离散数学图论部分期末复习辅导

一、单项选择题

1．设图G＝<V, E>，vV，则下列结论成立的是 ( ) ．

A．deg(v)=2E B．deg(v)=E

C． D．

解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C成立。

答 C

2．设无向图G的邻接矩阵为

，

则G的边数为( )．

A．6 B．5 C．4 D．3

解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。

答 B

3．已知无向图G的邻接矩阵为

，

则G有（ ）．

A．5点，8边 B．6点，7边

C．6点，8边 D．5点，7边

解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G有7条边。

答 D

4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．

A．{(a, e)}是割边

B．{(a, e)}是边割集

C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集

D．{(d, e)}是边割集

定义3.2.9 设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集．若边割集为单元集{e}，则称边e为割边（或桥）．

解 割边首先是一条边，因为答案A中的是边集，不可能是割边，因此答案A是错误的．删除答案B或C中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B、C也是错误的．在图一中，删去(d, e)边，图就不连通了，所以答案D正确．

答 D

注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：

若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e }，E={ (a, b), (a, c) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, e) , (e, d)}，则该图中的割边是什么？

5．图G如图二所示，以下说法正确的是 ( )．

A．a是割点

B．{b, c}是点割集

C．{b, d}是点割集

D．{c}是点割集

定义3.2.7 设无向图G=<V,E>为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集．若点割集为单元集{v}，则称结点v为割点．

解 在图二中，删去结点a或删去结点c或删去结点b和d图还是连通的，所以答案A、C、D是错误的．在图二中删除结点b和c，得到的子图是不连通图，而只删除结点b或结点c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c}是点割集．所以答案B是正确的．

答 B

6．图G如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．

A．{(a, d)}是割边

B．{(a, d)}是边割集

C．{(a, d) ,(b, d)}是边割集

D．{(b, d)}是边割集

解 割边首先是一条边，{(a, d)}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B或D中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A、B、D是错误的．在图三中，删去(a, d)边和(b, d)边，图就不连通了，而只是删除(a, d)边或(b, d)边，图还是连通的，所以答案C正确．

7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．

图四

A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的

C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的

复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；

若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；

若图G的底图，即在图G中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G是弱连通的．

显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．

定理3.2.1 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．

单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。

答 A（有一条经过每个结点的回路）

问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？

答：图(d)是仅为弱连通的

请大家要复习“弱连通”的概念．

8．设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当（ ）时，K中存在欧拉回路．

A．m为奇数 B．n为偶数

C．n为奇数 D．m为偶数

解 完全图K每个结点都是n1度的，由定理4.1.1的推论知K中存在欧拉回路的条件是n1是偶数，从而n为奇数。

答 C

提示：前面提到n阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n-1，现在要问：无向完全图Kn的边数是多少？

答：n(n–1)/2

9．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．

A．平面图 B．对偶图

C．欧拉图 D．连通图

定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；

具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．

由定义可知，汉密尔顿图是连通图． 答 D

10．若G是一个欧拉图，则G一定是( )．

A．平面图 B．汉密尔顿图

C．连通图 D．对偶图

定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路．（即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边．）

若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，则该回路称为欧拉回路．

具有欧拉回路的图就称为欧拉图．

由定义可知，欧拉图是连通图． 答 C

11．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．

A．e－v＋2 B．v＋e－2

C．e－v－2 D．e＋v＋2

答 A（定理4.3.2：欧拉公式ver 2）

问：如果连通平面图G有4个结点，7条边，那么图G有几个面？

12．无向树T有8个结点，则T的边数为( )．

A．6 B．7 C．8 D．9 答 B

13．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．

A．G连通且边数比结点数少1

B．G连通且结点数比边数少1

C．G的边数比结点数少1

D．G中没有回路．

答 A（定理5.1.1（树的等价定义））

14．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )．

A．8 B．5 C．4 D．3

解 这棵无向树T有7条边，所有结点的度数之和为14，而4度、3度、2度的分支点各一个共3个结点占用了9度，所以剩下的5个结点占用5度，即这5个结点每个都是1度结点，故有5片树叶．

答 B

15．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．

A． B．

C． D．

答 A（n个结点的连通图的生成树有条边，必须删去条边）

16．设无向图G的邻接矩阵为

，

则G的边数为( )．

A．1 B．6 C．7 D．14 答 C

17．如图二（下图）所示，以下说法正确的是 ( )．

A．e是割点 B．{a, e}是点割集

C．{b, e}是点割集 D．{d}是点割集

图二

答 A

18．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六（下图）所示，则下列结论成立的是( )．

图六

A．（a）只是弱连通的 B．（b）只是弱连通的

C．（c）只是弱连通的 D．（d）只是弱连通的 答 D

19．无向完全图K4是（ ）．

A．欧拉图 B．汉密尔顿图 C．非平面图 D．树 答 B

20．以下结论正确的是( )．

A．无向完全图都是欧拉图

B．有n个结点n－1条边的无向图都是树

C．无向完全图都是平面图

D．树的每条边都是割边 答 D

二、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 ．

解 设G有x条边，则由握手定理，

，

答 15

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 ．

解 从图G中删除结点f，得到的子图是不连通图，即结点集{f}是点割集；从图G中删除结点c和e，得到的子图是不连通图，而只删除c或e，得到的子图仍然是连通的，所以结点集{c, e}也是点割集．而其他结点集都不满足点割集的定义的集合，所以应该填写：{f}、{c, e}

