基于数学三个世界理论的“导数概念”的教学研究

高巧萍

(江苏省第二师范学院如皋分院 江苏 如皋 26500)

摘要：形式化是数学的基本特征之一,但这会造成数学“冰冷的美丽”.数学三个世界理论将数学划分为具体化、符号化、形式化三个不同的层次结构，给教学带来了极大的启示.将该理论指导于教学实践，有利于教学的返璞归真，自然到达形式化的世界.

关键词：数学三个世界；导数概念；教学研究

Abstract: Formalization is one of the basic features of mathematics, but this will cause “icy beauty” of the mathematics. The theory of three worlds of mathematics can be classified into specification, signification and formalization, which brings great inspiration to teaching. Applying this theory to teaching can contribute to the recovering the original simplicity of mathematics, and reach the formalization naturally.

Keyword: three worlds of mathematics ; the concept of derivative; research on teaching

1 问题的源起

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：形式化是数学的基本特征之一.在数学学习中，学习形式化的表达是一项基本要求，但不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识[1].

这就给我们广大一线教师提出了挑战：数学形式化的特点导致了从某种意义上来说，数学学习就是学习一个形式系统，但这又会造成数学“冰冷的美丽”.那么如何返璞归真，向学生揭示数学概念、法则、结论的发现过程和本质，并最终帮助学生自然到达形式化的数学世界呢？Tall的三个世界理论很好地帮助我们解决了这一难题.

2 数学三个世界的理论说明

2004年的国际数学教育大会上，英国Warwick大学教授David Tall以建构主义为基础，从数学学习的认知特征出发，结合当代认知科学、新皮亚杰主义等相关研究成果提出了数学三个世界理论.该理论以中学生和大学生为研究对象，把数学认知划分为三个世界[2]：

具体化世界以对具体的、形象的、可见的世界进行感知、行动为基础，用一定的语言描述数学对象.

符号化世界通过对具体化世界的操作进行反省、概括、抽象等一系列心智活动而得到数学对象，通过符号的使用实现从“解决问题”向“进行数学思考”的思维转变.

形式化世界在对符号世界的反思基础上，进行高度抽象，通过符号的方法和技术来认识数学、表达数学，形成形式化的定义，有时需要通过进一步的逻辑证明建构形式化公理体系.

Tall的三个世界理论是关于认知发展的新理论，揭示了抽象知识的形成和转化过程的规律性和层次性，把形式化推理作为最终的目标[3].

根据Tall的理论，教师只要精心准备教学内容，合理组织教学，在具体化世界、符号化世界做好充分的铺垫，学生就能相对轻松地生成相关数学概念的形式化理解，从而到达数学的第三个世界.

为了更好地说明此理论在数学中的具体操作，我们可用图1来展示：

想要达到顶端的形式化层次，必须发展学生低层次的具体化、符号过程化世界，提高学生的认知理解.在此过程中，教师作为教学活动的组织者、引导者，应合理给出知识和思维的联结点，并给出相应的刺激，促进学生学习.

3 数学三个世界的理论实践——以“导数概念”教学为例

3.1 对导数概念教学内容的认识

导数是微积分的核心概念之一,近年来导数概念教学发生了很多变化.

国外，各个国家在高中阶段对导数概念的教学要求和处理方法不尽相同.荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出运用速度、图像等多种方式方法进行导数概念的探究，鼓励学生正确处理形式化概念和原始概念之间的矛盾[4].

我国，导数内容曾几度出入高中教材，在教学内容与教学方法上出现多种变化.新课程中对导数内容的处理与传统注重应用相比，更加关注对导数概念本质的把握.新教材中不再将导数作为特殊的极限处理，而是从变化率这一反映数学思想和本质的各种实例出发，为导数模型的建立提供丰富的背景.

教师应清醒地认识到：新教材中，导数概念虽然未从极限引入，但学生经历的由平均变化率（近似量）到瞬时变化率（精确量）的过程却是实实在在的极限思想.在这一过程中，由静止思维向动态思维的转变、形成过程与方法的抽象性、“以直代曲”与“无限逼近”的思想、“实无限”与“潜无限”的直观选择、“瞬时速度”与“曲线的切线”的定义等等都将成为学生学习导数概念的认知障碍.教师只有充分认识这一点之后，才能合理地设计自己的教学，充分渗透极限思想，关注数学文化价值，让学生在数学的第一、第二世界中充分徜徉，并顺利进入到导数定义的形式化世界.

3.2 导数概念的教学过程设计及说明

3.2.1具体化世界：感知、想象、描述

【输入信息】

问题1：请同学们回顾一下小时候听过的龟兔赛跑的故事，比赛的结果是什么？这个故事告诉人们一个什么道理？

[从学生熟知的故事出发，学生很容易进入学习状态.]

