二次函数与等腰三角形存在性问题

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等腰三角形的存在问题
教学

重点
1.（2011•）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

教学过程

2.（2011•）如图．已知二次函数y=﹣x+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于
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点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


3.（2011•）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．
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（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（
）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都
能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．


4.（2011•市綦江县潭已知抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．
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（1）求该抛物线的解析式：
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
y

POD
ABx

Q

C
4.（2011•贵港）如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a（x+2）相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
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2

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（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2


5.（2010•）如图，已知二次函数y=
的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，
其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为_________，点C的坐标为_________；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐
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标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？


6.（2010•）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），
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求t的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．


7.（2010•）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，
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4），其中x1，x2是方程x﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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8.（2011•）如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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9.（2011•）如图，抛物线y=ax+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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10.（2011•东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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11.（2010•潼南县）如图，已知抛物线y=

+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A
的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
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12.（2010•市县）如图，抛物线y＝mx－(4m＋交y轴于点C，直线y＝mx－3经过点B．（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段AB上的动点，过P点作PD∥BC，交抛物线y＝mx－(4m＋当PD平分∠APC时，求P点的坐标；
3
x＋3于点M，过M4
点作x轴的垂线，垂足为E，交直线y＝mx－3于点N．△QMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；
2
2
3
x＋3交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），4
3
x＋3于点D，连接CP，4
（3）直线y＝kx（k＜0）交直线y＝mx－3于点Q，交抛物线y＝mx－(4m＋
2
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若不能，请说明理由．
y
CD
P
A
O
Q

y＝mx－3

N

BExM

y＝kx



13、（2010省市）如图1，抛物线y＝ax＋bx－4与x轴交于A（－1，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设P是线段BC上的动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为D，交抛物线于点E．①若BC分△BDE的面积为2:3两部分，求点P的坐标；
②设OD＝m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值，并求最大值；
（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在抛物线上是否存在点Q，使得△QCM是以QC为底边的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2
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yy
D
AO
P
C
E图1
图2
B
x
AO
M
B
x
C
课后
小配合需求：家长_________________________________结学管师_________________________________


上课情况：
课后需再巩固的容：
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二次函数与等腰三角形存在性问题

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