2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1、设，，当时，（ ）

（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小

（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小

【答案】（C）

【考点】同阶无穷小

【难易度】★★

【详解】，

，即

当时，，

，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）.

2、已知由方程确定，则（ ）

（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

【答案】（A）

【考点】导数的概念；隐函数的导数

【难易度】★★

【详解】当时，.

方程两边同时对求导，得

将，代入计算，得

所以，，选（A）.

3、设，，则（ ）

（A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点

（C）在处连续不可导 （D）在处可导

【答案】（C）

【考点】初等函数的连续性；导数的概念

【难易度】★★

【详解】，，

，在处连续.

，，

，故在处不可导.选（C）.

4、设函数，若反常积分收敛，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

【答案】（D）

【考点】无穷限的反常积分

【难易度】★★★

【详解】

由收敛可知，与均收敛.

，是瑕点，因为收敛，所以

，要使其收敛，则

所以，，选D.

5、设，其中函数可微，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

【答案】（A）

【考点】多元函数的偏导数

【难易度】★★

【详解】，

，故选（A）.

6、设是圆域位于第象限的部分，记

，则（ ）

（A） （B） （C） （D）

【答案】（B）

【考点】二重积分的性质；二重积分的计算

【难易度】★★

【详解】根据对称性可知，.

（），（）

因此，选B.

7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

【答案】（B）

【考点】等价向量组

【难易度】★★

【详解】将矩阵、按列分块，，

由于，故

即

即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.

由于B可逆，故，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.

8、矩阵与相似的充分必要条件是（ ）

（A）

（B）为任意常数

（C）

（D）为任意常数

【答案】（B）

【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件

【难易度】★★

【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.

由的特征值为2，，0可知，矩阵的特征值也是2，，0.

因此，

将代入可知，矩阵的特征值为2，，0.

此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）.

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

9、 .

【答案】

【考点】两个重要极限

【难易度】★★

【详解】

其中，

故原式=

10、设函数，则的反函数在处的导数 .

【答案】

【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数

【难易度】★★

【详解】由题意可知，

.

11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积是 .

【答案】

【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积

【难易度】★★

【详解】面积

12、曲线上对应于点处的法线方程为 .

【答案】

【考点】由参数方程所确定的函数的导数

【难易度】★★★

【详解】由题意可知，，故

曲线对应于点处的法线斜率为.

当时，，.

法线方程为，即.

13、已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件，的解为 .

【答案】

【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

【难易度】★★

【详解】，是对应齐次微分方程的解.

由分析知，是非齐次微分方程的特解.

故原方程的通解为，为任意常数.

由，可得，.

通解为.

14、设是3阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若

，则 .

【答案】-1

【考点】伴随矩阵

【难易度】★★★

【详解】

等式两边取行列式得或

当时，（与已知矛盾）

所以.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

当时，与为等价无穷小，求和的值.

【考点】等价无穷小；洛必达法则

【难易度】★★★

【详解】

故，即时，上式极限存在.

当时，由题意得

16、（本题满分10分）

设D是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，，分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.

【考点】旋转体的体积

【难易度】★★

【详解】根据题意，

.

因，故.

17、（本题满分10分）

设平面区域D由直线，，围成，求

【考点】利用直角坐标计算二重积分

【难易度】★★

【详解】根据题意 ，

故

18、（本题满分10分）

设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：

（Ⅰ）存在，使得；

（Ⅱ）存在，使得.

【考点】罗尔定理

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由于在上为奇函数，故

令，则在上连续，在上可导，且，.由罗尔定理，存在，使得，即.

（Ⅱ）考虑

令，由于是奇函数，所以是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，，.由罗尔定理可知，存在，使得，即.

19、（本题满分10分）

求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.

【考点】拉格朗日乘数法

【难易度】★★★

【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为

构造拉格朗日函数

由得

点到原点的距离为，然后考虑边界点，即，，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为，最短距离为1.

20、（本题满分11分）

设函数

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）设数列满足，证明存在，并求此极限.

【考点】函数的极值；单调有界准则

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）由题意，，

令，得唯一驻点

当时，；当时，.

所以是的极小值点，即最小值点，最小值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由已知，可知，即

故数列单调递增.

又由，故，所以数列有上界.

所以存在，设为A.

在两边取极限得

在两边取极限得

所以即.

21、（本题满分11分）

设曲线的方程为满足

（Ⅰ）求的弧长；

（Ⅱ）设D是由曲线，直线，及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.

【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）设弧长为，由弧长的计算公式，得

（Ⅱ）由形心的计算公式，得

.

22、（本题满分11分）

设，，当为何值时，存在矩阵C使得，并求所有矩阵C.

【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件

【难易度】★★★

【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设.由可得

整理后可得方程组 ①

由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：

方程组有解，故，，即，.

当，时，增广矩阵变为

为自由变量，令，代入相应齐次方程组，得

令，代入相应齐次方程组，得

故，，令，得特解

方程组的通解为（为任意常数）

所以.

23、（本题满分11分）

设二次型，记，

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为；

（Ⅱ）若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）证明：

，其中

所以二次型f对应的矩阵为.

（Ⅱ）由于正交，故

因均为单位向量，故，即.同理

由于，故A有特征值.

，由于，故A有特征值

又因为，

所以，故.

三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变换下的标准形为.

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2013年考研数学二试题与答案