2）H0的拒绝域为


（3）n=9，α=0.05，S=0.007，由计算知


查表



（4）故在α=0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。
15.[十四]在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α=0.05）
H0：σ2=0.112，H1：σ2≠0.112。
解：步骤（1）H0：σ2=0.112；H1：σ2≠0.112
（2）选取检验统计量为


（3）H0的拒绝域为


（4）n=20，α=0.05，由计算知S2=0.09252，


查表知


（5）故在α=0.05，接受H0，认为总体的标准差σ为0.11.
16.[十五]测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ2为总体方差。试在水平α=0.05下检验假设H0：σ≥0.04%；H1：σ<0.04%。
解：（1）H0：σ2≥(0.04%2；H1：σ2<(0.04%2
（2）H0的拒绝域为



（3）n=10，α=0.05，S=0.037%，查表知


由计算知


（4）故在α=0.05下，接受H0，认为σ大于0.04%
17.[十六]在第6[五]题中分别记两个总体的方差为

。试检验假设（取α=0.05）H0：

以说在第6[五]题中我们假设是合理的。
解：（1）H0：
（2）选取检验统计量为


（3）H0的拒绝域为


（4）n1=8，n2=10，α=0.05，查表知F0.025(7,9=4.20


F0.975(7,9


（5）故在α=0.05下，接受H0，认为
18.[十七]在第8题[七]中分别记两个总体的方差为。试检验假设（取α=0.05）H0：

以说明在第8[七]题中我们假设

是合理的。
解：（1）H0：


（2）选取检验统计量


（3）n1=n2=12，α=0.05，查表知
F0.025(11,11=3.34，


由计算知


（4）故在α=0.05下，接受H0，认为


24.[二十三]检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为
错误个数fi含fi个错误的页数
0
1
2
3
40
52
61
≥70

3640192



问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α=0.05）。解：（1）H0：总体X~π(λ；H1：X不服从泊松布；（λ未知）

（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为


（3）H0的拒绝域为


（4）n=100

















对于j>3，


将其合并得


合并后，K=4，Y=1
查表知


由计算知


（5）故在α=0.05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。

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