北京市西城区2012年初三二模试卷

数学答案及评分标准 2012.6

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式= ……………………………………………………………4分

=． ……………………………………………………………………5分

14．证明： 如图1．

在△ACE和△BDE中，

∵………………………………3分

∴ △ACE≌△BDE． ……………………………………………………………4分

∴ AE=BE．………………………………………………………………………5分

15．解：（1）∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴． ………………………………………………………1分

解得． ……………………………………………………………………2分

（2）∵，

∴ 符合条件的最大整数，此时方程为． ……………3分

∴．

∴．………………………………………………4分

代入求根公式，得．…………5分

∴．

16．解：原式==．………………………………………2分

∵①， ②，

∴ ①-②，得． ………………………………………………………4分

∴ 原式=． ………………………………………………………………………5分

17．解：（1）∵ 反比例数的图象经过，两点，（如图2）

∴，．

∴ 反比例函数解析式为．………………………1分

点B的坐标为．……………………………2分

∵ 一次函数的图象经过，

两点，

∴ 解得

∴ 一次函数的解析式为．……………………………………3分

（2）设一次函数的图象与轴的交点为C，则点C的坐标为．

∴ ． …………………………5分

18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分

（2）

………………………………………………………………………………3分

（3）3．………………………………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）因为购买大型客车x辆，所以购买中型客车辆．

．…………………………………………2分

（2）依题意得< x.

解得x >10．……………………………………………………………………3分

∵，y随着x的增大而增大，x为整数，

∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分

此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分

答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元．

20．解：（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图3）

∵∥，DM⊥AB，CN⊥AB，

∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=．

∴ 四边形MNCD是矩形.

∵，

∴ MN=CD= 4．

∵ 在梯形中，∥，，

∴ ∠DAB=∠CBA，DM=CN．

∴ △ADM≌△BCN．

又∵，

∴ AM=BN=．

∴ MB=BN+MN=7．……………………………………………………………2分

∵ 在Rt△AMD中，∠AMD=，AD=5，AM=3，

∴．

∴．……………………………………………………3分

（2）∵，

∴ ∠F=．

∵∠DMN=，

∴ ∠F=∠DMN.

∴ DM∥EF．

∴ △BDM∽△BEF．

∵，

∴．

∴ BF=2BM=14． ……………………………………………………………4分

∴ AF=BFAB=1410=4． …………………………………………………5分

21．（1）证明：如图4．

∵ 点A是劣弧BC的中点，

∴ ∠ABC＝∠ADB．………………………1分

又∵ ∠BAD＝∠EAB，

∴ △ABE∽△ADB．………………………2分

∴．

∴．………………………………………………………3分

（2）解：∵ AE=2，ED=4，

∴．

∴（舍负）．………………………………………………………4分

∵ BD为⊙O的直径，

∴ ∠A=．

又∵ DF是⊙O的切线，

∴ DF⊥BD.

∴ ∠BDF=．

在Rt△ABD中，，

∴ ∠ADB=．

∴ ∠ABC=∠ADB=.

∴∠DEF=∠AEB=，

．

∴ ∠F =．

∴ △DEF是等边三角形．

∴ EF= DE=4．………………………………………………………………5分

22．解：（1）

……………………………………………………1分

（2）

……………………………………………………3分

（3）

……………………………………………………5分

23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分

（2）．……………………………………………………………………………4分

（3）答：当x=时，代数式的值是正数．

理由如下：

设抛物线（a≠0），则由题意可知，它经过A，B

两点．

∵ a＞0，c＜0，

∴ 抛物线开口向上，且＜0＜2，即点A在点B左侧．

…………………………………………………………………………5分

设点M的坐标为，点N的坐标为．

∵ 代数式的值小于0，

∴ 点M在抛物线上，且点M的纵坐标为负数．

∴ 点M在x轴下方的抛物线上．（如图5）

∴，即．

∴，即．

以下判断与的大小关系：

∵＝0，a＞b，a＞0，

∴．

∴．

∴．…………………………………………………………6分

∵ B，N两点都在抛物线的对称轴的右侧，y随x的增大而增大，

∴，即y>0.

∴ 当x=时，代数式的值是正数． ………………………7分

24．解：（1），．………………………………………………………………………2分

（2）只有点P在DF边上运动时，△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE．（如

图6）……………………………………………………………………………3分

∵ BF=t，PF=2t，DF＝8，

∴．

在Rt△PEF中， =．

即．

解得．…………………………………4分

∴ t为时△PDE为等腰三角形．

（3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP= DG．

由已知可得，．

∴

∴

∴，

，

∵，

∴．

由DP=DG得．

解得． …………………………………………………………………5分

　检验：，此时点P在DE边上.

∴ t的值为时，点P与点G重合．

　　　（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动（如图6），．

…………………………………………………………………………………6分

当4< t≤6时，点P在DE边上运动（如图7），作PS⊥BC于S，则．

　　　　　 可得．

　　　　此时，

．

．

∴．………………………………………………7分

综上所述，

（以上时间单位均为s，线段长度单位均为cm）

25．解：（1）B点的坐标为，………………………………………………………1分

C点的坐标为．………………………………………………………3分

（2）当AB=4k，时，OA=m，与（1）同理可得B点的坐标为，

C点的坐标为．

如图8，过点B作y轴的垂线，垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G，

两条垂线的交点为H，作DM⊥FH于点M，EN⊥OG于点N．

由三角形中位线的性质可得点D的坐标为，点E的坐标为．

由勾股定理得．

∵ DE=，

∴ m=4． ……………………………4分

∵ D恰为抛物线的顶点，它的顶点横坐标为

，

∴ ．

解得k=1．

此时抛物线的解析式． …………………………………5分

此时D，E两点的坐标分别为，．

∴，．

∴ OD=OE=DE．

∴ 此时△ODE为等边三角形，cos∠ODE= cos60°=．……………………6分

（3）E1，E3点的坐标分别为，E3．

设直线的解析式为（a≠0）．

则

解得

∴ 直线的解析式为． ……………………………………7分

可得直线与y轴正方向的夹角等于60°.

∵ 直线，与y轴正方向的夹角都等于60°，

∴∥．

∵ D1，D3两点的坐标分别为，，

由勾股定理得=4， =4．

∴．

∴ 四边形为平行四边形．

设直线与y轴的交点为P，作AQ⊥于Q．（如图9）

可得点P的坐标为

∴

∴．…………………………8分

2012年北京市西城区初三数学二模试题答案（Word版）