【激活信息】

问题2：比赛结束后，兔子痛改前非，不再骄傲自大，与乌龟进行了第二场比赛，它让乌龟先跑一段距离后再奋力追赶，你说兔子能追上乌龟吗？

[看似简单的问题，在教师的提问刺激下产生了丰富的联想空间，各种观点应时而生.]

【激活联结】

师：介绍古希腊哲学家芝诺著名的悖论“追龟说”.当然，芝诺并不是真的认为人追不上乌龟，很明显人和兔肯定能追上乌龟.那么为什么会出现这样的矛盾呢？实际上这也是数学史上对无限一直争论的两种观点——实无限（将无穷小看做可以自我完成的整体）与潜无限（将无穷小看作一个不可完成的动态过程）.这两种观点没有对错之分，但数学学习离不开对世界的直观感知和理性分析，在追及问题中，我们显然将无穷小看作可以完成的对象来处理.

下面请同学们运用直观感知及理性思考，和老师一起来探索几个问题.

[尽管不需要让学生去划分“实无限”与“潜无限”这两种观点，但是通过具体情境和历史回顾，学生能够直觉地感受实无限的观点.只有理解了这点，才能帮助学生真正理解导数概念.]

【输入信息】

案例1：气温突变

师：客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着.那么变化快慢的情况如何呢？如何用数学的语言描述呢？我们下面主要来探究这些问题.

问题3：观察大屏幕上显示的图2（以某日的0:00-12：00气温曲线图为例）,请比较时段[1,11]与时段[11,12]间温度变化的快慢，并说说你的依据.

[学生容易看出B、C两点间的曲线比A、B两点间的曲线更加陡峭，因而容易从直观上判断出气温的渐变与突变]

【激活信息】

问题4：陡峭程度反映了气温变化的快与慢，那么如何量化曲线的“陡峭”程度呢？

联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，因此可用比值来近似量化、之间一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[11,12]上的平均变化率.同理可求出区间[1,11]上的平均变化率为.

[通过具体的案例，自然引出本节的主题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？从数与形两个方面引导学生体会“无形不直观，无数不入微”的辩证思想.]

【激活信息】

案例2：瞬时速度

播放运动员跳水视频.假设运动员相对水面的高度与时间的函数关系为：，请计算运动员在：

(1)时段内的平均速度； （2）时段内的平均速度.

学生经过讨论计算，会惊讶地发现（2）问中的平均速度为，但运动员在这段时间内却一直处于运动状态.矛盾的产生，使学生欲罢不能，欲求不得.

[这个问题和芝诺的“飞矢不动”悖论有点类似，容易激发学生的好奇心.认知心理学表明：人的学习动机尽管很复杂，但很大程度上是由求知欲望产生的.]

3.2.2符号化世界：操作、抽象、符号化

师:矛盾的产生，说明初等数学对于解决这类问题已经无能为力，我们下面采用新的方法来转化这种矛盾.平均速度只能粗略反映物体在某时间段内的状态，为了更精确刻画物体的运动状态，我们有必要去研究物体在某个时刻的瞬时速度.

【刺激联结点】

问题5：我们如何来求运动员在各个时刻的瞬时速度呢？比如时刻，瞬时速度是多少？

学生思考、讨论、分析后找到突破口：要求时的瞬时速度，就要研究附近的平均速度的变化，这个附近可前可后，并且间隔要足够小.

教师引导学生用表示时间的该变量，从而时间内的平均速度可表示为:

，当时，请学生计算平均速度的变

化情况，并填写预先准备好的表格（前五行数据学生计算，后面的数据多谋体展示）.

通过观察分析，可以得出：越趋近于0，平均速度越接近于常数，为了表述的方便，这个过程可用数学符号表示为：当时，.

就是当时的瞬时速度.

[用“已知探求未知”是人们解决未知问题的常用方法，让学生在充分的操作中进行理性分析，经历自我探索和交流的过程，体会“逐步逼近”的数学思想，并初步给出符号化的表示方法.符号的引入，往往是为了理论的易于表述和解决问题，符号化给数学理论的表述带来了极大的方便.]

【强化联结】

问题6：运动员在某一时刻的瞬时速度该如何计算呢？

引导学生类比问题5：先计算附近的平均速度（*），当时，（*）式无限趋近于时刻的瞬时速度.为了表述的方便，用更加简洁的数学符号表示：

[从特殊到一般，研究问题的思路自然顺畅，符合学生的认知规律，有助于学生的理解.与教材相比，表达式用极限的形式给出，但并未给出极限的严格定义，这样处理既方便表述，也不增加学生的负担，符合学生的认知规律.]

