三角函数的定义

【知识梳理】

1．任意角三角函数的定义

(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．

(2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0).

2．三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．

3．三角函数的定义域

4．三角函数值的符号

5．终边相同的角的同一三角函数的值

(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．

(2)公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，

cos(α＋k·2π)＝cos_α，

tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.

【常考题型】

题型一、三角函数的定义及应用

【例1】　(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，

tan α＝________.

(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

(1)[解析]　∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，则sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－.

[答案]　－　　－

(2)[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；

在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

【类题通法】

利用三角函数的定义求值的策略

(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：

法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．

法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

【对点训练】

已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值．

解：根据三角函数的定义，tan α＝＝，

∴a＝5，∴P(12,5)．这时r＝13，

∴sin α＝，cos α＝，从而sin α＋cos α＝.

题型二、三角函数值符号的运用

【例2】　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)

A．第一象限角　　　　　　　　 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)判断下列各式的符号：

①sin 105°·cos 230°；

②cos 3·tan.

(1)[解析]　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三限角．

由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．

综上可知，α为第三象限角．

[答案]　C

(2)[解]　①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，

∴sin 105°>0，cos 230°<0.

于是sin 105°·cos 230°<0.

②∵<3<π，

∴3是第二象限角，

∴cos 3<0，

又－是第三象限角，

所以tan>0，∴cos 3·tan<0.

【类题通法】

三角函数值的符号规律

(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；

(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；

(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立；

(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．

【对点训练】

若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．

解：因为sin 2α＞0，所以2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，

所以kπ＜α＜kπ＋(k∈Z)．

当k为偶数时，α是第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．

又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．

题型三、诱导公式一的应用

【例3】　计算下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；

(2)sin＋cos·tan 4π.

[解]　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)

＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°

＝×＋×

＝＋

＝.

(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.

【类题通法】

诱导公式一的应用策略

应用诱导公式一时，先将角转化到0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．

【对点训练】

求下列各式的值：

(1)sin＋tan；

(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.

解：(1)sin＋tan

＝sin＋tan

＝sin＋tan

＝＋1.

(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°

＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)

＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°

＝1＋1－1

＝1.

【练习反馈】

1．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为(　　)

A．锐角三角形　　　　　　　 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．以上三种情况都可能

解析：选B　∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，

∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．

2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于(　　)

A.　　　B．－　　　C．－　　　D．－

解析：选C　∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，

∴角α终边上一点的坐标为(1，－)，故sin α＝＝－.

3．sin＝________.

解析：sin＝sin＝

sin＝sin＝.

答案：

4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.

解析：|OP|＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝－8.

答案：－8

5．化简下列各式：

(1)acos 180°＋bsin 90°＋ctan 0°；

(2)p2cos 360°＋q2sin 450°－2pqcos 0°；

(3)a2sin－b2cos π＋absin 2π－abcos.

解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，

所以原式＝－a＋b；

(2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1，

所以原式＝p2＋q2－2pq＝(p－q)2；

(3)因为sin＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0，

cos＝0，所以原式＝a2＋b2.

高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的定义