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2019年高考模拟试卷(4)

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1. 全集，集合，，则 ．

2. 已知复数满足，(是虚数单位)，则复数的共轭复数= .

3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ．

4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ．

5. 如图程序运行的结果是 ．

6. 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 ．

7. 给出下列命题：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；

（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．

则其中所有真命题的序号是 ．

8. 已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则= ．

9. 设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3， 则实数b的值为 ．

10. 若则的最小值为 ．

11. 在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为 ．

12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60︒，则圆M的方程为 ．

13．三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_________.

14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求；

（2）若△ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.

16．(本小题满分14分)在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，为侧棱上的一点.

（1）当四面体的体积为时，求的值；

（2）在（1）的条件下，若是的中点，求证：

word/media/image42_1.png

17．（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.

（１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（２）求观光路线总长的最大值.

18．（本小题满分16分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分16分）已知函数.

（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.

20．（本小题满分16分）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：an＞bn(n∈N*，n≤m)．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．

B．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵满足：.

(Ⅰ）求二阶矩阵；

(Ⅱ）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线上．

(Ⅰ)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标．

D．（选修４－５：不等式选讲）已知x，y，z均为正数．求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22．（本小题满分10分）从集合中任取三个元素构成子集

（1）求中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；

（2）记三个数中相邻自然数的组数为（如集合中3和4相邻，4和5相邻，

），求随机变量的分布率及其数学期望.

23．（本小题满分10分）设整数3，集合P{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数．

（1）求a3；

（2）求an．

2014年高考模拟试卷(4)参考答案

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题

1.；　 2.； 3．； 4．1200； 5．14； 6．；

7．①② ； 8． ； 9． ； 10．.【解析】，当且仅当时，取等号；

11． . 【解析】 以CA、CB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，则x＋y＝2，y＝2－x，即M(x, 2－x)，又MN＝，所以点N坐标为(x＋1，2－x－1)，即N(x＋1，1－x)，于是＝x(x＋1)＋(2－x) (1－x)＝2x2－2x＋2＝(0≤x≤1)，所以x＝时取最小值，x＝0或1时取最大值2，因此的取值范围为； 12．.【解析】∵当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴圆M与圆C一定是同心圆，∴可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝，AB＝2×，所以＋2××＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1；

13．.【解析】设，依题意知，∴，故，，由及点Q在其上，可设Q点的坐标为. 由Q为的一个极值点得，

显然，∴，∴，

∵，∴存在最大值，

数形结合可求得，其最小值为.

14．92．【解析】易知d=0，成立．

当d>0时，

又

， ，所以公差d的所有可能取值之和为92．

二、解答题

15． (1)因为,即,

所以,

即,

得，

所以,或(不成立).

即, 得；

(2)法一：由.

因,

故，

，，.

法二： ，

， .

16．（1）设，设作于，且为交线，

则，又，

在中，，

，

，

解得.

（2）取中点，连结，

则，

则，

而为平面内的两条相交直线，，

而，．

【注】第（2）问，也可以连结ED，ED交CP于Q，用平几知识证明Q为ED中点，进而证明OQ∥BE，从而获证. 　

17．(1)由题意知，，，因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以,

所以， .

(2)记,则，

令，得，

列表

所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，

即，

答：观光路线总长的最大值为千米．

18．（1）设，其中，

由,得.

从而故.

从而，由得，因此.

所以，故.

因此，所求椭圆的标准方程为.

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知,，

由（1）知，所以，

再由得，

由椭圆方程得，即，

解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.

当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设

由得而故.

圆的半径.

综上，存在满足条件的圆，其方程为.

19.（1）由得，因在区间上不是单调函数.

所以在上最大值大于0，最小值小于0,

,

，.

(2)由，得,

，且等号不能同时取，，即.

恒成立，即.

令，求导得,

当时，，从而.

在上是增函数，.

.

(3)由条件，,

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧,

不妨设，则，且,

是以为直角顶点的直角三角形，,

是否存在等价于方程在且是否有解.

①当时，方程为，化简，此方程无解；

②当时，方程为，即

设，则,

显然，当时，，即在上为增函数.

的值域为，即，当时，方程总有解.

对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.

20．（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则d＝，q＝．

a3＝a＋3d＝，b3＝aq3＝． 　

因为＝，所以2a－5＋2b＝0，解得＝4或． 　

（2）因为λa＝a＋(m＋1)d，所以d＝a，从而得an＝a＋a×n．

因为λa＝a×qm＋1，所以q＝λ，从而得bn＝a×λ．

因为an－5＝bn，所以a＋×a＝a×λ．

因为a＞0，所以1＋＝λ（*）． 　

因为λ，m，n∈N*，所以1＋为有理数．

要使（*）成立，则λ必须为有理数．

因为n≤m，所以n＜m＋1．

若λ＝2，则λ为无理数，不满足条件．

同理，λ＝3不满足条件． 　

当λ＝4时，4＝2．要使2为有理数，则必须为整数．

又因为n≤m，所以仅有2n＝m＋1满足条件．

所以1＋＝2，从而解得n＝15，m＝29．

综上，λ最小值为4，此时m为29． 　

(3)证法一：设cn＞0，Sn为数列{cn}的前n项的和．

先证：若{cn}为递增数列，则{}为递增数列．

证明：当n∈N*时，＜＝bn＋1．

因为Sn＋1＝Sn＋bn＋1＞Sn＋＝Sn，所以＜，即数列{}为递增数列．

同理可证，若{cn}为递减数列，则{}为递减数列． 　

①当b＞a时，q＞1．当n∈N*，n≤m时，＞．

即＞，即＞．

因为b＝aqm＋1，bn＝aqn，d＝，

所以d＞，即a＋nd＞bn，即an＞bn．

②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜．

即＜．

因为0＜q＜1，所以＞．以下同①．

综上， an＞bn(n∈N*，n≤m)． 　

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．A．因AE=AC，AB为直径，

故∠OAC=∠OAE．

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．

又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC．

B．（1）设，则，，

(2），

即

代入可得

，即，

故曲线的方程为．

C．(Ⅰ)曲线：，极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为；

(Ⅱ) 曲线与曲线的公共点的坐标为，极坐标为．

D．因为x，y，z都是为正数，所以word/media/image338_1.png．

同理可得word/media/image339_1.png．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得word/media/image340_1.png．

22．（1）从9个不同的元素中任取3个不同的元素，为古典概型.

记“中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A，

其基本事件总数为．

由题意，均不相邻，利用插空法得，事件A包含基本事件数，

所以，中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为．

（2）

．

23．（1）当3时，P{1，2，3 }，

其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，

则所有满足题意的集合对(A，B)为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，

({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，

所以a3；

（2）设A中的最大数为k，其中,整数3，

则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：

，

B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在B中，但不能

都不在B中，故B的个数为：，

从而集合对(A，B)的个数为，

所以an．

2019年江苏高考南通密卷四（南通市数学学科基地命题）