【输入信息】

案例3：求曲线上一点处切线的斜率

问题7：在案例1中，我们用平均变化率研究了曲线在某一区间内的变化趋势，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

教师利用多媒体引导学生观察曲线上某点处附近的曲线，

通过不断的放大（图3），可以发现点附近的曲线越来越逼近某一条确定的直线，也就是说点附近的曲线可以看做直线（局部范围内以直代曲）.那么曲线在点附近的上升或下降的变化趋势就可以用直线的斜率来刻画了，关键是如何找到这条直线并求出它的斜率.

[以直代曲是微积分中一个重要的思想，通过多媒体的演示，可以让学生从图形直观上加以感知，另外这部分的设计也为后面利用导数研究函数的性质打下坚实的基础.]

问题8：观察图4，请思考：

（1）直线与哪一条在点附近更加逼近曲线？

（2）在点附近你能找出比、更加逼近曲线的直线吗？

（3）怎样找到最逼近曲线的直线呢？

图4

对于问题8中的（1）、（2），学生能比较轻松地解决，（2）的答案呈开放性，能帮助学生打开思路.给予学生时间对（3）展开交流、探讨，类比案例2中由平均速度逼近瞬时速度的研究经历，学生能相对容易地给出解决问题的方案.

教师利用多媒体直观展示寻找最逼近曲线的直线的过程，并给出曲线在点处的切线的定义.

问题9：如图5如何求点处切线的斜率呢？

图5

学生通过操作、计算，容易得到：当时，无限趋近于点处的切线的斜率.类比案例2，用更简洁的数学符号表示为：

.

3.2.3形式化世界：反思、推理、公理化

引导学生比较分析案例1与案例2，它们虽然范畴不同，但在本质、符号表示、数学思想方面都有共通之处.实际上，在我们的生产、生活当中还存在着大量的诸如计算物质比热、电流强度、线密度等此类问题，这些问题实际上都是研究瞬时变化率问题.

问题10：如果推广到一般情形，它们能不能统一到一个共同的“数学模型”当中呢？也就是对于一般的函数在处的瞬时变化率怎么表示呢？

学生在前面丰富的研究经验的基础上反思、抽象、归纳，教师适时提出导数的概念：函

数在处的瞬时变化率也称为导数，记为（或），即 .

[在多个背景的铺垫之下，学生的认知已存在导数形式化表达的土壤，引出形式化定义是水到渠成之事.在此过程中，引导学生领悟特殊与一般的关系，促使学生完成从具体到抽象再到形式化的认识过程的飞跃.]

引出导数定义后，反思概念的原型（案例1、2），解释“切线的斜率”、“瞬时速度”的本质，让学生经历从抽象再回到具体的过程，促进认识的提升.

接着再从几种不同的语言描述深刻理解导数的概念：

在得到形式化的定义定义之后，可用两个例题加深对概念的理解.

例1：已知，求：（1）在处的导数；

（2）在处的导数.

[通过例1，一方面训练学生明确用定义求导数的方法，强调书写过程的规范性、程序化.程序化是算法思想的体现，有利于培养学生逻辑推理能力和理性精神.另一方面，在求 处的导数的基础上，教师通过追问，可为后续导函数的学习做好铺垫.]

例2：设函数在处的导数为，试求下列各式：

（1）；

（2）.

[通过例2的解答，教师引导学生暂别符号所包含的本真意义，而通过纯粹的形式化进行逻辑推理，感受纯粹的数量关系，体会数学的形式之美、严谨之美.在大学里，学生们会学习到更加严谨、系统、形式化的有关导数的知识.]

4 结束语

学生在学习数学的过程中要经历不同的理解阶段，Tall的三个世界理论很好地解释了学生的认知规律.具体化世界提供了丰富的感性材料，是思维的基础，为知识的增长提供了丰富的环境.符号化世界通过操作、抽象，用数学符号简洁地概括了不同事物间的本质内容，为理解形式化的数学世界提供了可能.形式化世界有助于人们更加简单、严格、系统地认识数学体系，有助于逻辑思维的培养.

本设计在数学三个世界理论的指导下，遵循从具体到抽象、由特殊到一般的原则，让学生充分体验具体化、符号化的世界，并自然、适度地进入到形式化世界.教师通过提供丰富的信息，进行适当的问题刺激，为学生的学习创设了充分机会和空间.

恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式，不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走得更远！”

参 考 文 献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003,4：4

[2] David Tall．Thinking Through Three Worlds of Mathematics[C].Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,Bergen, Norway,2004,4:281-288

[3] 高巧萍，夏国祥.数学三个世界理论指导下的函数单调性概念教学的实践[J].数学通讯（教师版），2014，3：14

[4] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995:319-356.

基于数学三个世界理论的“导数概念”教学研究