答 {f}、{c,e}

提示：若f是图G的割点，则{f}是图G的点割集，删除f点后图G是连通吗？

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点 等于边数的两倍．

答 的度数之和

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 ．

答 G的结点度数都是偶数（定理4.1.1的推论）

5．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．

答 n1（定理4.2.2）

6．若图G=, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 ．答 W |S|（定理4.2.1）

7．设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当 时，K中存在欧拉回路．

答 n为奇数（同一、8题）

8．结点数v与边数e满足 关系的无向连通图就是树．

答 ev1（定理5.1.1（树的等价定义））

9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 条边后使之变成树．

解 由握手定理（定理3.1.1）知道图G有182=9 条边，又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”，可以知道图G的生成树有5条边，从而要删去4条边．

答 4

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = ．答 4（定理5.2.1：(m-1)i=t-1）

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．

解 错误．

只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时，图G才存在一条欧拉回路．

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

解 错误．

因为图G有两个奇数度（3度）结点，所以不存在欧拉回路．

注：这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图。可见汉密尔顿图不一定是欧拉图．

其实，欧拉图也不一定是汉密尔顿图．

如下图所示，图（1）是欧拉图又是汉密尔顿图，图（2）是欧拉图但不是汉密尔顿图，图（3）不是欧拉图但它是汉密尔顿图，图（4）不是欧拉图也不是汉密尔顿图。

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

图G

解 正确．

图G有4个3度结点a，b，d，f，所以图G不是欧拉图．图G有汉密尔顿回路abefgdca，所以图G是汉密尔顿图．

4．设G是一个有7个结点16条边的连通简单图，则G为平面图．

解 错误．

由定理4.3.3知，若G有v个结点e条边，且v3，则e≤3v6．但本题中，16≤3×76不成立．

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

解 正确．

由欧拉定理，连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则ve+r=2．于是有r=2v+e=26+11=7．

问：“完全图K6是平面图”是否正确？

答 不正确．

因为完全图K6有6个结点15条边，且1536-6=12，即e 3v-6对K6不成立，所以K6不是平面图．

四、计算题

1．设G=<V，E>，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；

(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

解 （1）G的图形为：

（2）图G的邻接矩阵为：

（3）图G的每个结点的度数为：

，，，，．

（4）由关于补图的定义3.1.9可知，先在图G补充边画出完全图（见下面左图），然后去掉原图的边，可得图G补图（见下面右图）：

注意：补图中，如果没有标出结点v3，则是错的．

2．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

解 （1）G的图形如左下图：

（2）G的邻接矩阵为：

（3）图G有5个结点，其生成树有4条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T：

第1步，取具最小权1的边(a,c)；

第2步，取剩余边中具最小权1的边(c,e)；

第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(a,b)；

第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(b,d)．

所求最小生成树T如下图，其权为．

注意：在用避圈法求最小的生成树的关键是：“取图中权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，很多学生只注意到取权数最小的边了，而忽略了“不构成圈”的要求。

如果题目给出如解(1) 中所示赋权图，要求用Kruskal算法（避圈法）求出该赋权图的最小生成树，大家应该会吧．

3．已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树；

(2)计算该生成树的权值．

解 （1）图G有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T：

第1步，取具最小权1的边；

第2步，取剩余边中具最小权2的边；

第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3的边；

第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5的边；

第5步，取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权7的边．

所求最小生成树T如右图．

（2）该最小生成树的权为

．

4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

解 （Huffman算法）：

首先组合2+3，求带权5, 5, 7, 17, 31的最优二叉树；

再组合5+5，求带权7, 10, 17, 31的最优二叉树；

然后组合7+10，求带权17, 17, 31的最优二叉树；

继续组合17+17，求带权31, 34的最优二叉树；

最后组合31+34，得65，这是树根所带的权。

可从树根开始往下画，即得所求最优二叉树T如下图：

所求最优二叉树T的权为：

讲评：作业中最优二叉树往往都能画对了，但计算总权值时可能会把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误，大家一定要细心。

注意：这4个计算题的解题方法大家一定要掌握。

补充：教材第101页

例3 给定如图3.3.3所示有向图，其邻接矩阵以及邻接矩阵的乘积如下：

，

，

从上面的矩阵中可以得到一些结论，如：

（1）从A2中第1行第3列的为1可知，结点v1与v3之间有一条长度为2的路；

（2）从A3中第1行第2列的为2可知，v1与v2之间有2条长度为3的路；

（3）从A4中第2行第2列的为4可知，在结点v2有4条长度为4的回路．

如果改成问题：

试求：

（1）图G中结点v1与v3之间长度为2的路径条数； 1条

（2）图G中v1与v2之间长度为3的路径条数； 2条

（3）图G中经过v2的长度为4的回路条数． 4条

五、证明题

证明题同学一般都做不好，原因是对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的。因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法。

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图中的奇数度顶点个数相等．

证明 设，．则是由n阶无向完全图的边删去E所得到的．所以对于任意结点，u在G和中的度数之和等于u在中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而的每个结点都是偶数度的（度），于是若在G中是奇数度结点，则它在中也是奇数度结点．故图G与它的补图中的奇数度结点个数相等．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图．

证明 由定理3.1.2知，k必为偶数．要使这k个奇数度结点变成偶数度结点，从而使图G变成欧拉图，可在每两个奇数度结点间添加一条边．故在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图．

2018年成人高考离散数学图论部分期末复习辅导知识点复